数理经济学第5章课后题答案

第五章习题答案

1.求下面等式约束最优化问题可能的极值点，要求写出一阶必要条件并求解由一阶必要条

件构成的方程组。

maxormin/(xx)=x；尤2

⑴max/(%l,x2)=%lx2152

s.t.Xj+4X2=16's.t.+x；=3

maxorminf(x,y)=xy

〔3〕

s.t.x2+y2=1和％+y=1

解：〔1〕首先写出拉格朗日函数：L（x1,x2,/l）=x1x2+2（16-%1-4X2）

将L对%，々和力分别求偏导数可得：

解得$*=8,々*=2,2*=2,此时/=16。

则点（8,2）为目标函数的驻点，且在该点处约束条件满足约束规格。

2XJ2X2

〔2〕首先写出拉格朗日函数：L（xpx2,/l）=X1X2+2（3-2-2）

将L对玉，%和％分别求偏导数可得：

解得西*=1,工2*=1，义*=；，此时/=1：或者再*=1,=一1，4*=—:'此时

f--1：或者X；=—1,%2*=1，4*=；，此时/=1；或者2*=一1，工2*=一1，万=—5，

此时/=-1O

则点（1,1）、（1,-1）,（―1,1）和（一1,-1）为目标函数的驻点，且在这些点处约束条件满

足约束规格。

〔3〕首先写出拉格朗日函数：L（x,y，4,4）=肛+4（1一厂—）广）+4（1—工―y）

羽1L对X,y,4和4分别求偏导数可得：

解得£=l,y*=0,4*=-g，4*=1，此时/=0；或者x*=0,y*=1，4*=-g，

A2*=1,此时f=0o

则点（1,0）和点（0,1）为目标函数的驻点，且在这两点处约束条件满足约束规格。

2.利用等式约束极值问题的二阶充分条件判断习题1中求得的点是否为极大值点或极小值

点。

解：〔1〕对4,=Z-4=°,L&=芭—44=°求偏导数可得4皆=Lx.%=°,

4m=4泊=1,加边元素g&=-1,g*=-4。所以，海赛加边行列式为：

所以，由定理5.2得，在$*=8,尤2*=2处函数取得极大值/*=16。

[2]对&=2xtx2—4Ax,=0,Lx=—2Ax2=0求偏导数可得4内=2/—42,

4匹=-2九L=L=2x,加边元素g&=-4*，g=所以，海赛加边行列

V2X2X1tX2-2X2O

式为：

当X*=1,x2*=1,2*=；时，

所以，由定理5.2得，在X；=L々*=1处函数取得极大值/*=1。

当X*=1,x2*=—1,4*=—5时，

所以，由定理5.2得，在％*=1,々*=一1处函数取得极小值尸=一1。

当X；=-1,%2*=1，丸*=!时，

2

所以，由定理5.2得，在=%*=1处函数取得极大值/*=1。

当X*=-1,A??=—1,4*=一万时，

所以，由定理5.2得，在=9*=一1处函数取得极小值/*=一1。

〔3〕对k=y_24x_4=0,Lv=%_24,-4=0求偏导数可得L”==-2/1,

LL122

xy=yx=,加边元素g[=_2x,g\,=~2y,gx=gy-\,gy=~1o所以，海

赛加边行列式为：

当x*=1,y*=0,4*=_g，4*=1时，

当x*=0,y*=1，4*=—g，%2*=1时，

所以，由定理5.2得，在x*=l,y*=0或者x*=0,y*=l处函数取得极大值/*=0。

3.求函数/(x,y,z)=x+y+z2在约束/+y2+z2=0和y=0下的可能的极值点。

解：首先写出拉格朗日函数：L(x,y,z,\,A1)=x+y+z2+A,(-x2-y2-z2)-A2y

将L对x,>,z和4,4分别求偏导数可得:

解得该方程无实解，存在虚数解：x=—,y*=0,z=±—/,4*=1，凡*=1,此时

2-2

4.利用海赛加边行列式确定下面每一小题的Z值是极大值还是极小值。

〔1〕z=到满足约束x+2y=2；

(2〕z=x(y+4)满足约束x+y=8；

〔3〕z=x-3y一孙满足约束x+y=6；

〔4〕z=X?-y+7满足约束x+y=0。

解：〔1〕首先写出拉格朗日函数：L(x,y,A)=xy+2(2-x-2y)

