新高考数学二轮复习考点突破学案5.1《计数原理与概率》（原卷版）

第1讲计数原理与概率[考情分析]1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率的基本应用.考点一排列与组合问题核心提炼解决排列、组合问题的一般过程(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素.例1(1)甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到A，B，C三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：交通路口ABC志愿者甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求A，B，C三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法有()A.14种B.11种C.8种D.5种(2)2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时，创意新颖，惊艳了全球观众，某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？()A.192B.240C.120D.288规律方法排列、组合问题的求解方法与技巧(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化.跟踪演练1(1)2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审.评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有()A.144种B.336种C.672种D.1008种(2)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为()A.12B.14C.16D.18考点二二项式定理核心提炼1.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简.(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项公式即得所求.2.对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解.例2(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答).(2)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x4)))n的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a的值为________，展开式中的常数项为________.易错提醒二项式(a＋b)n的通项公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an﹣kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二项式的展开式的第k＋1项，而不是第k项；其中Ceq\o\al(k,n)是二项式展开式的第k＋1项的二项式系数，而二项式的展开式的第k＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数.跟踪演练2(1)若(1﹣x)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8，则a6等于()A.﹣448B.﹣112C.112D.448(2)(多选)已知(1﹣2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，则()A.展开式中各项系数和为1B.展开式中所有项的二项式系数和为22023C.a1＋a2＋a3＋…＋a2023＝﹣2D.a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝0考点三概率核心提炼1.古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事件A包含的样本点数,试验的样本点总数).2.条件概率公式设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，则P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).3.全概率公式设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai).例3(1)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)(2)(多选)甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2，A3表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则()A.A1，A2，A3两两互斥B.P(B|A2)＝eq\f(2,5)C.P(B)＝eq\f(1,2)D.B与A1相互独立(3)甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为eq\f(2,3)，而乙、丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同.则甲获得冠军的概率为()A.eq\f(8,27)B.eq\f(16,27)C.eq\f(32,81)D.eq\f(40,81)规律方法求概率的方法与技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解.(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解.(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解.跟踪演练3(1)某市在文明城市建设中，鼓励市民“读书好，好读书，读好书”.在各阅览室设立茶座，让人们在休闲中阅读有用有益图书.某阅览室为了提高阅读率，对于周末前来阅读的前三名阅读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍中随意挑选一本，则他们有且仅有2名阅读者挑选同一种书的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(4,9)C.eq\f(3,4)D.eq\f(9,16)(2)(多选)一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲、乙分别作答，至少答对2题者被评为“智答能手”.设甲被评为“智答能手”为事件A，乙被评为“智答能手”为事件B，若P(B|A)＝P(B)，则下列结论正确的是()A.P(A|B)＝P(A)B.P(eq\x\to(B)|A)＝eq\f(1,15)C.甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为eq\f(16,45)D.甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为eq\f(44,45)专题强化练一、单项选择题1.(eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6展开式中的常数项为()A.﹣540B.﹣15C.15D.1352.某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻.现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有()A.80种B.120种C.130种D.140种3.(a﹣x)(2＋x)6的展开式中x5的系数是12，则实数a的值为()A.4B.5C.6D.74.从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为()A.eq\f(1,14)B.eq\f(3,7)C.eq\f(4,7)D.eq\f(3,4)5.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,8)D.eq\f(3,4)6.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工休假的概率均为eq\f(1,3)，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日都能正常营业的概率为()A.eq\f(1,9)B.eq\f(4,9)C.eq\f(5,9)D.eq\f(8,9)7.定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a＝b(modm)，比如：26＝16(mod10).已知n＝Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)·8＋Ceq\o\al(2,10)·82＋…＋Ceq\o\al(10,10)·810，满足n＝p(mod7)，则p可以是()A.23B.31C.32D.198.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是()A.Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,10)＝165B.在第2022行中第1011个数最大C.第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数D.第34行中第15个数与第16个数之比为2∶3二、多项选择题9.已知(a＋b)n的展开式中第五项的二项式系数最大，则n的值可以为()A.7B.8C.9D.1010.抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件A＝“x＋y＝7”，事件B＝“xy为奇数”，事件C＝“x＞3”，则下列结论正确的是()A.A与B互斥B.A与B对立C.P(B|C)＝eq\f(1,3)D.A与C相互独立11.A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有()A.若A，B两人站在一起，则共有24种排法B.若A，B不相邻，则共有72种排法C.若A在B左边，则共有60种排法D.若A不站在最左边，B不站在最右边，则共有78种排法12.甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1,2,3,4，乙四个面上分别标有数字5,6,7,8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是()A.P(A)＝P(B)＝P(C)B.P(BC)＝P(AC)＝P(AB)C.P(ABC)＝eq\f(1,8)D.P(B|A)＝eq\f(1,2