数学（文）：课时作业13 变化率与导数、导数的计算 作业

课时作业13变化率与导数、导数的计算一、选择题1．(2018·惠州模拟)已知函数f(x)＝eq\f(1,x)cosx，则f(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝()A．－eq\f(3,π2) B．－eq\f(1,π2)C．－eq\f(3,π) D．－eq\f(1,π)解析：由题可知，f(π)＝－eq\f(1,π)，f′(x)＝－eq\f(1,x2)cosx＋eq\f(1,x)(－sinx)，则f(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(1,π)＋eq\f(2,π)×(－1)＝－eq\f(3,π).答案：C2．(2018·广东广州一模)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为()A．(0,0) B．(1，－1)C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)解析：由题可知，f′(x)＝3x2＋2ax，则有f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋2ax0＝－1.因为切点可写为(x0，－x0)，所以xeq\o\al(3,0)＋axeq\o\al(2,0)＝－x0，两式联立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,x0＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,x0＝1，))则点P的坐标为(－1,1)或(1，－1)．故选D.答案：D3．(2018·湖南邵阳模拟)已知a>0，曲线f(x)＝2ax2－eq\f(1,ax)在点(1，f(1))处的切线的斜率为k，则当k取最小值时，a的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C．1 D．2解析：由题意可得，f′(x)＝4ax＋eq\f(1,ax2)，所以f′(1)＝4a＋eq\f(1,a)≥2eq\r(4a·\f(1,a))＝4，当且仅当a＝eq\f(1,2)时，f′(1)取最小值为4.故选A.答案：A4．已知f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx＋eq\f(7,2)(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为()A．－1 B．－3C．－4 D．－2解析：∵f′(x)＝eq\f(1,x)，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋mx0＋eq\f(7,2)，m<0，于是解得m＝－2.答案：D5．(2018·成都第二次诊断)若曲线y＝f(x)＝lnx＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()A．(－eq\f(1,2)，＋∞) B．[－eq\f(1,2)，＋∞)C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)解析：f′(x)＝eq\f(1,x)＋2ax＝eq\f(2ax2＋1,x)(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－eq\f(1,x2)(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.答案：D6．(2018·重庆诊断)已知函数f(x)＝eq\f(2,ex＋1)＋sinx，其导函数为f′(x)，则f(2017)＋f(－2017)＋f′(2017)－f′(－2017)的值为()A．0 B．2C．2017 D．－2017解析：∵f(x)＝eq\f(2,ex＋1)＋sinx，∴f′(x)＝－eq\f(2ex,ex＋12)＋cosx，f(x)＋f(－x)＝eq\f(2,ex＋1)＋sinx＋eq\f(2,e－x＋1)＋sin(－x)＝2，f′(x)－f′(－x)＝－eq\f(2ex,ex＋12)＋cosx＋eq\f(2e－x,e－x＋12)－cos(－x)＝0，∴f(2017)＋f(－2017)＋f′(2017)－f′(－2017)＝2.答案：B二、填空题7．已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2x·f′(2)，则函数f(x)的解析式为________．解析：由题意得f′(x)＝2x＋2f′(2)，则f′(2)＝4＋2f′(2)，所以f′(2)＝－4，所以f(x)＝x2－8x.答案：f(x)＝x2－8x8．(2018·河南百校联盟质检)设曲线f(x)＝exsinx在(0,0)处的切线与直线x＋my＋1＝0平行，则m＝________.解析：∵f′(x)＝ex(sinx＋cosx)，∴k＝f′(0)＝1＝－eq\f(1,m)，∴m＝－1.答案：－19．(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．解析：因为f′(x)＝a－eq\f(1,x)，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.答案：110．(2018·西安一模)定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导函数，记作f″(x)＝[f′(x)]′.定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f″(x)>0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数．已知函数f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2＋1在区间D上为凹函数，则x的取值范围是________．解析：∵f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2＋1，∴f′(x)＝3x2－3x，f″(x)＝6x－3，令f″(x)>0，解得：x>eq\f(1,2).答案：(eq\f(1,2)，＋∞)三、解答题11．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．解：(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)，又切线过点P(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，所以xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－2＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，所以经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.12．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值．(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝b＝0，,f′0＝－aa＋2＝－3，))解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－eq\f(1,2).所以a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).1．(2018·广州模拟)过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有()A．3条 B．2条C．1条 D．0条解析：由题意得，f′(x)＝3x2－3，设切点为(x0，xeq\o\al(3,0)－3x0)，那么切线的斜率为k＝3xeq\o\al(2,0)－3，利用点斜式方程可知切线方程为y－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(x－x0)，将点A(2,1)代入可得关于x0的一元三次方程2xeq\o\al(3,0)－6xeq\o\al(2,0)＋7＝0.令z＝2xeq\o\al(3,0)－6xeq\o\al(2,0)＋7，则z′＝6xeq\o\al(2,0)－12x0.由z′＝0得x0＝0或x0＝2.当x0＝0时，z＝7>0；x0＝2时，z＝－1<0.所以方程2xeq\o\al(3,0)－6xeq\o\al(2,0)＋7＝0有3个解．故过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有3条．答案：A2．(2018·蚌埠模拟)已知函数f(x)＝lnx－x3与g(x)＝x3－ax的图象上存在关于x轴的对称点，则a的取值范围为()A．(－∞，e) B．(－∞，e]C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e)))解析：函数f(x)＝lnx－x3与g(x)＝x3－ax的图象上存在关于x轴的对称点，所以f(x)＝－g(x)有解，所以lnx－x3＝－x3＋ax，所以lnx＝ax在(0，＋∞)有解，分别设y＝lnx，y＝ax，若y＝ax为y＝lnx的切线，因为y＝lnx的导数y′＝eq\f(1,x)，设切点为(x0，y0)，所以a＝eq\f(1,x0)，ax0＝lnx0，所以x0＝e，所以a＝eq\f(1,e)，结合图象可知，a≤eq\f(1,e).答案：D3．(2018·开封模拟)若函数f(x)＝|lnx|－mx恰有3个零点，则m的取值范围是________．解析：令f(x)＝|lnx|－mx＝0，得到函数y＝|lnx|与y＝mx，它们在同一平面直角坐标系内的图象如下：当x>1时，y＝lnx，y′＝eq\f(1,x)，设两个函数相切，此时切点为(x0，y0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)＝m，,y0＝mx0，,y0＝lnx0，))解得m＝eq\f(1,e)，结合图象得，欲使有三个零点，则需满足：m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))4．(2018·合肥市第一次质检)已知直线y＝b与函数f(x)＝2x＋3和g(x)＝ax＋lnx分别交于A，B两点，若|AB|的最小值为2，则a＋b＝________.解析：设点B(x0，b)，欲使|AB|最小，曲线g(x)＝ax＋lnx在点B(x0，b)处的切线与f(x)＝2x＋3平行，则有a＋eq\f(1,x0)＝2，解得x0＝eq\f(1,2－a)，进而可得a·eq\f(1,2－a)＋lneq\f(1,2－a)＝b①，又点A坐标为(eq\f(b－3,2)，b)，所以|AB|＝x0－eq\f(b－3,2)＝eq\f(1,2－a)－eq\f(b－3,2)＝2②，联立方程①②可解得，a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.答案：25．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线