人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第04课 三角恒等变换（教师版）

第第页第04课三角恒等变换知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ；tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±β，α，β均不为kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α，2α均不为kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).3．三角函数公式的关系常用结论四个必备结论(1)降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1﹣cos2α＝2sin2α.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1±tanαtanβ)，1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1﹣sin2α＝(sinα﹣cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sin(α±eq\f(π,4)).(4)辅助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).【例1】(1)化简：eq\f(sin50°,sin65°·\r(1－cos50°))＝________．解析：原式＝eq\f(cos40°,cos25°\r(1－cos50°))＝eq\f(cos40°,cos25°·\r(2)sin25°)＝eq\f(cos40°,\f(\r(2),2)sin50°)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)(2)若tanα＝3，tan(α﹣β)＝2，则tanβ＝________．解析：tanβ＝tan[α﹣(α﹣β)]＝eq\f(tanα－tan（α－β）,1＋tanα·tan（α－β）)＝eq\f(3－2,1＋3×2)＝eq\f(1,7).答案：eq\f(1,7)(3)已知α∈(0，eq\f(π,2))，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A．eq\f(1,5)B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(2\r(5),5)解析：选B．由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1﹣2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1﹣sin2α.因为α∈(0，eq\f(π,2))，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)，所以2sinαeq\r(1－sin2α)＝1﹣sin2α，解得sinα＝eq\f(\r(5),5)，故选B．【例2】(1)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．﹣eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2)D．﹣eq\f(1,2)(2)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________．【解析】(1)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝﹣1，即tan(A＋B)＝﹣1，又(A＋B)∈(0，π)，所以A＋B＝eq\f(3π,4)，则C＝eq\f(π,4)，cosC＝eq\f(\r(2),2).(2)因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，所以sin(α＋β)＝﹣eq\f(1,2).【答案】(1)B(2)﹣eq\f(1,2)【例3】(1)已知α，β∈(eq\f(3π,4)，π)，sin(α＋β)＝﹣eq\f(3,5)，sin(β﹣eq\f(π,4))＝eq\f(24,25)，则cos(α＋eq\f(π,4))＝________．【解析】由题意知，α＋β∈(eq\f(3π,2)，2π)，sin(α＋β)＝﹣eq\f(3,5)＜0，所以cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，因为β﹣eq\f(π,4)∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4))，所以cos(β﹣eq\f(π,4))＝﹣eq\f(7,25)，cos(α＋eq\f(π,4))＝cos[(α＋β)﹣(β﹣eq\f(π,4))]＝cos(α＋β)cos(β﹣eq\f(π,4))＋sin(α＋β)sin(β﹣eq\f(π,4))＝﹣eq\f(4,5).【答案】﹣eq\f(4,5)(2)求值：eq\f(1＋cos20°,2sin20°)﹣sin10°().