(新高考)高考数学一轮复习讲义+巩固练习5.1《平面向量的概念及线性运算》(原卷版)

第第页§5.1平面向量的概念及线性运算考试要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a﹣b＝a＋(﹣b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.5．对于任意两个向量a，b，都有||a|﹣|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．()(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.()(3)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()教材改编题1．(多选)下列命题中，正确的是()A．若a与b都是单位向量，则a＝bB．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量C．若用有向线段表示的向量eq\o(AM,\s\up6(→))与eq\o(AN,\s\up6(→))不相等，则点M与N不重合D．海拔、温度、角度都不是向量2．下列各式化简结果正确的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))﹣eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\o(AD,\s\up6(→))﹣eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与﹣(b﹣3a)共线，则λ＝________.题型一向量的基本概念例1(1)(多选)给出下列命题，不正确的有()A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B．若A，B，C，D是不共线的四点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则四边形ABCD为平行四边形C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥bD．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) B.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))C.eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→)) D.eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(PF,\s\up6(→))教师备选(多选)下列命题为真命题的是()A．若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b平行B．若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|eC．两个非零向量a，b，若|a﹣b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向D．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量．跟踪训练1(1)(多选)下列命题正确的是()A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若a，b都为非零向量，则使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的条件是a与b反向共线D．若a＝b，b＝c，则a＝c(2)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例2已知单位向量e1，e2，…，e2023，则|e1＋e2＋…＋e2023|的最大值是________，最小值是________．命题点2向量的线性运算例3(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上一点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，F是AE的中点，则下列关系式正确的是()A.eq\o(BC,\s\up6(→))＝﹣eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(BF,\s\up6(→))＝﹣eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(CF,\s\up6(→))＝﹣eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))命题点3根据向量线性运算求参数例4已知平面四边形ABCD满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))，平面内点E满足eq\o(BE,\s\up6(→))＝3eq\o(CE,\s\up6(→))，CD与AE交于点M，若eq\o(BM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，则x＋y等于()A.eq\f(5,2)B．﹣eq\f(5,2)C.eq\f(4,3)D．﹣eq\f(4,3)教师备选1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，若点O满足eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，则eq\o(OC,\s\up6(→))等于()A.﹣eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.﹣eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))2．在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AM,\s\up6(→))，若eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C．﹣eq\f(1,2) D．﹣eq\f(1,3)思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练2(1)点G为△ABC的重心，设eq\o(BG,\s\up6(→))＝a，eq\o(GC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AB,\s\up6(→))等于()A．b﹣2a B.eq\f(3,2)a﹣eq\f(1,2)bC.eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b D．2a＋b(2)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，P为线段DE上的动点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，则λ＋μ等于()A．1B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．2题型三共线定理及其应用例5设两向量a与b不共线．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a﹣b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．教师备选1．已知P是△ABC所在平面内一点，且满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为()A．2 B．3C．4 D．82．设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)的终点在同一条直线上，则实数t的值为________．思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3(1)若a，b是两个不共线的向量，已知eq\o(MN,\s\up6(→))＝a﹣2b，eq\o(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝3a﹣b，若M，N，Q三点共线，则k等于()A．﹣1B．1C.eq\f(3,2)D．2(2)如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．(﹣1,0)课时精练1．(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))C.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))﹣eq\o(CD,\s\up6(→))2．若a，b为非零向量，则“eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)”是“a，b共线”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．设a＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))，b是一个非零向量，则下列结论不正确的是()A．a∥b B．a＋b＝aC．a＋b＝b D．|a＋b|＝|a|＋|b|4．下列命题中正确的是()A．若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λbB．若a∥b，b∥c，则a∥cC．若a·b＝0，则a＝0或b＝0D．|a|﹣|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|5．在平行四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))交于点O，E是线段OD的中点．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b6．下列说法正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反D．向量的模是一个正实数7.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，则x等于()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)8．(多选)已知4eq\o(AB,\s\up6(→))﹣3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，则下列结论正确的是()A．A，B，C，D四点共线B．C，B，D三点共线C．|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|D．|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝3|eq\o(DB,\s\up6(→))|9．已知不共线向量a，b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝ta﹣b(t∈R)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a＋3b，若A，B，C三点共线，则实数t＝__________.10．已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝________.11．若正六边形ABCDEF的边长为2，中心为O，则|eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq