统考版2024届高考数学一轮复习第四章4.7解三角形应用举例课时作业理含解析20230426180

统考版2024届高考数学一轮复习第四章4.7解三角形应用举例课时作业理含解析20230426180课时作业25解三角形应用举例[基础达标]一、选择题1．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A．①②B．②③C．①③D．①②③2．[2021·武汉三中月考]如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C南偏西40°方向上，灯塔B在观察站C南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°方向上B．北偏西10°方向上C．南偏东80°方向上D．南偏西80°方向上3．一艘船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为()A．15eq\r(2)kmB．30eq\r(2)kmC．45eq\r(2)kmD．60eq\r(2)km4．[2021·河南豫西名校联考]当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使安的影子最长，则竹竿与地面所成的角为()A．30°B．60°C．45°D．90°5．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔的高度是()A．100eq\r(2)mB．400mC．200eq\r(3)mD．500m二、填空题6.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.7.如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300eq\r(3)m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________m.8．[2021·南昌市模拟]已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v公里/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cos(α－β)＝eq\f(24,25)，则v＝________.三、解答题9．渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以15eq\r(3)海里/时的速度向正北方向航行，该船在A点处时发现在北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，此时发现该小岛在北偏东60°方向上，若该船向正北方向继续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？10.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100eq\r(3)米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tanθ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．[能力挑战]11．[2021·江西南昌模拟]如图，D是△ABC边AC上的一点，△BCD的面积是△ABD面积的2倍，∠CBD＝2∠ABD＝2θ.(1)若θ＝eq\f(π,6)，求eq\f(sinA,sinC)的值；(2)若BC＝4，AB＝2eq\r(2)，求边AC的长．课时作业251．解析：知两角一边可用正弦定理解三角形，故方案①③可以确定A，B间的距离，知两边及其夹角可用余弦定理解三角形，故方案②可以确定A，B间的距离．答案：D2．解析：由条件及题图可知，∠A＝∠ABC＝40°，因为∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向上．答案：D3．解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理得eq\f(60,sin45°)＝eq\f(BM,sin30°)，解得BM＝30eq\r(2).故选B项答案：B4．解析：设竹竿与地面所成的角为α，影子长为xm．由正弦定理得eq\f(2,sin60°)＝eq\f(x,sin120°－α)，所以x＝eq\f(4\r(3),3)sin(120°－α)，因为30°<120°－α<120°，所以当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最大值．故竹竿与地面所成的角为30°时，影子最长．故选A项．答案：A5．解析：由题意画出示意图，设塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝eq\r(3)hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500m．故选D项．答案：D6．解析：由已知∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝eq\r(3)a，所以在Rt△ADB中，AB＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),2)a.答案：eq\f(\r(3),2)a7．解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan60°＝900(m)，故PQ＝900m，∴P，Q两点间的距离为900m.答案：9008．解析：如图所示，AB＝150，AC＝200，根据题意可知∠B＝α，∠C＝β，因为cos(α－β)＝eq\f(24,25)，所以sin(α－β)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,25)))2)＝eq\f(7,25).在三角形ABC中，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得eq\f(150,sinβ)＝eq\f(200,sinα)，得4sinβ＝3sinα，所以4sinβ＝3sin[β＋(α－β)]＝3[sinβcos(α－β)＋cosβsin(α－β)]＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,25)sinβ＋\f(7,25)cosβ))，整理得4sinβ＝3cosβ.又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝eq\f(3,5)，进而sinα＝eq\f(4,5)，所以有sin2α＋sin2β＝1，所以α＝90°－β，所以∠BAC＝180°－(α＋β)＝90°，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(1502＋2002)＝250，故v＝eq\f(250,2.5)＝100.答案：1009．解析：根据题意画出相应的图形，如图所示，过C作CD⊥AD于点D，由题意得：AB＝eq\f(20,60)×15eq\r(3)＝5eq\r(3)(海里)因为∠A＝30°，∠CBD＝60°，所以∠BCA＝30°，则△ABC为等腰三角形，所以BC＝5eq\r(3).在△BCD中，因为∠CBD＝60°，CD⊥AD，BC＝5eq\r(3)，所以CD＝eq\f(15,2)，则该船向北继续航行，船与小岛的最小距离为7.5海里．10．解析：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100eq\r(3)，连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100eq\r(3)，所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100eq\r(3).在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，所以BQ＝100eq\r(5)，cosθ＝eq\f(\r(5),5).在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝(100eq\r(5))2，所以BA＝100eq\r(5).即两发射塔顶A，B之间的距离是100eq\r(5)米．11．解析：因为△BCD的面积是△ABD面积的2倍，∠CBD＝2∠ABD＝eq\f(π,3)，所以eq\f(1,2)BC·BDsineq\f(π,3)＝2×eq\f(1,2)BA·BDsineq\f(π,6)，所以eq\f(BC,BA)＝eq\f(2,\r(3))，则eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).(2)因为eq\f(1,2)BC·BDsin2θ＝2×eq\f(1,2)BA·BDsinθ，所以4×2sinθcosθ＝2×2eq\r(2)sinθ，又sinθ>0，所以cosθ＝eq\f(\r(2),2)，所以θ＝eq\f(π,4)，∠ABC＝3θ＝eq\f(3π,4)，所以AC2＝16＋8－2×4×2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝40，所以AC＝2eq\r(10).课时作业26平面向量的概念及其线性运算[基础达标]一、选择题1．[2021·山西太原月考]化简eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．