【解】原式＝eq\f(2cos210°,2×2sin10°cos10°)﹣sin10°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos5°,sin5°)－\f(sin5°,cos5°)))＝eq\f(cos10°,2sin10°)﹣sin10°·eq\f(cos25°－sin25°,sin5°cos5°)＝eq\f(cos10°,2sin10°)﹣sin10°·eq\f(cos10°,\f(1,2)sin10°)＝eq\f(cos10°,2sin10°)﹣2cos10°＝eq\f(cos10°－2sin20°,2sin10°)＝eq\f(cos10°－2sin（30°－10°）,2sin10°)＝eq\f(cos10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)),2sin10°)＝eq\f(\r(3)sin10°,2sin10°)＝eq\f(\r(3),2).【例4】(1)化简：eq\f(2sin（π－α）＋sin2α,cos2\f(α,2))＝________．解析：eq\f(2sin（π－α）＋sin2α,cos2\f(α,2))＝eq\f(2sinα＋2sinαcosα,\f(1,2)（1＋cosα）)＝eq\f(4sinα（1＋cosα）,1＋cosα)＝4sinα.答案：4sinα(2)计算eq\f(2cos10°－2\r(3)cos（－100°）,\r(1－sin10°))＝________．【解析】eq\f(2cos10°－2\r(3)cos（－100°）,\r(1－sin10°))＝eq\f(2cos10°＋2\r(3)sin10°,\r(1－sin10°))＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°)),\r(1－2sin5°cos5°))＝eq\f(4cos50°,cos5°－sin5°)＝eq\f(4cos50°,\r(2)cos50°)＝2eq\r(2).【答案】2eq\r(2)(3)化简：.解：原式＝eq\f(－2sin2xcos2x＋\f(1,2),\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝eq\f(\f(1,2)（1－sin22x）,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))＝eq\f(\f(1,2)cos22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x)))＝eq\f(1,2)cos2x.三角恒等变换课时跟踪练习1.(1﹣tan215°)cos215°的值等于()A．eq\f(1－\r(3),2)B．1C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(1,2)解析：选C．(1﹣tan215°)cos215°＝cos215°﹣sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).2．已知sin2α＝eq\f(1,3)，则cos2(α﹣eq\f(π,4))＝()A．﹣eq\f(1,3)B．eq\f(1,3)C．﹣eq\f(2,3)D．eq\f(2,3)解析：选D．cos2(α﹣eq\f(π,4))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2))),2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).3．计算eq\r(3)cos15°﹣4sin215°cos15°＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．1D．eq\r(2)解析：选D．eq\r(3)cos15°﹣4sin215°cos15°＝eq\r(3)cos15°﹣2sin15°·2sin15°cos15°＝eq\r(3)cos15°﹣2sin15°·sin30°＝eq\r(3)cos15°﹣sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos45°＝eq\r(2).故选D．4．已知eq\f(cosθ,sinθ)＝3cos(2π＋θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，则sin2θ＝()A．eq\f(8\r(2),9)B．eq\f(2\r(2),3)C．eq\f(4\r(2),9)D．eq\f(2\r(2),9)解析：选C．因为eq\f(cosθ,sinθ)＝3cos(2π＋θ)，所以eq\f(cosθ,sinθ)＝3cosθ.又|θ|＜eq\f(π,2)，故sinθ＝eq\f(1,3)，cosθ＝eq\f(2\r(2),3)，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2×eq\f(1,3)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(4\r(2),9)，故选C．5．计算：eq\f(4tan\f(π,12),3tan2\f(π,12)－3)＝()A．eq\f(2\r(3),3)B．﹣eq\f(2\r(3),3)C．eq\f(2\r(3),9)D．﹣eq\f(2\r(3),9)解析：选D．原式＝﹣eq\f(2,3)·eq\f(2tan\f(π,12),1－tan2\f(π,12))＝﹣eq\f(2,3)taneq\f(π,6)＝﹣eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),3)＝﹣eq\f(2\r(3),9).6．