人教版八年级数学上册 专题11.3 多边形及其内角和（讲练）（解析版）

专题11.3多边形及其内角和典例体系一、知识点1、边形的内角和=；2、边形的外角和=。3、一个边形的对角线有条，过边形一个顶点能作出条对角线，把边形分成了个三角形。4、各角都相等、各边都相等的多边形叫做正多边形，边数为n的正多边形，也叫作正n边形.5、多边形的镶嵌（密铺）问题.二、考点点拨与训练考点1：与多边形内角有关的计算典例：（2020·安徽省初三三模）如图，在五边形中，的平分线相交于点，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵五边形的内角和等于(5-2)×180°=540°，∠A+∠B+∠E=280°，∴∠BCD+∠CDE=540°一280°=260°，∵∠BCD，∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=(∠CDE+∠BCD)=130°，∴∠P=180°-130°=50°，故选：C．方法或规律点拨本题考查了多边形的内角和，角平分线的性质，求出五边形内角和是解题关键．巩固练习1．（2020·福建省初三月考）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故选C.2．（2020·福建省初三二模）已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形【答案】B【解析】根据多边形内角和定理，n边形的内角和公式为，因此，由得n=5．故选B．3．（2020·偃师市实验中学初一月考）如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是()A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】设多边形原有边数为x，则(2x−2)×180=2160，2x−2=12，解得x=7，故本题选C.4．（2020·江苏省初一月考）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】∵一个多边形的每个内角都等于135°，∴这个多边形的每个外角都等于180°-135°=45°，∵多边形的外角和为360度，∴这个多边形的边数为：360÷45=8，故选D.5．（2020·北京初三二模）如图，四边形中，过点A的直线l将该四边形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为和，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】直线将四边形ABCD分成两部分，左边为四边形，其内角和为360°，右边为三角形，其内角和为180°，因此故选：B．6．（2022·河南省初一期末）下列选项可能是多边形的内角和的是()A．580° B．1240° C．1080° D．2010°【答案】C【解析】解：判断哪个度数可能是多边形的内角和，看它是否能被180°整除．

580÷180=3...40，1240÷180=6...160，1080÷180=6，2010÷180=11...30，只有1080°能被180°整除．

故选：C．7．（2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）一个多边形的每个内角都是120°，这个多边形是()A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形【答案】B【解析】解：外角是180°-120°=60°，

360÷60=6，则这个多边形是六边形．

故选：B．8．（2020·江苏省初一月考）一个正多边形的每个内角度数均为135°，则它的边数为____．【答案】8【解析】设该正多边形的边数为n由题意得：=135°解得：n=8故答案为8.考点2：与多边形外角有关的计算典例：（2020·陕西省初二期末）如果一个多边形的内角和与外角和之比是13：2，求这个多边形的边数．【答案】15.【解析】解：设这个多边形的边数为，依题意得：，解得，这个多边形的边数为15．方法或规律点拨考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，多边形的外角和等于360度．巩固练习1．（2020·北大附属嘉兴实验学校初二期中）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是（）A．八 B．九 C．十 D．十一【答案】B【解析】根据题意，得：（n-2）•180°=3×360°+180°，解得：n=9，则这个多边形的边数是9．故选B．2．（2020·福建省初一期末）若多边形的边数增加一条，则它的外角和（）A．增加180° B．不变 C．增加360° D．减少180°【答案】B【解析】根据多边形的外角和定理：多边形的外角和都等于360º，与边数多少无关，故选B.3．（2020·广东省初三一模）已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是()A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形【答案】A【解析】这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．故选A．4．（2020·江苏省初一月考）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】B【解析】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n-2）×180°=360°，解得：n=4．故选：B．5．（2020·山东省济宁学院附属中学初三二模）正十边形的外角和为（）A．180° B．360° C．720° D．1440°【答案】B【解析】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，

所以正十边形的外角和等于360°，．

故选：B．6．（2020·重庆西南大学附中初三月考）一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的内角和是（）A．540°B．720°C．900°D．1080°【答案】D【解析】∵正多边形的一个外角是45°，∴360°÷45°=8∴这个正多边形是正八边形∴该正多边形的内角和为：180°×（8-2）=1080°.故答案选：D.7．（2020·陕西省初三一模）已知一个多边形的内角和与外角和之比是3：2，则这个多边形的边数为____．【答案】5【解析】解：设这个多边形的边数为n，依题意得：