2eq\o(BC,\s\up6(→))B．0C．－2eq\o(BC,\s\up6(→))D．2eq\o(AC,\s\up6(→))2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa＋b与c共线，则实数λ等于()A．－2B．－1C．1D．23．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|≥|λ|·a4．[2021·山东省师大附中模拟]设a，b是非零向量，则a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线6．[2021·山东威海模拟]设a，b不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A．－2B．－1C．1D．27．[2021·河北衡水中学月考]设D为△ABC所在平面内一点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，则()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))8.[2021·云南师大附中月考]在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，eq\o(CE,\s\up6(→))＝－2eq\o(DE,\s\up6(→))，若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，则x＋y＝()A．1B．6C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,3)9．[2021·四川江油中学模拟]如图，AB是圆O的一条直径，C，D为半圆弧的两个三等分点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))B．2eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))D．2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))10.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法不正确的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)二、填空题11．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________.12．已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________.13．如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))，则λ＋μ的值为________．14．在△ABC中，N是AC边上一点且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值是________．[能力挑战]15．已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的延长线上C．点P在线段AB的反向延长线上D．点P在射线AB上16．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以P，Q，R，S，T为顶点的多边形为正五边形，且eq\f(PT,AT)＝eq\f(\r(5)－1,2).下列关系中正确的是()A.eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(TS,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up6(→))B.eq\o(CQ,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(TS,\s\up6(→))C.eq\o(ES,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(BQ,\s\up6(→))D.eq\o(AT,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up6(→))17．[2021·唐山模拟]在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，则μ的取值范围是________．课时作业261．解析：依题意得eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2eq\o(BC,\s\up6(→)).故选C项．答案：C2．解析：由题中所给图象可得，2a＋b＝c，又c＝μ(λa＋b)，所以λ＝2.故选D.答案：D3．解析：对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．答案：B4．解析：由a＝2b可知，a，b方向相同，eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)表示a，b方向上的单位向量，所以eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立；反之不成立．故选B.答案：B5．解析：∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))共线，由于eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))有公共点B，因此A，B，D三点共线，故选B.答案：B6．解析：因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共线．设eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.答案：B7．解析：由题意得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选A项．答案：A8．解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，因为eq\o(CE,\s\up6(→))＝－2eq\o(DE,\s\up6(→))，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，又因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,2)，所以x＋y＝eq\f(1,6).答案：C9．解析：连接CD.∵C，D是半圆弧的两个三等分点，∴CD∥AB，且AB＝2CD.∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))＝2(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))，故选D.答案：D10．解析：若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点，故A正确；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即有eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；如图，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，可得2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，设eq\o(AN,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，则M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)，故D正确．故选B.答案：B11．解析：因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)12．解析：因为M，N，P三点共线，所以存在实数k使得eq\o(MN,\s\up6(→))＝keq\o(NP,\s\up6(→))，所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2为平面内两个不共线的向量，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝kλ，,－3＝6k，))解得λ＝－4.答案：－413．解析：在△AEC中，eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AE,\s\up6(→))，所以λ＝2，μ＝－2，λ＋μ＝0.答案：014．解析：因为eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→))，因为P是BN上一点，所以B，P，N三点共线，所以m＋eq\f(2,3)＝1，则m＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)15．解析：由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\o(AB,\s\up6(→))，所以点P在射线AB上．答案：D16．