2024北京西城区高二上学期期末数学试题及答案

2024北京西城高二（上）期末数学2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共分）一选择题共10小题，每小题分，共分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要､440.求的一项.1.直线3x−4y+1=0不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限x=6y的焦点到其准线的距离等于（）22.抛物线3A.B.3C.6D.823.在空间直角坐标系O−(−)到平面xOz的距离与其到平面A2,8的距离的比值等于中，点（）1412A.B.C.2D.431x4.在2x+x的展开式中，的系数为（）A.3B.6C.9D.125.在正四面体ABCD中，棱AB与底面BCD所成角的正弦值为（）3613223A.B.C.D.33和平面，且baa，则“直线∥直线b”是“直线∥平面”的（）a,b6.已知直线A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件x2y2,BE:−=ab0)的左右顶点，M为双曲线E上一点，且､7.设为双曲线为等腰三a2b2角形，顶角为120，则双曲线E的一条渐近线方程是（）y=xy=2xA.B.2xD.y=3xC.y=8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（A.12种B.24种C.32种D.36种）ABCD−ABCDAB=BC=1=EBC为棱的中点，P为四边形119.如图，在长方体中，11111B⊥内（含边界）的一个动点.且DPBE，则动点P的轨迹长度为（）1第1页/共9页A.5B.25C.42D.13内，圆C:(x−2)2+(y−2)2=1，若直线l:x+y+m=0绕原点O10.在直角坐标系顺时针旋转90m后与圆C存在公共点，则实数的取值范围是（）D.−2+2,2+2−2,2−4−2,−4+2−2−2,−2+2A.B.C.第二部分（非选择题共分）､二填空题共小题，每小题分，共5525分.(−)且与直线++=平行的直线方程为A3xy30过点__________.(2x+4的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）12.在13.分别为3，，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.x2y2+=1表示的曲线为双曲线，则实数m的取值范围是__________；若此方程表示的14.若方程m+24−mm曲线为椭圆，则实数的取值范围是__________.ABCD−ABCDAB=EBB的中点，F为棱为棱（含端点）上的一个1115.如图，在正方体中，1111动点.给出下列四个结论：BF1A；1①存在符合条件的点F，使得∥平面②不存在符合条件的点F，使得BFDE；⊥5AD③异面直线与所成角的余弦值为1；1523F−1,2④三棱锥的体积的取值范围是.其中所有正确结论的序号是__________.､三解答题共小题，共分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程685..第2页/共9页16.（本小题10分）从6男410名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济文化和民生方面的问卷调查工作，求､共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）ABC−ABCBA⊥BC,BC=AB=AA1=4.如图，在直三棱柱中，111AB1⊥A；1（1）证明：直线平面（2）求二面角18.（本小题15分）B−CA1−A的余弦值.()和()，且圆心C在直线−+=Bxy10上.CA1,3已知（1）求经过点C的方程；（2）设动直线l与相切于点，点()若点在直线l上，且N8,0.=CMP，求动点P的轨迹方程.19.（本小题15分）x2y2+=ab0)的一个焦点为(5,0)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆已知椭圆C:a2b2(x−2+y2=25M,P的圆心为（1）求椭圆C的离心率；为此圆上一点.（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q20.（本小题15分），求的取值范围.如图，在四棱锥P−中，AD平面交于点F，且===CD=2，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：PBBD；条件②：PA⊥BC⊥PAB,ABDC,E为棱的中点，平面DCE与棱相∥=.（1）求证：AB∥EF；（2）求点P到平面的距离；第3页/共9页2（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为，求的值.321.（本小题15分）x2y2+=ab0)左右焦点分别为､F,FF的直线与椭圆C，过1,B相交于两点.已知椭设椭圆C:12a2b212圆C的离心率为,的周长为（1）求椭圆C的方程；xMF为1（2）判断轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由.第4页/共9页参考答案一选择题：本大题共10小题，每小题分，共40分､41.