将L对x,V和；l分别求偏导数可得：

解得x*=l,y*=/l*=；,

对L、.=y_/l=0,=x_22=0求偏导数可得Lq=Lv,v=0,L^,=Lyx=1,加边元

-

素8=-1,gy=2„所以，海赛加边行列式为：

所以，由定理5.2得，z(l,1)=，为目标函数的极大值。

22

〔2〕首先写出拉格朗日函数：L(x,y,A)=%(y+4)+2(8-x-y)

将L对x,y和;i分别求偏导数可得：

解得x*=6,y*=2,2*=6,

LL1

对4=y+4-4=0,Lv=x-/l=0求偏导数可得L"=L*=0,x>-yx-,加边

元素gx=g>=T。所以，海赛加边行列式为：

所以，由定理5.2得，z(6,2)=36为目标函数的极大值。

(3)首先写出拉格朗日函数：L(x,y,A)^x-3y-xy+A(6-x-y)

将L对x,》和;I分别求偏导数可得：

解得£=1,y*=5,2*=-4,

对&=l_y_4=0,4=-x-3一丸=0求偏导数可得=0,Lxy=Lyx--\t

加边元素g.r=g>,=-1。所以，海赛■加边行列式为：

所以，由定理5.2得，z(l,5)=-19为目标函数的极小值。

〔4〕首先写出拉格朗日函数：L(x,y,2)=x?-y+7+2(-x-y)

将L对x,y和;I分别求偏导数可得：

解得x*=—工，y*=:，彳*=_],

22

对&=2%_2=0,&=_1_/1=0求偏导数可得=2,4>，=0,Lxy=Lyx=0,加边

元素g*=g,=-l。所以，海赛加边行列式为：

所以，由定理5.2得，=7为目标函数的极小值。

5.求原点(0,0)至U椭圆x?+孙+y2=3的最大和最小距离〔提示：目标函数取为x?+y?可

简化运算。

解：由题意知，解决如下最优化问题，

首先写出拉格朗日函数：L(x,j,2)=x2+y2+A(3-x2-xy-y2)

将L对x,》和;l分别求偏导数可得：

解得x=y*=±1或者x*-±\/3,y*-;#),

则z(±l,±l)=2为最小距离，z(土百，.百)=6为最大距离。

6.绘出有如下特征的曲线z=/(x)

〔1〕拟凹的，〔2〕拟凸的，[3]既拟凹又拟凸的

解:

[1〕拟凹〔2〕拟凸

0x

(3)既拟凹又拟凸

7.运用海赛加边行列式检险以下函数的拟凹性和拟凸性：

[1Jz=-x2-y2(x,y>0)

〔2〕z=—(x+l)2-(y+2)2(x,y>0)

解：[1[z*=-2x,zy=-2y,z.=zvv=-2,zxy=zyx=-2

所以，由定理5.7得，该函数为拟凹函数。

〔2〕zx=-2x-2,zy=-2y-4,=z”，=-2,z^.=z„=0

所以，由定理5.7得，该函数为拟凹函数。

8.判断以下命题的正误，并给予说明。

⑴设/(x)是单变量递增函数，则/(x)为拟凹函数。

〔2〕设.f(x)是单变量递减函数，则/(x)为拟凹函数。

〔3〕设/(%)是单变量函数，存在一个实数。使得/(%)在(—8,勿区间上递减，在矽,+8)

区间上递增时，f(x)为拟凹函数。

解:〔1〕命题正确，对于一元递增函数/定义域〔凸集〕中任意点〃〈叽有/(v)N/("),

则：对任意8e[0J,有/((j)”+%)"〃)；则/为拟凹的。

〔2〕命题错误，对于一元递减函数/定义域〔凸集〕中任意点〃<v,有f(u)>/(V),

则：对任意8e[0,1],有f((l-6)v+纵)Nf(v)；则/为拟凸的。

〔3〕命题错误，用反证法证明，假设命题成立，则在区间(—8,。)上与该题〔2〕一样,

则该函数为拟凸函数，与命题结论矛盾，故命题错误。

9.极大化问题

试估计以下目标函数的最优值，并说明理由。

maxf(x,y,z)=x+y+zmaxf(x,y,z)-x+1.02y+z

⑴，,，…，⑵

s.t.x2+y2+z2=3.05's.t.x2+y2+z2=3.05

max/(x,y,z)=x+1.02y+z

〔3〕,',

s.t.x~+1.01y+z~-3.05

解：根据〔1〕、〔2〕、〔3〕小问中目标函数与约束条件变动项构造拉格朗日函数：

22

L(x,y,z,A;a)=x+axy+z+A(a2-x-a3y~-z),将(4,%,%)=(1,3,1)代入极大化

1**1

问题，在约束条件下目标函数的极大值点为(1,1,1),乘子为一。从而有w=(1,1,1),2=一。

22

(1〕当等式约束改为/+),+z?=3.05时，目标函数最优值改变分量为：

极大化问题的目标函数最优值分别是(1+1+1)+0.025=3.025»

