概率论-数理统计的基本概念

概率论-数理统计的基本概念汇报人：AA2024-01-19目录contents概率论基本概念数理统计基本概念常用离散型随机变量及其分布常用连续型随机变量及其分布多维随机变量及其分布大数定律和中心极限定理概率论基本概念01样本空间与事件事件必然事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合。包含样本空间中所有样本点的事件。样本空间基本事件不可能事件所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。只包含一个样本点的事件。不包含任何样本点的事件。概率定义及性质概率定义表示事件发生的可能性大小的数值，常用P(A)表示事件A发生的概率。概率性质非负性、规范性（必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0）、可加性（互斥事件的概率之和等于它们并的概率）。条件概率在已知另一事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。要点一要点二事件的独立性如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。条件概率与独立性全概率公式如果事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，且都有正概率，则对任意一个事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。贝叶斯公式在全概率公式的条件下，可以求出事件Bi已发生的条件下，事件A发生的概率，即P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)]。全概率公式与贝叶斯公式数理统计基本概念0203样本容量样本中包含的个体数目，用n表示。01总体研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个概率分布来描述。02样本从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。总体与样本样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。统计量统计量的概率分布，描述了统计量在多次抽样中的分布情况。抽样分布正态分布、t分布、F分布、卡方分布等。常用抽样分布统计量与抽样分布点估计用样本统计量的某个值来估计总体参数的方法，如样本均值估计总体均值。区间估计根据样本统计量的抽样分布，构造一个包含总体参数的置信区间，并给出该区间的置信水平。评价估计量的标准无偏性、有效性、一致性等。参数估计方法原假设与备择假设原假设是研究者想要拒绝的假设，备择假设是研究者想要接受的假设。显著性水平与第一类错误显著性水平是事先设定的一个概率值，用于控制第一类错误（即错误地拒绝原假设）的概率。第二类错误与功效函数第二类错误是指当原假设不成立时，未能正确地拒绝原假设的错误。功效函数描述了在不同参数值下，检验能够正确地拒绝原假设的概率。检验统计量与拒绝域检验统计量是用于判断原假设是否成立的统计量，拒绝域是检验统计量取值的范围，当检验统计量落入拒绝域时，我们拒绝原假设。假设检验原理常用离散型随机变量及其分布03定义二项分布是一种离散型概率分布，描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。概率质量函数P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的组合数。期望和方差二项分布的期望E(X)=n*p，方差D(X)=n*p*(1-p)。二项分布泊松分布是一种离散型概率分布，用于描述在给定时间间隔或给定区域内某一事件发生的次数的概率分布。定义P(X=k)=λ^k*e^(-λ)/k!，其中λ表示单位时间或单位面积内事件发生的平均次数。概率质量函数泊松分布的期望E(X)=λ，方差D(X)=λ。期望和方差泊松分布概率质量函数P(X=k)=(1-p)^(k-1)*p，其中p表示每次试验成功的概率。期望和方差几何分布的期望E(X)=1/p，方差D(X)=(1-p)/p^2。定义几何分布是一种离散型概率分布，描述了在伯努利试验中首次成功所需要的试验次数的概率分布。几何分布超几何分布是一种离散型概率分布，描述了在不放回的抽样中抽取到指定数量成功样本的概率分布。定义概率质量函数期望和方差P(X=k)=C(m,k)*C(N-m,n-k)/C(N,n)，其中N表示总体样本数，m表示总体中成功样本数，n表示抽取的样本数。超几何分布的期望E(X)=n*m/N，方差D(X)=n*m*(N-m)*(N-n)/[N^2*(N-1)]。超几何分布常用连续型随机变量及其分布04在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。定义均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U(a,b)。性质均匀分布指数分布是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔等。定义许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况。性质指数分布正态分布正态分布，也称“常态分布”，又名高斯分布，最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。