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B10.A二填空题：本大题共小题，每小题分，共25分､55x+y+1=014.12.8113.4(−)()；(−)(),22,11,415.注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三解答题：本大题共小题，共85分其他正确解答过程，请参照评分标准给分.､6.16.（本小题10分）1）从6男4女共名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，C310=120种.选择方法数为（2）从名志愿者中选2男1女，选择方法数共有C261C=60种，4故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为､C21A3=360种.64317.（本小题15分）1）在直三棱柱ABC−ABC中，111AA1⊥ABC,因为.平面平面ABC，1⊥所以.又因为⊥BC,1=A，所以⊥平面BB，11⊥所以.1AB=AA1=4BB为正方形.11由，得四边形⊥AB所以.11BC1B=B又因为所以，AB1⊥A1平面.BB1⊥ABC,BA⊥BC，（2）因为平面,BC,BB所以故以B为原点，两两互相垂直，1x､y､z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,BC,BB..的方向分别为轴轴1第5页/共9页则()()()(1).A4,0,0,C0,3,0,A4,0,4,B0,0,41)=(0,0,4).=(−4,3,0,所以设平面1Am(xz)，的法向量为1m−4x3y4z=0.+=即则mAA=1令x=3，则y=z=0.m=4,0().于是AB=(−4,0,4AB1|m|)的一个法向量.A由（1）可知：是平面11232AB1,m==−因为，510由图可知二面角B−CA1−A的平面角为锐角，32所以二面角B−CA1−A的余弦值为.1018.（本小题15分）1）由题意，设(+)，半径为，Ca,a1rC的圆心−a)2+(3−a−22=22r,.则(5−a)2+−a−=ra=解得：所以r=C(x−2+(y−6)为直角三角形，且⊥，||2.=，得||+||+=(x−2=25.的方程为（2）由平面几何，知所以||2+||222||2由.Px,y)，则(x−设(2+y22+(y−2.即3x−6y−14=0，经检验符合题意.所以动点P的轨迹方程为3x−6y−14=019.（本小题15分）.c=5,2ab=a2=b+c2，21）由题意，得所以a=b=2，第6页/共9页c5所以椭圆C的离心率e==.a3=−=5−（2）由题意，得.x219y12设()，则1Qx,y+=1.1449599216=(−)x12+y21=(−)x12+−x21=x−1+所以MQ4，.1155x1−3,3因为，945x=1x；当1=−3时，|=4.时，|=所以当554551,5−.所以的取值范围为20.（本小题15分）解：选择条件①：DC,AB,（1）因为AB∥所以AB∥平面DCEF.平面平面DCEF，又因为AB平面PAB，平面PAB平面，DCEF=EF所以AB∥EF.（2）因为AD平面⊥PAB，AD⊥,AD⊥AB所以.PB=BD,PA=AB=AD=CD=2又因为所以，.因此=90，即=AB,AD,两两垂直.xyz如图，以A为原点，AB,AD,AP的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，所以().)()()(D2,0,C2,0,P0,0,2,B2,0,0由（1AB∥EF，且E为棱的中点，所以点F为棱PA的中点.(E0,1,F0,1)()，)=(−)=(−1,0,0).FP0,1,2,1,CD=(故设平面DCEF的一个法向量为n(x,,z)，z=则CDn=−x=第7页/共9页y=1，则x=z=2，即n=(2).取FPn5所以点P到平面DCEF的距离d=.nPM=,0,1（3）设，PCPM=PC=(−)=(−).2,2,2则=+=(−−).2,2,22所以设直线BM与平面DCEF所成角为，所以sin|BM,n=|BM||n||0+2+4−4|2=.(−2++−5(2)(22)22313−+1=0，解得26=化简，得9，PMPC1=.即3选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD平面⊥PAB，AD⊥,AD⊥AB所以，PA⊥BC,BC又因为与AD相交，所以PA平面⊥ABCD.所以PAAB.⊥AB,AD,即两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）4a=ca1=,1）由题意，得2=ba22+c,2a=b=3,c=1.解得x2y2所以椭圆C的方程为+=1.43()符合题意.Mx,00x（2）假设轴上存在一点AB:y=kx+1k0,Ax,y,Bx,y).2()()()(由题意，设直线112第8页/共9页=(+)ykx1,y，联立方程x2y2消去+=43得3+4k)x+8kx+4k−12=02222.8k+24k−122所以12+=−,12=.34k23+4k2(+)1−0kx1k==1由题意，知直线AM的斜率存在，且为，−−1010(+)y2−0k21同理，直线BM的斜率为k==.−−2020(+)−(+)12−0k11kx2k+kBM=+所以