适用于新教材2023版高中数学第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值探究导学课件新人教A版选择性必修第三册

7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值第七章新课程标准素养风向标1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值.3.能利用离散型随机变量的均值解决一些实际问题.1.理解随机变量均值的概念.(数学抽象)2.会根据离散型随机变量的分布列计算离散型随机变量的均值.(数学运算)3.掌握离散型随机变量均值的性质.(数学抽象)4.能利用随机变量的均值解决一些简单问题.(数学建模)基础预习初探

X50-2P0.010.99结论:离散型随机变量的均值(1)概念:一般地,如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn

p【对点练】

已知离散型随机变量X的分布列为X123P

主题2

离散型随机变量均值的性质1.设离散型随机变量X,试问η=aX+b(a,b是常数)也是随机变量吗?提示:a,b作为具体的常数,不会改变随机变量X的属性,所以是随机变量.2.设η=aX+b,试用E(X)表示E(η).提示:E(η)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b.结论:

若X,Y都是随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则E(Y)=E(aX+b)=________.aE(X)+b

X-2-11Pa

2.已知随机变量ξ和η,其中η=12ξ+7,且E(η)=34,若ξ的分布列如表所示,则m的值为 (

)ξ1234Pmn

核心互动探究

【思维导引】(1)第一班车若在8:20或8:40发出,则旅客能乘坐第一班车,这两个事件是互斥的,根据互斥事件的概率公式得到其概率;(2)由题意得出候车时间的可能取值,并求出各个取值对应的概率,写出分布列;(3)根据分布列,代入公式,求随机变量的均值.

X1030507090P

【类题通法】求离散型随机变量均值的步骤(1)写出X可能的全部取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求出E(X).【定向训练】1.已知离散型随机变量X的分布列如下:X135P0.5m0.2则其数学期望E(X)等于 (

)A.1 B.0.6 C.2+3m

D.2.4【思维导引】根据分布列的性质先求出m,再套用数学期望的公式即可求解.【解析】选D.因为分布列中出现的所有的概率之和等于1,所以0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,所以E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.

探究点二

离散型随机变量均值性质的应用【典例2】已知随机变量X的分布列为X-2-1012Pm若Y=-2X,则E(Y)=

.

【思维导引】先根据随机变量X的分布列求出m的值,再利用E(Y)=E(aX+b)求E(Y)的值.

【类题通法】求随机变量Y=aX+b均值的方法若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b(其中a,b为常数,且a≠0),一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y).【定向训练】1.已知Y=4X+7,E(Y)=15,则E(X)= (

)A.67

B.11

C.2

D.1【解析】选C.E(Y)=4E(X)+7=15,则E(X)=2.2.已知随机变量X的分布列为且Y=aX+3,若E(Y)=-2,求a的值.X123P

【跟踪训练】

已知随机变量X的分布列如表所示,则E(6X+8)= (

)X123P0.20.40.4A.13.2 B.21.2C.20.2 D.22.2【解析】选B.首先E(X)=1×0.2+2×0.4+3×0.4=2.2,所以E(6X+8)=6E(X)+8=6×2.2+8=21.2.探究点三

离散型随机变量均值的应用【典例3】(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.【命题意图】本题主要考查概率的分布列及数学期望的相关问题,旨在考查数学建模及数学运算的核心素养.【解析】(1)X的取值可能为0,20,100,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8×0.6=0.48,所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)假设先答B类问题,得分为Y,则Y可能为0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4,P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,所以Y的分布列为Y080100P0.40.120.48所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4,所以E(Y)>E(X),所以应先答B类问题.【类题通法】解决与实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的均值.【定向训练】1.在某公司的两次投标工作中,每次中标可以获利14万元,没有中标损失成本费8000元.若每次中标的概率为0.7,每次投标相互独立,设公司这两次投标盈利为X万元,则E(X)= (

)A.18.12

B.18.22 C.19.12 D.19.22

课堂素养达标1.(2021·北京朝阳高二检测)若随机变量X的分布列为X012P

2.若随机