新高考数学一轮复习 第六章 不等式 课时作业37 不等关系与不等式（含解析）-人教版高三数学试题

第六章不等式课时作业37不等关系与不等式一、选择题1．设M＝x2＋6x，N＝5x－1，则M与N的大小关系是(A)A．M>N B．M＝NC．M<N D．与x有关解析：∵M－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴M>N，故选A.2．若a，b为实数，则“a2>b2”是“a>b>0”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当a>b>0时，a2>b2成立．当a＝－3，b＝－1时，满足a2>b2，但a>b>0不成立，所以“a2>b2”是“a>b>03．下列命题中，正确的是(C)A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若ac>bc，则a>bC．若eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，则a<bD．若a>b，c>d，则a－c>b－d解析：A项，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；B项，当c<0时，ac>bc⇒a<b，所以B错误；C项，因为eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，所以c≠0，又c2>0，所以a<b，C正确；D项，取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误，故选C.4．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论正确的是(D)A．a2>b2 B．1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))aC.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)<2 D．aeb>bea解析：由题意知，b<a<0，则a2<b2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a>1，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2，∵b<a<0，∴ea>eb>0，－b>－a>0，∴－bea>－aeb，∴aeb>bea，故选D.5．(多选题)已知a<0，b>0，那么下列不等式中一定成立的是(ACD)A．b－a>0 B．|a|>|b|C．a2>ab D.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)解析：因为a<0，b>0，所以b－a>0，a2>ab，故选项A、C正确；取a＝－1，b＝2，则|a|<|b|，故选项B错误；因为eq\f(1,a)<0，eq\f(1,b)>0，所以eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，故选项D正确，故选ACD.6．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是(C)A．xy>yzB．xz>yzC．xy>xzD．x|y|>z|y|解析：∵x>y>z且x＋y＋z＝0，∴3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，∴x>0，z<0，又y>z，∴xy>xz.7．若α，β满足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则2α－β的取值范围是(C)A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<πC．－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2) D．0<2α－β<π解析：∵－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，∴－π<2α<π.∵－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(3π,2).又α－β<0，α<eq\f(π,2)，∴2α－β<eq\f(π,2).故－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2).8．设x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，则(A)A．P>Q B．P<QC．P≤Q D．P≥Q解析：因为2x＋2－x≥2eq\r(2x·2－x)＝2(当且仅当x＝0时等号成立)，而x>0，所以P>2；又(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2.于是P>Q.故选A.9．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是(C)A．ab<b2<1 B．logeq\s\do8(\f(1,2))b<logeq\s\do8(\f(1,2))a<0C．2b<2a<2 D．a2<ab解析：方法1：(特殊值法)：取b＝eq\f(1,4)，a＝eq\f(1,2).则ab＝eq\f(1,8)，b2＝eq\f(1,16)，故A不对；a2＝eq\f(1,4)，ab＝eq\f(1,8)，故D不对；logeq\s\do8(\f(1,2))b＝2，logeq\s\do8(\f(1,2))a＝1，故B不对，故选C.方法2：(单调性法)：0<b<a⇒b2<ab，A不对；y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x在(0，＋∞)上为减函数，∴logeq\s\do8(\f(1,2))b>logeq\s\do8(\f(1,2))a，B不对；a>b>0⇒a2>ab，D不对，故选C.10．若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln4,4)，c＝eq\f(ln5,5)，则(B)A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<a<c解析：方法1：对于函数y＝f(x)＝eq\f(lnx,x)(x>e)，y′＝eq\f(1－lnx,x2)，易知当x>e时，函数f(x)单调递减．因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.方法2：易知a，b，c都是正数，eq\f(b,a)＝eq\f(3ln4,4ln3)＝log8164<1，所以a>b；eq\f(b,c)＝eq\f(5ln4,4ln5)＝log6251024>1，所以b>c.即c<b<a.二、填空题11．已知有三个条件：①ac2>bc2，②eq\f(a,c)>eq\f(b,c)；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件的是①.解析：由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，a<b；③当a<0，b<0时，a<b，故②③不是a>b12．已知a＋b>0，则eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系是eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).解析：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).13．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/千克、b元/千克，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同，家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，购买方式更优惠的是(平均单价低视为实惠)乙．(在横线上填“甲”或“乙”即可)解析：由题意得甲购买鸡蛋的平均单价为eq\f(3a＋3b,6)＝eq\f(a＋b,2)，乙购买鸡的平均单价为eq\f(20,\f(10,a)＋\f(10,b))＝eq\f(2ab,a＋b).由条件得a≠b.∵eq\f(a＋b,2)－eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(a－b2,2a＋b)>0，∴eq\f(a＋b,2)>eq\f(2ab,a＋b)，∴乙的购买方式更优惠．14．已知a，b≥0，P＝a3＋b3，Q＝eq\r(ab)(a2＋b2)，则P，Q的大小关系为P≥Q.解析：由a，b是非负实数，作差可得P－Q＝a3＋b3－eq\r(ab)(a2＋b2)＝a2eq\r(a)(eq\r(a)－eq\r(b))＋b2eq\r(b)(eq\r(b)－eq\r(a))＝(eq\r(a)－eq\r(b))[(eq\r(a))5－(eq\r(b))5]．当a≥b时，eq\r(a)≥eq\r(b)≥0，∴(eq\r(a))5≥(eq\r(b))5，得(eq\r(a)－eq\r(b))[(eq\r(a))5－(eq\r(b))5]≥0；当a<b时，0≤eq\r(a)<eq\r(b)，∴(eq\r(a))5<(eq\r(b))5，得(eq\r(a)－eq\r(b))[(eq\r(a))5－eq\r(b))5]>0.∴a3＋b3≥eq\r(ab)(a2＋b2)，即P≥Q.15．若实数a，b，c满足对任意实数x，y，都有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x＋4y＋5，则(A)A．a＋b－c的最小值为2B．a－b＋c的最小值为－4C．a＋b－c的最大值为4D．a－b＋c的最大值为6解析：当x＝1，y＝－1时，－6≤a－b＋c≤4，所以a－b＋c的最小值为－6，最大值为4，故B，D错误；当x＝－1，y＝－1时，－12≤－a－b＋c≤－2，则2≤a＋b－c≤12，所以a＋b－c的最小值为2，最大值为12.故选A.16．已知a>b>0，x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，则(A)A．x<z<yB．z<x<yC．z<y<xD．y<z<x解析：解法1：由题意，令a＝2，b＝1，则x＝2＋e，y＝1＋2e2，z＝1＋2e，显然有1＋2e2>1＋2e>2＋e，即x<z<y.解法2：a>b>0时，ea>eb，∴aea>aeb>beb，∴b＋aea>b＋aeb>b＋beb，∴y>z，∵z－x＝(b－a)＋(a－b)eb＝(a－b)(eb－1)>0，∴z>x.∴x<z<y.故选A.17．已知eq\r(2)介于eq\f(n＋3,n＋1)与eq\f(n＋4,n＋2)之间，则正整数n的值为3