解析：由已知，eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(TS,\s\up6(→))＝eq\o(TE,\s\up6(→))－eq\o(TS,\s\up6(→))＝eq\o(SE,\s\up6(→))＝eq\f(\o(RS,\s\up6(→)),\f(\r(5)－1,2))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up6(→))，所以A正确；eq\o(CQ,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\o(TA,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(ST,\s\up6(→))，所以B错误；eq\o(ES,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(RC,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→))＝eq\o(RQ,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(QB,\s\up6(→))，所以C错误；eq\o(AT,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(SD,\s\up6(→))＋eq\o(RD,\s\up6(→))，eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up6(→))＝eq\o(RS,\s\up6(→))＝eq\o(RD,\s\up6(→))－eq\o(SD,\s\up6(→))，若eq\o(AT,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up6(→))，则eq\o(SD,\s\up6(→))＝0，不合题意，所以D错误．答案：A17．解析：由已知AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).因为点E在线段CD上，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)．因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋2μeq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up6(→))，所以eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))课时作业27平面向量基本定理及坐标表示[基础达标]一、选择题1．[2021·山东临沂联考]若eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1,0)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A．(2,2)B．(2,0)C．(0,2)D．(0，－2)2．如图，在△AOB中，P为线段AB上的一点，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，则()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)3．[2021·山东济南调研]已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋b与a－2b共线，则m的值为()A．2B．－2C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)4．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．25．已点A(0,1)，B(3,2)，C(2，k)，且A，B，C三点共线，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，2))二、填空题6．[2021·广州市高中综合测试]已知向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，则实数m＝________.7．[2021·天津二十四中月考]已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为________．8．[2021·石家庄检测]平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))，则λμ＝________.三、解答题9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝eq\f(1,3)BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，试用a，b为基底表示向量eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).10.已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．[能力挑战]11．[2021·甘肃酒泉五校联考]已知a＝(3，－2m)，b＝(1，m－2)是同一平面内的两个向量，且该平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,5)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，＋∞))C．(－∞，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)12．[2021·甘肃兰州一中月考]已知a，b为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足c＋a＝λ(c＋b)(λ∈R)，则|c|的最小值为________．13．已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinA，\f(1,2)))与向量n＝(3，sinA＋eq\r(3)cosA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为________．课时作业271．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1,2)－(1,0)＝(0,2)．答案：C2．解析：由题意知eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→)).∴x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).答案：A3．解析：由a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)，又ma＋b与a－2b共线，所以－1×(2m－1)＝(3m＋2)×4，解得m＝－eq\f(1,2)，故选D项．答案：D4．解析：因为a＋λb＝(1＋λ，2)，(a＋λb)∥c，所以eq\f(1＋λ,3)＝eq\f(2,4)，所以λ＝eq\f(1,2).答案：B5．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，k－1)，因为A，B，C三点共线，所以可设eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即(3,1)＝λ(2，k－1)，所以2λ＝3，即λ＝eq\f(3,2)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3))).故选A项．答案：A6．解析：解法一a＋b＝(m＋1,3)，|a＋b|＝eq\r(m＋12＋9)，|a|＝eq\r(m2＋4)，|b|＝eq\r(2)，由|a＋b|＝|a|＋|b|，得eq\r(m＋12＋9)＝eq\r(m2＋4)＋eq\r(2)，两边分别平方得m2＋2m＋10＝m2＋6＋2eq\r(2)×eq\r(m2＋4)，即m＋2＝eq\r(2)×eq\r(m2＋4)，两边分别平方得m2＋4m＋4＝2m2＋8，解得m＝2.解法二a·b＝(m,2)·(1,1)＝m＋2，|a|＝eq\r(m2＋4)，|b|＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，由|a＋b|＝|a|＋|b|，得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＋2|a||b|，即a·b＝|a||b|，故m＋2＝eq\r(2)×eq\r(m2＋4)，两边分别平方得m2＋4m＋4＝2m2＋8，解得m＝2.答案：27．解析：∵p∥q，∴x＝－4，∴q＝(－4,6)，∴p＋q＝(－2,3)，∴|p＋q|＝eq\r(13).答案：eq\r(13)8.解析：∵eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋3μeq\o(AB,\s\up6(→))－2μeq\o(AM,\s\up6(→))，∴(1－3μ)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(λ－2μ)eq\o(AM,\s\up6(→))，∵eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AM,\s\up6(→))是不共线向量，∴