定义正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。性质t分布在概率论和统计学中，t-分布用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。如果总体方差已知，则应该用正态分布来估计总体均值。F分布是1924年英国统计学家Ronald.A.Fisher爵士提出，并以其姓氏的第一个字母命名的。它是一种非对称分布，且位置不可互换。F分布有着广泛的应用，如在方差分析、回归方程的显著性检验中都有着重要的地位。卡方分布是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。F分布χ^2分布t分布、F分布和χ^2分布多维随机变量及其分布05二维随机变量设$X$和$Y$是两个随机变量，由它们构成的二维数组$(X,Y)$称为二维随机变量。联合分布函数对于任意实数$x,y$，二元函数$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$称为二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数。联合概率密度函数如果存在非负函数$f(x,y)$，使得对于任意实数$x,y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，则称$f(x,y)$为二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数。010203二维随机变量及其联合分布第二季度第一季度第四季度第三季度边缘分布函数边缘概率密度函数条件分布函数条件概率密度函数边缘分布与条件分布二维随机变量$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的分布函数分别称为$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘分布函数，记作$F_X(x)$和$F_Y(y)$。设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度函数为$f(x,y)$，则$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘概率密度函数分别为$f_X(x)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dy$和$f_Y(y)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dx$。设$(X,Y)$的联合分布函数为$F(x,y)$，边缘分布函数分别为$F_X(x)$和$F_Y(y)$，则对于任意给定的实数$x_0$和$y_0$，条件分布函数定义为$F_{X|Y}(x|y_0)=frac{F(x,y_0)}{F_Y(y_0)}$和$F_{Y|X}(y|x_0)=frac{F(x_0,y)}{F_X(x_0)}$。设$(X,Y)$的联合概率密度函数为$f(x,y)$，边缘概率密度函数分别为$f_X(x)$和$f_Y(y)$，则对于任意给定的实数$x_0$和$y_0$，条件概率密度函数定义为$f_{X|Y}(x|y_0)=frac{f(x,y_0)}{f_Y(y_0)}$和$f_{Y|X}(y|x_0)=frac{f(x_0,y)}{f_X(x_0)}$。相互独立随机变量如果对于任意实数$x,y$，都有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则称二维随机变量$(X,Y)$是相互独立的。协方差与相关系数设$(X,Y)$是二维随机变量，若$E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}$存在，则称它为$(X,Y)$的协方差，记作$text{Cov}(X,Y)$。若$text{Cov}(X,Y)=0$，则称$(X,Y)$是不相关的。若$rho_{XY}=frac{text{Cov}(X,Y)}{sqrt{D(X)}sqrt{D(Y)}}$存在且不为零，则称它为$(X,Y)$的相关系数。协方差矩阵设$(X_1,ldots,X_n)$是一个多维随机变量，则其协方差矩阵是一个对称矩阵，其元素为$text{Cov}(X_i,X_j)$。相互独立随机变量和协方差矩阵VS如果多维随机变量的概率密度函数可以表示为$frac{1}{(2pi)^{n/2}|Sigma|^{1/2}}exp[-frac{1}{2}(X-mu)^TSigma^{-1}(X-mu)]$，其中$muinmathbb{R}^n,Sigmainmathbb{R}^{ntimesn}$是正定矩阵，则称该多维随机变量服从多维正态分布，记作$N(mu,Sigma)$。多维正态分布性质多维正态分布具有许多重要的性质，如线性变换不变性、边缘分布仍为正态分布等。这些性质使得多维正态分布在实际应用中具有广泛的应用价值。多维正态分布定义多维正态分布简介大数定律和中心极限定理06123大数定律是描述随机事件在大量重复试验中呈现出的规律性，即当试验次数足够多时，随机事件的频率趋于一个稳定值。含义常见的大数定律有伯努利大数定律、辛钦大数定律和切比雪夫大数定律等。种类在保险、金融、医学等领域中，大数定律被广泛应用于风险评估和决策分析。应用大数定律含义中心极限定理是指当随机变量的数量足够多时，这些随机变量的和的分布将近似于正态分布，而与这些随机变量本身的分布无关。前提条件要求随机变量相互独立且具有有限的期望和方差。应用中心极限定理在统计学中具有重要地位，被广泛应用于参数估计和假设检验等。中心极限