若tan(α＋80°)＝4sin420°，则tan(α＋20°)的值为()A．﹣eq\f(\r(3),5)B．eq\f(3\r(3),5)C．eq\f(\r(3),19)D．eq\f(\r(3),7)解析：选D．由tan(α＋80°)＝4sin420°＝4sin60°＝2eq\r(3)，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)﹣60°]＝eq\f(tan（α＋80°）－tan60°,1＋tan（α＋80°）tan60°)＝eq\f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))＝eq\f(\r(3),7).故选D．7．已知sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α﹣β)＝eq\f(1,3)，则logeq\r(5)(eq\f(tanα,tanβ))2等于()A．2B．3C．4D．5解析：选C．因为sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α﹣β)＝eq\f(1,3)，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(1,2)，sinαcosβ﹣cosαsinβ＝eq\f(1,3)，所以sinαcosβ＝eq\f(5,12)，cosαsinβ＝eq\f(1,12)，所以eq\f(tanα,tanβ)＝5，所以logeq\r(5)（eq\f(tanα,tanβ)）2＝logeq\r(5)52＝4.故选C．8．已知cos(2α﹣eq\f(π,3))＝﹣eq\f(1,3)，则sin(α＋eq\f(π,6))﹣cosα＝()A．±eq\f(\r(3),3)B．﹣eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(6),3)D．±eq\f(\r(6),3)解析：选D．sin(α＋eq\f(π,6))﹣cosα＝sinαcoseq\f(π,6)＋cosαsineq\f(π,6)﹣cosα＝sin(α﹣eq\f(π,6))，而cos(2α﹣eq\f(π,3))＝1﹣2sin2(α﹣eq\f(π,6))＝﹣eq\f(1,3)，则sin(α﹣eq\f(π,6))＝±eq\f(\r(6),3)，所以sin(α＋eq\f(π,6))﹣cosα＝±eq\f(\r(6),3)，故选D．9．若＝eq\r(3)·sin2θ，则sin2θ＝()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．﹣eq\f(2,3)D．﹣eq\f(1,3)解析：选C．由题意知eq\f(2（cos2θ－sin2θ）,cosθ－sinθ)＝eq\r(3)sin2θ，所以2(cosθ＋sinθ)＝eq\r(3)sin2θ，则4(1＋sin2θ)＝3sin22θ，因此sin2θ＝﹣eq\f(2,3)或sin2θ＝2(舍)．10．已知3π≤θ≤4π，且eq\r(\f(1＋cosθ,2))＋eq\r(\f(1－cosθ,2))＝eq\f(\r(6),2)，则θ＝()A．eq\f(10π,3)或eq\f(11π,3)B．eq\f(37π,12)或eq\f(47π,12)C．eq\f(13π,4)或eq\f(15π,4)D．eq\f(19π,6)或eq\f(23π,6)解析：选D．因为3π≤θ≤4π，所以eq\f(3π,2)≤eq\f(θ,2)≤2π，所以coseq\f(θ,2)≥0，sineq\f(θ,2)≤0，则eq\r(\f(1＋cosθ,2))＋eq\r(\f(1－cosθ,2))＝eq\r(cos2\f(θ,2))＋eq\r(sin2\f(θ,2))＝coseq\f(θ,2)﹣sineq\f(θ,2)＝eq\r(2)cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(6),2)，所以cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\f(θ,2)＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)＋2kπ或eq\f(θ,2)＋eq\f(π,4)＝﹣eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，即θ＝﹣eq\f(π,6)＋4kπ或θ＝﹣eq\f(5π,6)＋4kπ，k∈Z.因为3π≤θ≤4π，所以θ＝eq\f(19π,6)或eq\f(23π,6)，故选D．11．设α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(0，eq\f(π,4))，且tanα＝eq\f(1＋sin2β,cos2β)，则下列结论中正确的是()A．α﹣β＝eq\f(π,4)B．α＋β＝eq\f(π,4)C．2α﹣β＝eq\f(π,4)D．2α＋β＝eq\f(π,4)解析：选A．tanα＝eq\f(1＋sin2β,cos2β)＝eq\f(（sinβ＋cosβ）2,cos2β－sin2β)＝eq\f(cosβ＋sinβ,cosβ－sinβ)＝eq\f(1＋tanβ,1－tanβ)＝tan(β＋eq\f(π,4)).因为α∈(0，eq\f(π,2))，β＋eq\f(π,4)∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，所以α＝β＋eq\f(π,4)，即α﹣β＝eq\f(π,4).12．