泰州市靖江高级中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题（解析版）

第17页/共17页靖江高级中学2022-2023学年度第一学期期中调研测试高一数学（考试时间：120分钟总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.命题“，”的否定为（）A， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定格式改写即可.【详解】特称命题的否定格式：首先特称量词改为全称量词，结论改为原结论的反面，故原命题的否定为：，故选:C2.下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；③空集是任意集合的子集，故，正确；④空集没有任何元素，故，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.3.函数的定义域为（）A. B.C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.【详解】由函数解析式有意义可得且，所以函数的定义域是且，故选：D.4.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】首先根据二次不等式确定的取值范围，然后再根据必要不充分条件的定义进行判断即可【详解】由，得或，由于成立，推不出一定成立，而成立，能推出一定成立，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B5.下列结论中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】A和B需考虑代数的正负号问题，进而判断不等式是否一定成立；对于C根据已知条件判断是否同号即可；对于D，需考虑为小数或者负数情况.【详解】，若，则，故A不一定成立；，若，则，故B不一定成立；由可知同号，因此，故C一定成立；令，，，，，故D不一定成立.故选：C6.已知函数，则（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】由题可得，然后根据对数的运算性质及概念即得.【详解】因为，所以.故选：A.7.已知函数，集合，．记集合，．则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得后由交集的概念求解，【详解】函数，若，则，解得所以，若，则，解得所以，则，故选：C8.已知函数，若存在，使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，分析可知点、关于直线对称，可得出的值，求出的取值范围，由此可求得的取值范围.【详解】设，作出函数与的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，由图可知，点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数，由，因为，解得，所以，.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数零点和的取值范围，解题的关键在于分析函数图象的对称性，求出，结合不等式求出的取值范围，进而求解.二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列图象中，表示函数关系的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据函数概念逐一判断即可.【详解】解：根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，对于A，当时，有两个值与其对应，不符合；对于B，符合一个有唯一的对应，可表示函数关系；对于C，符合一个有唯一的对应，可表示函数关系；对于D，当时，有无数个值与其对应，不符合；故选：BC.10.下列命题中，假命题的是（）A.充要条件是 B.，C.若，则，至少有一个大于1 D.，【答案】ABD【解析】【分析】通过特殊值判断A，B的正误；通过不等式的基本性质判断C的正误；利用命题的否定形式判断D的正误．【详解】解：对于A，当时，满足，但不成立，故A为假命题；对于B，当时，，故B为假命题；对于C，若，则，所以若，则，至少有一个大于1，故C为真命题；对于D，，，故不存在，，故D为假命题．故选：ABD.11.已知集合，，．若，，．则下面结论中一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的定义，设出的形式，计算后再根据集合中代表元素形式判断．【详解】由题意，设，，下面的均为整数，则，，，不是偶数时，，，故选：B．12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．则下列命题中正确的是（）A.，B.若，，，则方程的解集为C.对于任意实数，，是成立的充分不必要条件D.设，则函数的所有零点之和为-1【答案】BCD【解析】【分析】对于A，根据高斯函数的定义，设，，求，根据参数的取值范围，可得答案；对于B，根据高斯函数的定义，结合方程的求解，可得答案；对于C，根据充分不必要条件，同A，设出表示，作差，可得充分性，举反例，可证必要性；对于D，分是否为整数进行讨论，可得函数的性质，进而化简函数或研究其奇偶性，可得答案.