〔2〕当目标函数改为f(x,y,z)=x+1.02y+z,等式约束改为f=3.05时，

目标函数最优值改变分量为：

极大化问题的目标函数最优值是(1+1+1)+0.045=3.045。

〔3〕当目标函数改为/(乂乂2)=%+1.02)，+2,等式约束改为》2+]()1>!2+22=305时，

目标函数最优值改变分量为：

工(1,3,DM+(1,3,1)9+—(h3,1)9=1X0.02+-X0.05+(--)x0.01=0.04

datda2da322

极大化问题的目标函数最优值是(1+1+1)+0.04=3.04。

10.一个消费者具有效用函数：U(x,y)=x(y+1),其中x和V是两种商品的数量，它们

的价格分别是P(x)和P(y)。消费者的预算约束是“，因此消费者的拉格朗日函数是

〔1〕从一阶条件中找出需求函数的表达式。说明商品》是哪种商品尤其当Pr>M的时候,

会出现哪种情况

〔2〕通过检查二阶充分条件来证明这是一个极大值。把％*和y*代入到效用函数中，找出

间接效用函数的表达式：U*=U(Px,Py,M),并推导出支出函数的表达式：

E=E0Py,U")。

MinPxx+P.y

⑶'*

s.t.x(y+1)=U

dE

求出这个最小化问题的％和y的解，并证明》和y的解值等于支出函数的偏导数—

此

dE

和----O

dPY

解：〔1〕根据拉格朗日函数得出一阶必要条件为：

求解得出

其中，是消费者的马歇尔需求函数。

由上”。，誓M

<0可知,

dM5Py

商品y的价格增加，数量减少；货币收入增加，数量增加，因此为正常商品。当时,

yM<0。

(2〕L「Lyy=0,Lxy=Lyx=1,加边元素gx=-Px,gy=_P、…所以，海赛加边行列

式为：

因此，由定理5.2最优值为极大值。

把X”和y"代入目标函数中，得出间接效用函数为：

支出函数表达式为：E=U(PX,PR)=xPx+yPv=M-2Py=2(U*P£)5—Pv

〔3〕构造拉格朗日函数：L(x,y,//)=Rx+Ry+MU*-x(y+l)]

一阶必要条件为

求解这个方程组的x,y和〃，得到均衡解为

其中x〃，y”是消费者的希克斯需求函数。

检脸二阶充分条件：

因此均衡解是模型的极小值点。

把X"，y”代入初始目标函数，得到支出函数为

由于

证毕。

11.给定。=(x+2)(y+l)及巴=4,P、=6,M=30,

〔1〕写出该问题的拉格朗日函数；

〔2〕求出最优消费束；

〔3〕在最优消费束处满足极大值的二阶充分条件吗

〔4〕问题〔2〕的答案给出对比静态信息了吗

解：⑴L=(x+2)(y+1)+2(30-4%-6y)

Lx=y+1—4A.=0

(2]<Ly=x_6A.-0解得：

3

%=30—4x—6y=0

/J

12

〔3〕/=Lyy=0,Lxy=%=1,加边元素g<=-4gy=-6。所以,海赛加边行列式

为：

因此，由定理5.2最优值满足极大值的二阶充分条件。

12.假设U=(x+2)(y+l),但不为价格和收入参数设定具体数值。

〔1〕写出拉格朗日函数；

〔2〕求£,y"及尤〔以参数P3Pv和M表示〕；

〔3〕检验极大值点处的二阶充分条件。

〔4〕令P,=4,4=6及"=30,检验你对习题8答复的正确性。

解：设x的价格为P、,y的价格为Pv，收入为M,则有:

