(新高考)高考数学一轮复习讲义+巩固练习7.2《球的切、接问题培优课》(原卷版)

§7.2球的切、接问题题型一定义法例1(1)已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为()A．πB.eq\r(3)πC．2πD.eq\f(\r(3)π,2)延伸探究本例(1)条件不变，则四面体P﹣ABC的内切球的半径为________．(2)在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M﹣PAD的外接球的表面积为()A．12π B．34πC．68π D．126π思维升华到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．跟踪训练1(1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为eq\f(9,8)，底面周长为3，则这个球的体积为________．(2)已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，则四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积为()A.eq\f(16π,3)B.eq\f(76π,3)C.eq\f(64π,3)D.eq\f(19π,3)题型二补形法例2(1)在四面体ABCD中，若AB＝CD＝eq\r(3)，AC＝BD＝2，AD＝BC＝eq\r(5)，则四面体ABCD的外接球的表面积为()A．2πB．4πC．6πD．8π(2)如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________．思维升华(1)补形法的解题策略①侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②直三棱锥补成三棱柱求解．(2)正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.(3)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).跟踪训练2已知三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为()A.eq\f(7\r(14),3)πB．14πC．56πD.eq\r(14)π题型三截面法例3(1)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O﹣ABC的体积为()A.eq\f(\r(2),12)B.eq\f(\r(3),12)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(3),4)(2)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．思维升华(1)与球截面有关的解题策略①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的．(2)正四面体的外接球的半径R＝eq\f(\r(6),4)a，内切球的半径r＝eq\f(\r(6),12)a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长)．跟踪训练3(1)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为eq\f(32π,3)的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为()A．4πB．8πC．12πD．16π(2)在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．课时精练1．正方体的外接球与内切球的表面积之比为()A.eq\r(3) B．3eq\r(3)C．3 D.eq\f(1,3)2．已知一个圆锥的母线长为2eq\r(6)，侧面展开图是圆心角为eq\f(2\r(3)π,3)的扇形，则该圆锥的外接球的体积为()A．36π B．48πC．36 D．24eq\r(2)3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为()A．16π B．20πC．24π D．32π4．已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为()A.eq\f(\r(6),8)πB.eq\f(\r(6),4)πC.eq\f(\r(3),8)πD.eq\f(\r(3),4)π5．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为eq\f(32π,3)，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为()A．3πB．4πC．9πD．12π6．粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为9cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为(参考数据：eq\r(6)≈2.45，π≈3.14)()A．20cm3 B．22cm3C．26cm3 D．30cm37．(多选)已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，点D为AB的中点，过点D作球的截面，则截面的面积可以是()A.eq\f(π,2)B．πC．9πD．13π8．(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为eq\r(3)﹣1，则下列说法中正确的是()A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为eq\f(4π,3)C．正方体的棱长为2D．线段MN的最大值为2eq\r(3)9．已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝1，SB＝SC＝2，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径是________．10．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2eq\r(3)，内有一个球与四个面都相切，则正三棱锥的内切球的半径为________．11．等腰三角形ABC的腰AB＝AC