若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β﹣α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈[eq\f(π,4)，π]，β∈[π，eq\f(3π,2)]，则α＋β的值是()A．eq\f(7π,4)B．eq\f(9π,4)C．eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4)D．eq\f(5π,4)或eq\f(9π,4)解析：选A．因为α∈[eq\f(π,4)，π]，β∈[π，eq\f(3π,2)]，所以2α∈[eq\f(π,2)，2π].又0＜sin2α＝eq\f(\r(5),5)＜eq\f(1,2)，所以2α∈(eq\f(5π,6)，π)，即α∈(eq\f(5π,12)，eq\f(π,2))，所以β﹣α∈(eq\f(π,2)，)，所以cos2α＝﹣eq\r(1－sin22α)＝﹣eq\f(2\r(5),5).又sin(β﹣α)＝eq\f(\r(10),10)，所以cos(β﹣α)＝﹣eq\r(1－sin2（β－α）)＝﹣eq\f(3\r(10),10)，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β﹣α)]＝cos2αcos(β﹣α)﹣sin2αsin(β﹣α)＝eq\f(\r(2),2).又α∈(eq\f(5π,12)，eq\f(π,2))，β∈[π，eq\f(3π,2)]，所以α＋β∈(eq\f(π,2)，)，所以α＋β＝eq\f(7π,4)，故选A．13.若α，β为锐角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，则cos(α＋β)＝________，α＋β＝________．解析：因为α，β为锐角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，所以cosα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)﹣eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又0＜α＋β＜π，所以cos(α＋β)＝eq\f(\r(2),2)，α＋β＝eq\f(π,4).答案：eq\f(\r(2),2)eq\f(π,4)14.在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为eq\f(2\r(7),7)，点Q的纵坐标为eq\f(3\r(3),14)，则2α﹣β的值为________．【解析】由已知可知cosα＝eq\f(2\r(7),7)，sinβ＝eq\f(3\r(3),14).又α，β为锐角，所以sinα＝eq\f(\r(21),7)，cosβ＝eq\f(13,14).因此cos2α＝2cos2α﹣1＝eq\f(1,7)，sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(4\r(3),7)，所以sin(2α﹣β)＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(13,14)﹣eq\f(1,7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(\r(3),2).因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos2α＞0，所以0＜2α＜eq\f(π,2)，又β为锐角，所以﹣eq\f(π,2)＜2α﹣β＜eq\f(π,2)，又sin(2α﹣β)＝eq\f(\r(3),2)，所以2α﹣β＝eq\f(π,3).【答案】eq\f(π,3)15.已知sin(α﹣β)cosα﹣cos(β﹣α)sinα＝eq\f(3,5)，β是第三象限角，则sin(β＋eq\f(5π,4))＝________．解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α﹣β)﹣α]＝﹣sinβ＝eq\f(3,5)，所以sinβ＝﹣eq\f(3,5).又β是第三象限角，因此有cosβ＝﹣eq\f(4,5)，所以sin(β＋eq\f(5π,4))＝﹣sin(β＋eq\f(π,4))＝﹣sinβcoseq\f(π,4)﹣cosβsineq\f(π,4)＝eq\f(7\r(2),10).答案：eq\f(7\r(2),10)16.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则eq\f(m\r(n),2cos227°－1)＝A．8B．4C．2D．1解析：因为m＝2sin18°，m2＋n＝4，所以n＝4﹣m2＝4﹣4sin218°＝4cos218°.所以eq\f(m\r(n),2cos227°－1)＝eq\f(2sin18°\r(4cos218°),2cos227°－1)＝eq\f(4sin18°cos18°,2cos227°－1)＝eq\f(2sin36°,cos54°)＝eq\f(2sin36°,sin36°)＝2.答案为：2.17．设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ﹣cosαsinβ＝1，则sin(2α﹣β)＋sin(α﹣2β)的取值范围为________．