'*M+2PX+PX

x-----------2

f2P

4=y+l—死=0V

*M+2PX+Pv

(1)一阶条件为，Lv=x+2-APv=0，解得均衡解为，y=-----------^-1

2P、

[LA=M-xPx-yPy=Q

M+2R+P,

A=------------

2PR

01_P、

⑵同=10

-Py=2P、Py>0,则均衡解为极大值

-Px-Py0

(3)正确

13.习题10的解〔£和y*〕能够产生对比静态信息吗求出所有对比静态导数，确定其符

号，并解释其经济意义。

参见习题10o

14.给定消费者消费商品x和y的效用函数U(x,y)=(x+D(y+D,x和y为商品x和y

的消费量，Pi和02是商品x和y的价格，消费者的收入为/。

〔1〕求消费者的效用极大值和相应两种商品的最优消费量

〔2〕收入增加一个单位时，对消费者的的极大效用有何影响

〔3〕求出对比静态函数生，也，工,0二,2,0二，判断其符号，解释其经济学意义。

dp^dp2didpidp2di

解：极大化问题为：maxu-(%+l)(y+l)

(1)L=(x+l)(y+l)+；l(/_qx_£y)，一阶条件为

*_/+-+•_1

A-1

4=y+l—环=0

均衡解为\y=I+P'+P--2,二阶条件为

,L,=X+1—丸6=0

2鸟

LA=I-Pix^P2y=0

i*I+Pt+P,

/I=---------------------------

23

01

|H|=Io-P2=2［鸟〉O,均衡解为极大值

Y-P.0

⑵业=----空值——=/+片+2>0,表示收入每增加一单位，大小用增加

~dl~di_2.8

⑶及_]/+4+£dx_1dx_1

丽一函2^-'超一函'了一函

dy_1dy_1I+Pt+P2dy_1

函一项，位一西2^-，~cH~2^

15.考虑极大化问题

利用包络定理解决以下问题：

[1[求目标函数的最优值在(a,。)=(16,4)处分别关于a和b的偏导数。

〔2〕据〔1〕，估计当人=4、。由16变为16.03时，目标函数的最优值的改变量为多少估

计新问题目标函数的最优值

〔3〕据〔1〕，估计当a=16、b由4变为3.98时，目标函数的最优值的改变量为多少估

计新问题目标函数的最优值

〔4〕据〔1〕，估计a由16变为16.03、人由4变为3.98时，目标函数的最优值的改变量

为多少估计新问题目标函数的最优值

解：(1)极大化问题为maxu-x}x2

s.t.x]+4X2=16,

拉格朗日函数为：L-xtx2+A(16-X1-4x2),

Lv=x2—A=0%,=8

LV、=X1-4丸=0，均衡解为，

L2-16一元]—4%2-0X=2

(2)—(16,4)Aa+—(16,4)AZ?=2x0.03+(-4)x0=0.06,则“*=16.06

dadb

(3)—(16,4)Aa+—(16,4)AZ?=2x0+(-4)x0.02=-0.08,则u=15.92

dadb

(4)—(16,4)Aa+—(16,4)AZ?=2x0.03+(-4)x0.02=-0.02,则u=15.98

16.设X=(X],X2),效用函数。(%],%2)=2％2,预算约束条件为P|XI+2242=加。试求

需求函数及间接效用函数。

解：极大化问题为max必(西,x2)=xxx2

s.t.PR+p2x2=m,

*m

x,=----

2P2

4=%一%|=。

♦m……、……，，

-Lxx-x1x-A/pL2--0，则需求函.数为=----，则间接效用函数为

22Pl

。=根一0内-。2工2=0

/m

A—

2Plp2

17.〔1〕商品x和)的边际效用递减假设意味着无差异曲线严格凸吗

〔2〕无差异曲线的严格凸性意味着商品x和N的边际效用递减吗

解：〔1〕否，当效用函数为严格拟凹时，无差异曲线凸向远点，与边际效用递减无关。

〔2〕否，边际替代率递减。

18.有一个消费者，某商品价格上涨1000元时，其间接效用减少60个单位；而货币收入增

加1000元时，其间接效用增加5个单位，问这个消费者对该商品的消费量是多少

由儒dVjdPx-60/1000

解：=-xM解得xM

dV/dM5/1000

故消费量为12个单位。

19.假设消费者消费两种商品修和》2，价格分别为0,02，效用函数为：

U(xl,x2)=xfx*(a,b>O,a+b=V),消费者的收入为I.

〔1〕求消费者的马歇尔需求函数(p।,介，/)和X?(p1,p2,/),并验证它是零次齐次函

数；

〔2〕求间接效用函数V(p”p2，/);

〔3〕求货币的边际效用。

a

解：极大化问题为maxM(XPX2)=x}x^

*al

X］一

1

Lq=ax/x^-Ap}=0(a+b)P|

*bl

L=如"九2"'一沏2=0,均衡解为＜

xx9—

'(a+h)p2

七九二/一〃然］一〃2%2=°ha-\