（n−2）180°＝×360°，

解得：n＝5．

故这个多边形的边数为5．

故答案为：5．8．（2020·河南省初二期末）如图的七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？()A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】A【解析】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋220°＝4×180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝500°，∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，故答案为A.考点3：正多边形的角度计算典例：（2022·吉林省第二实验学校初三二模）如图，以正六边形的边为直角边作等腰直角三角形，使点在其内部，且，连接，则的大小是__________度．【答案】45【解析】解：在正六边形ABCDEF中，∵∠AFE=∠BAF=∵∠BAG=90°，∴∠FAG=120°-90°=30°，又∵AF=AB=AG，∴∠AFG=∴∠EFG=∠AFE-∠AFG=120°-75°=45°，故答案为：45．方法或规律点拨本题考查了多边形的内角与外角，等腰三角形的性质，熟记多边形的内角和公式是解题方法或规律点拨巩固练习1．（2022·江苏省初一期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为1的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵六边形的内角和为：，∴六个阴影部分所对的圆心角的和为：720°，∴阴影部分的面积相当于两个圆的面积之和，∴阴影部分的面积为：2π×12=2π（）故选B．2．（2021·内蒙古自治区初二期末）有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）A．144° B．84° C．74° D．54°【答案】B【解析】正五边形的内角是∠ABC==108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角是∠ABE=∠E==120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°–120°–120°–36°=84°，故选B．3．（2020·广东省初三其他）如图，在正六边形ABCDEF的外侧，作正方形EFGH，则∠DFH的度数为____．【答案】75°【解析】观察图形可知，△EFH是等腰直角三角形，则∠EFH=45°，△DEF是等腰三角形，∵∠DEF=120°，∴∠EFD=（180°﹣120°）÷2=30°，∴∠DFH=45°+30°=75°．4．（2020·陕西省西北工业大学附属中学初三月考）如果一个正多边形的内角和等于，那么这个正多边形的每一个外角的度数为______．【答案】【解析】正多边形的内角和等于解得：多边形的外角和为，且正多边形的每一个外角均相等这个正多边形的每一个外角的度数为故答案是：5．（2020·上海初三二模）我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为3的正多边形的边数为__________【答案】8【解析】设正多边形的边数为n，∵内角和为，外角和为360°，∴一个内角度数为，一个外角度数为，∴=，解得n=8，经检验n=8是方程的解且符合题意，故答案为：8.6．（2020·山东省初三一模）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____．【答案】140°．【解析】解：该正九边形内角和，则每个内角的度数．故答案为：140°．7．（2020·江苏省泰兴市实验初级中学初一期中）如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，点F在边AB上，∠AFE＝45°，则∠AEF与∠AED的度数的比值是_______．【答案】1:4【解析】解：设∠AEF=x，∵∠AFE＝45°，∴∠A=180°－∠AFE－∠AEF=135°－x∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D=135°－x∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠AED=180°×（5－2）=540°∴∠AED=540°－4（135°－x）=4x∴∠AEF：∠AED=1:4故答案为：1:4．8．（2020·常州市第二十四中学初一期中）一机器人以0.3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为__s．【答案】160.【解析】解：360÷45=8，则所走的路程是：6×8=48m，则所用时间是：48÷0.3=160s．9．（2020·江西省石城二中初三其他）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于______度．【答案】108【解析】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.故答案为108考点4：多边形对角线问题典例：（2020·上蔡县思源实验学校初一月考）一个多边形的外角和是它内角和的，求：（1）这个多边形的边数；（2）这个多边形共有多少条对角线．【答案】（1）边数为10；（2）35条【解析】解：设这个多边形的边数为n，由题意得：180(n-2)×=360，解得：n=10，答：这个多边形的边数为10；（2）10×(10-3)÷2=35（条）．方法或规律点拨本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．巩固练习1．（2020·全国初一）下列多边形中，对角线是5条的多边形是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形【答案】B【解析】n边形对角线条数为∴A.四边形有2条对角线，故错误；B.五边形有5条对角线，正确；C.六边形有9条对角线，故错误；D.七边形有14条对角线，故错误；故选B.2．（2020·全国初一）在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】D【解析】如图，或者根据八边形内一点，和任意一边的两端点均可构成三角形，所以可求得三角形的个数为8.故选：D．3．（2020·全国初一）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．故选：．4．（2020·温州外国语学校初二月考）从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线（）条A．9条 B．10条 C．11条 D．12条【答案】A【解析】解：从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线的条数是条．故选：A．5．（2022·北京初三其他）若一个多边形从一个顶点出发的对角线共有3条，则这个多边形的内角和为（）A．360° B．540° C．720° D．1080°【答案】C【解析】从一个顶点出发的对角线共有3条这个多边形是一个六边形则这个多边形的内角和为故选：C．6．（2022·北京市第四十一中学初二期中）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成()个三角形．A．6 B．5 C．8 D．7【答案】B【解析】从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7-2=5个三角形．

