新高考数学二轮复习考点突破学案4.8《与空间角有关的最值问题》（原卷版）

微重点14与空间角有关的最值问题立体几何动态问题中，空间角的最值及范围问题是高考的常考题型，常与图形翻折、点线面等几何元素的变化有关，常用方法有几何法、函数(导数)法、不等式法等.主要是利用三角函数值比较及最小角定理(线面角是最小的线线角，二面角是最大的线面角)等求解.考点一空间角的大小比较例1已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1＝a，AB＝b，且a＞b，侧棱CC1上一点E满足CC1＝3CE，设异面直线A1B与AD1，A1B与D1B1，AE与D1B1所成的角分别为α，β，γ，则()A.α＜β＜γB.γ＜β＜αC.β＜α＜γD.α＜γ＜β规律方法(1)最小角定理：直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角中最小的角(线面角是最小的线线角).(2)最大角定理：二面角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大角(二面角是最大的线面角).跟踪演练1设三棱锥V﹣ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ，则()A.β<γ，α<γB.β<α，β<γC.β<α，γ<αD.α<β，γ<β考点二空间角的最值例2已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是BC，B1C1的中点，点P是截面AB1C1D(包括边界)上的动点，D1P＝eq\f(\r(34),3)，2eq\o(ME,\s\up6(→))＝eq\o(EN,\s\up6(→))，则EP与平面AB1C1D所成最大角的正切值为________.规律方法求空间角最值、范围的两种常用方法(1)利用空间角的定义及几何图形找到空间角，构造三角形，利用三角函数的比值构造函数求最值、范围.(2)建立空间坐标系，利用坐标运算求空间角的三角函数值，构造函数求最值、范围.跟踪演练2如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1D的中点，N为线段CD1上的动点，则直线C1D与直线MN所成角的正弦值的最小值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(6),6)C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(6),4)考点三空间角的范围例3如图1，在平面多边形ABCDE中，四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角形.将△ADE所在平面沿AD折叠，使得点E达到点S的位置(如图2).若二面角S﹣AD﹣C的平面角θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，则异面直线AC与SD所成角的余弦值的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),16)，\f(\r(2),4)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),16)，\f(\r(2),4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),16)，\f(\r(6)＋\r(2),16)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),8)))易错提醒求空间角的范围时，要注意空间角自身的范围；利用坐标法求角时，要注意向量夹角与空间的关系.跟踪演练3在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设点P在棱CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(3),3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，1))专题强化练1.在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC所成角的范围(包含初始状态)为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))2.已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则()A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ13.(多选)如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则()A.直线BD1⊥平面A1C1DB.三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值C.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))D.直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为eq\f(\r(6),4)4.如图，在等边△ABC中，D，E分别是线段AB，AC上异于端点的动点，且BD＝CE，现将△ADE沿直线DE折起，使平面ADE⊥平面BCED，当D从B滑动到A的过程中，则下列选项中错误的是()A.∠ADB的大小不会发生变化B.二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小不会发生变化C.BD与平面ABC所成的角变大D.AB与DE所成的角先变小后变大5.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱AB(包括端点)上的动点，设点P在运动过程中，