解析：由sinαcosβ﹣cosαsinβ＝1，得sin(α﹣β)＝1，又α，β∈[0，π]，所以α﹣β＝eq\f(π,2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤α≤π，,0≤β＝α－\f(π,2)≤π，))即eq\f(π,2)≤α≤π，所以sin(2α﹣β)＋sin(α﹣2β)＝sin(2α﹣α＋eq\f(π,2))＋sin(α﹣2α＋π)＝cosα＋sinα＝eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4)).因为eq\f(π,2)≤α≤π，所以eq\f(3π,4)≤α＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，所以﹣1≤eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4))≤1，即取值范围为[﹣1，1]．答案：[﹣1，1]18．已知sinα＝﹣eq\f(4,5)(α∈[eq\f(3π,2)，2π])，若eq\f(sin（α＋β）,cosβ)＝2，则tan(α＋β)＝________．解析：因为sinα＝﹣eq\f(4,5)，α∈[eq\f(3π,2)，2π]，所以cosα＝eq\f(3,5).由eq\f(sin（α＋β）,cosβ)＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)﹣α]，即eq\f(6,5)cos(α＋β)＝eq\f(13,5)sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝eq\f(6,13).答案：eq\f(6,13).19．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(﹣eq\f(3,5)，﹣eq\f(4,5)).(1)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋π))的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，求cosβ的值．解：(1)由角α的终边过点P(﹣eq\f(3,5)，﹣eq\f(4,5))，得sinα＝﹣eq\f(4,5)，所以sin(α＋π)＝﹣sinα＝eq\f(4,5).(2)由角α的终边过点P(﹣eq\f(3,5)，﹣eq\f(4,5))，得cosα＝﹣eq\f(3,5)，由sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，得cos(α＋β)＝±eq\f(12,13).由β＝(α＋β)﹣α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝﹣eq\f(56,65)或cosβ＝eq\f(16,65).20．已知函数f(x)＝sin(x＋eq\f(π,12))，x∈R.(1)求f(﹣eq\f(π,4))的值；(2)若cosθ＝eq\f(4,5)，θ∈(0，eq\f(π,2))，求f(2θ﹣eq\f(π,3))的值．解：(1)f(﹣eq\f(π,4))＝sin(﹣eq\f(π,4)＋eq\f(π,12))＝sin(﹣eq\f(π,6))＝﹣eq\f(1,2).(2)f(2θ﹣eq\f(π,3))＝sin(2θ﹣eq\f(π,3)＋eq\f(π,12))＝sin(2θ﹣eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)(sin2θ﹣cos2θ)．因为cosθ＝eq\f(4,5)，θ∈(0，eq\f(π,2))，所以sinθ＝eq\f(3,5)，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(24,25)，cos2θ＝cos2θ﹣sin2θ＝eq\f(7,25)，所以f(2θ﹣eq\f(π,3))＝eq\f(\r(2),2)(sin2θ﹣cos2θ)＝eq\f(17\r(2),50).21．已知sinα＋cosα＝eq\f(3\r(5),5)，α∈(0，eq\f(π,4))，sin(β﹣eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)，β∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2)).(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝eq\f(9,5)，即1＋sin2α＝eq\f(9,5)，所以sin2α＝eq\f(4,5).又2α∈(0，eq\f(π,2))，所以cos2α＝eq\r(1－sin22α)＝eq\f(3,5)，所以tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(4,3).(2)因为β∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，所以β﹣eq\f(π,4)∈(0，eq\f(π,4))，又sin(β﹣eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)，所以cos(β﹣eq\f(π,4))＝eq\f(4,5)，于是sin2(β﹣eq\f(π,4))＝2sin(β﹣eq\f(π,4))·cos(β﹣eq\f(π,4))＝eq\f(24,25).