【详解】对于A，设，，则，所以，因为，所以，所以，则，故A错误；对于B，因为当时，，所以方程等价于，又因为表示不超过的最大整数，所以恒成立，即对任意，恒成立，所以方程的解集为，故B正确；对于C，设，，由，则，易知，设，则，但，故对于任意实数，，是成立的充分不必要条件，故C正确；对于D，当为整数时，；当不是整数时，设的整数部分为，小数部分为，则，当时，，则，此时，则，即，故，则.当为整数时，，令，解得，此时函数的零点为；当不整数时，，故函数为偶函数，则若存在零点，此时函数所有零点之和为.综上所述，函数的所有零点之和为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13.已知集合，则实数的取值集合为______________．【答案】【解析】【分析】根据集合间的包含关系，得到元素与集合的关系，即可得到实数的取值集合.【详解】解：集合，则所以或.所以实数的取值集合为：.故答案为：.14.若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为______________．【答案】【解析】【分析】设，代入题干等式，化简，即可求得.【详解】设一次函数，，化简得：，因为对任意，上式都满足，取和代入上式得：，解得：，所以.故答案为：.15.已知不等式的解集为，则不等式的解集为______________．【答案】【解析】【分析】根据题意结合韦达定理即可得出之间的关系，然后将分式不等式转化为整式不等式，即可求得结果.【详解】因为不等式的解集为，所以1和2是方程的两根，且，由韦达定理可得则不等式可化为，即即，解得所以不等式解集为故答案为:16.已知，是定义在上的函数，其中是偶函数，是奇函数，且，若对于，都有，则实数的取值范围是______________．【答案】【解析】【分析】根据函数奇偶性求得，再根据函数的单调性求参数范围即可.【详解】根据题意，，则，又是偶函数，是奇函数，则，故可得；因为对于，都有，即，故在单调递减；当时，满足题意；当时，要满足题意，则，解得；当时，要满足题意，则，解得；综上所述，的取值范围为：.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题综合考查函数的性质，处理问题的关键是要根据构造，属中档题.四、解答题：（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)解一元二次不等式，利用集合并集的运算方法可求解;(2)根据若，结合数轴观察求解.【小问1详解】由得解得，所以，因为，所以，即，解得，所以，所以.【小问2详解】由(1)得，由得解得，所以，因为，所以或，解得或.18.（1）计算：；（2）已知，，试用，表示．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根据指数式与对数式的运算性质，可得答案.【详解】（1）.（2），由，则，且，即.19.（1）当时，求函数的最小值；（2）若正数满足，求的最小值．【答案】（1）14（2）【解析】【分析】（1）由，将函数构造基本不等式，利用基本不等式就可以求出函数的最小值；（2）由，且满足，则有，即，所以，再利用基本不等式就可以求出最小值【详解】（1）由，所以，所以当且仅当即时，函数取到最小值14.（2）由，且满足，则有，即，所以当且仅当，即时，有最小值.20.已知函数为上的偶函数．（1）求实数的值；（2）证明函数为上的增函数；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析.（3）【解析】【分析】(1)根据偶函数的定义即可求解;(2)利用函数单调性的定义证明;(3)利用函数奇偶性和单调性解不等式.【小问1详解】由题可知,即,即,两边平方整理得,由于,所以.【小问2详解】由(1)知，，当时，，，，因为，，所以，，所以且，所以，即，所以为上的增函数.【小问3详解】由(2)可知，在上单调递增，且为偶函数，所以在上单调递减，由得，，解得.21.已知函数．（1）若在上恒成立，求实数的值；（2）若不等式组的解集中的整数解只有1，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得的解集为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由，【答案】（1）（2）（3）存在或【解析】【分析】利用即可求出值.分类讨论即可得到的范围.假设存在利用韦达定理即可求得的值.【小问1详解】由已知在上恒成立，所以即，故【小问2详解】因为，所以因为解集中的整数解只有1，故故又因为解集中的整数解只有1，所以的取值范围为【小问3详解】假设存在实数，使得的解集为成立，即解集为，所以将代入整理得得或，故或所以存在或符合题意.22.已知函数．（其中）（1）若在上有两个零点，求实数的值；（2）若对任意，使得恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数的形式，分、结合二次函数的性质说明函数的单调性，即可得到函数在上必有一个零点，要使函数在上有两个零点，只需，解得即可；（2）依题意可得，，对分、、三种情况讨论，分别求出函数的最值，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】解：，当时，因为，所以对称轴，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，对称轴，开口向下，所以函数在上单调递增，且，所以函数在上必有一个零点，要使在上有两个零点，则，解得或（舍去），即当时在上有两个零点.【小问2详解】解：因为对任意，使得恒