故选B．7．（2022·重庆市凤鸣山中学初一期中）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2100°则这个多边形的对角线共有（）A．104条 B．90条 C．77条 D．65条【答案】C【解析】解：，则正多边形的边数是11+2+1=14．∴这个多边形的对角线共有条．故选：C．考点5：多边形的镶嵌问题典例：40．（2020·长春市第四十七中学初一期中）如图所示的图形中，能够用一个图形镶嵌整个平面的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：等腰三角形的内角和是180°，能被360°整除，放在同一顶点处能够用一种图形镶嵌整个平面；四边形的内角和是360°，能被360°整除，放在同一顶点处能够用一种图形镶嵌整个平面；正六边形的每个内角是120°，能被360°整除，能够用一种图形镶嵌整个平面；正五边形的每个内角是108°，不能被360°整除，放在同一顶点处不能够用一种图形镶嵌整个平面；圆不能够用一种图形镶嵌整个平面；综上所述，能够用一种图形镶嵌整个平面的有3个．故选：C．方法或规律点拨本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握几何图形镶嵌成整个平面的关键是解题的钥匙．巩固练习1．（2020·偃师市实验中学初一月考）用下列边长相同的正多边形组合，能够铺满地面不留缝隙的是（）A．正八边形和正三角形 B．正五边形和正八边形C．正六边形和正三角形 D．正六边形和正五边形【答案】C【解析】A、正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，正三角形的每个内角60°．135m+60n=360°，n=6-m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；

B、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，108m+135n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；

C、正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60度．∵2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360度，能铺满；

D、正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，120m+108n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满．

故选C．2．（2022·山西省初一月考）用若干个某种正多边形瓷砖可以铺满地面，这种正多边形瓷砖不可能是（）A．B．C． D．【答案】D【解析】A.正三角形，其单个内角为60°，360°60°=6，A选项满足条件；B.正方形，其单个内角为90°，360°90°=4，B选项满足条件；C.正六边形，其单个内角为120°，360°120°=3，C选项满足条件；D.正八边形，其单个内角为135°，360°135°，D选项不满足条件．故选：D．3．（2020·哈尔滨市中实学校初一期中）能够铺满地面的正多边形组合是（）A．正六边形和正方形 B．正五边形和正八边形C．正方形和正八边形 D．正三角形和正十边形【答案】C【解析】A、正六边形的每个内角是120°，正方形的每个内角是90°，120m+90n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；B、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形每个内角为135度，135m+108n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；C、正方形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面；D、正三角形每个内角为60度，正十边形每个内角为144度，60m+144n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满．故选C．4．（2020·四川省初二期末）只用下列图形不能进行平面镶嵌的是（）A．正六角形 B．正五边形 C．正四边形 D．正三边形【答案】B【解析】解：A、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；B、正五边形每个内角是108°，不能整除360°，不能密铺；C、正四边形的每个内角是90°，能整除360°，能密铺；D、正三边形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．故选：B．5．（2022·雷州市第二中学初三一模）在下列四种边长均为的正多边形中，能与边长为的正三角形作平面镶嵌的正多边形有（）①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【解析】解：正三角形的一个内角度数为，①正方形的一个内角度数为，，那么3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌；②正五边形的一个内角度数为，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌；③正六边形的一个内角度数为，或，可作平面镶嵌；④正八边形的一个内角度数为，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌；能镶嵌的只有2种正多边形．故选．考点6：多边形的去（多）角问题典例：（2022·江苏省初一期中）小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1380度，则这个多边形的边数n的值是_______．【答案】9【解析】设多边形的边数为n，多加的内角度数为α，则（n-2）•180°=1380°-α，∵1380°=7×180°+120°，内角和应是180°的倍数，∴n-2=7，n=9；故答案为：9.方法或规律点拨本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°的倍数是解题的关键．巩固练习1．（2020·全国初一）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（）A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形【答案】A【解析】当截线为经过四边形对角2个顶点的