又sin2(β﹣eq\f(π,4))＝﹣cos2β，所以cos2β＝﹣eq\f(24,25)，又2β∈(eq\f(π,2)，π)，所以sin2β＝eq\f(7,25)，又cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)＝eq\f(4,5)，α∈(0，eq\f(π,4))，所以cosα＝eq\f(2\r(5),5)，sinα＝eq\f(\r(5),5).所以cos(α＋2β)＝cosαcos2β﹣sinαsin2β＝﹣eq\f(11\r(5),25).22.已知sin(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),10)，α∈(eq\f(π,2)，π).求：(1)cosα的值；(2)sin(2α﹣eq\f(π,4))的值．解：(1)sin(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),10)，即sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),10)，化简得sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②解得cosα＝﹣eq\f(3,5)或cosα＝eq\f(4,5)，因为α∈(eq\f(π,2)，π).所以cosα＝﹣eq\f(3,5).(2)因为α∈(eq\f(π,2)，π)，cosα＝﹣eq\f(3,5)，所以sinα＝eq\f(4,5)，则cos2α＝1﹣2sin2α＝﹣eq\f(7,25)，sin2α＝2sinαcosα＝﹣eq\f(24,25)，所以sin(2α﹣eq\f(π,4))＝sin2αcoseq\f(π,4)﹣cos2αsineq\f(π,4)＝﹣eq\f(17\r(2),50).23．已知函数f(x)＝Acos(eq\f(x,4)＋eq\f(π,6))，x∈R，且f(eq\f(π,3))＝eq\r(2).(1)求A的值；(2)设α，β∈[0,eq\f(π,2)]，f(4α＋eq\f(4π,3))＝﹣eq\f(30,17)，f(4β﹣eq\f(2π,3))＝eq\f(8,5)，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f(eq\f(π,3))＝Acos(eq\f(π,12)＋eq\f(π,6))＝Acoseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)A＝eq\r(2)，所以A＝2.(2)由f(4α＋eq\f(4π,3))＝2cos(α＋eq\f(π,3)＋eq\f(π,6))＝2cos(α＋eq\f(π,2))＝﹣2sinα＝﹣eq\f(30,17)，得sinα＝eq\f(15,17)，又α∈[0,eq\f(π,2)]，所以cosα＝eq\f(8,17).由f(4β﹣eq\f(2π,3))＝2cos(β﹣eq\f(π,6)＋eq\f(π,6))＝2cosβ＝eq\f(8,5)，得cosβ＝eq\f(4,5)，又β∈[0,eq\f(π,2)]，所以sinβ＝eq\f(3,5)，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝eq\f(8,17)×eq\f(4,5)﹣eq\f(15,17)×eq\f(3,5)＝﹣eq\f(13,85).三角恒等变换随堂检测1．计算﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°的结果为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),2)解析：选A．﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°＝﹣sin47°(﹣cos17°)﹣cos47°sin17°＝sin(47°﹣17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).2．已知cos(eq\f(π,4)﹣α)＝eq\f(4,5)，则sin2α＝()A．eq\f(1,5)B．﹣eq\f(1,5)C．eq\f(7,25)D．﹣eq\f(7,25)解析：选C．因为cos(eq\f(π,4)﹣α)＝eq\f(4,5)，所以sin2α＝sin[eq\f(π,2)﹣2(eq\f(π,4)﹣α)]＝cos2(eq\f(π,4)﹣α)＝2cos2(eq\f(π,4)﹣α)﹣1＝eq\f(7,25).故选C．3．已知cos(x﹣eq\f(π,6))＝eq\f(1,4)，则cosx＋cos(x﹣eq\f(π,3))＝()A．eq\f(\r(3),4)B．﹣eq\f(\r(3),4)C．eq\f(1,4)D．±eq\f(\r(3),4)解析：选A．因为cos(x﹣eq\f(π,6))＝eq\f(1,4)，所以cosx＋cos(x﹣eq\f(π,3))＝cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)cos(x﹣eq\f(π,6))＝eq\r(3)×eq\f(1,4)＝eq\f(\r(3),4).故选A．4．已知tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,7)，且α为第二象限角，若β＝eq\f(π,8)，则sin(α﹣2β)cos2β﹣cos(α﹣2β)sin2β＝()A．﹣eq\f(3,5)B．eq\f(3,5)C．﹣eq\f(4,5)D．eq\f(4,5)解析：选D．tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1,7)，所以tanα＝﹣eq\f(3,4)，又α为第二象限角，