《函数极值最值》课件

《函数极值最值》PPT课件目录CATALOGUE引言函数极值的概念函数最值的概念函数极值与最值的求法函数极值与最值的应用总结与展望引言CATALOGUE01课程简介函数极值最值是数学中的一个重要概念，它涉及到函数的最大值和最小值的求解，以及极值点的判断和求解。本课程将介绍函数极值最值的基本概念、性质和求解方法，并通过实例和练习题加深学生对这些概念和方法的理解和应用。学习目标01掌握函数极值最值的基本概念和性质，包括极值点的判断和求解、最值的求解等。02学会应用函数极值最值的概念和方法解决实际问题，提高数学建模和解决问题的能力。通过实例和练习题，加深对函数极值最值的理解和应用，提高数学素养和思维能力。03函数极值的概念CATALOGUE02函数在某点的值大于或小于其邻近点的值，则称该点为函数的极值点，函数在该点的值为极值。极值在极值点之前，函数单调递增或递减；在极值点之后，函数单调递减或递增。单调性极值点是唯一的，但极值可能不唯一。唯一性极值的定义03函数在某点的二阶导数不为零。01函数在某点的导数为零；02函数在某点的左右两侧导数符号发生变化；极值的判定条件局部性极值只对其附近的函数值有影响，不影响函数在其他点的取值。相对性对于不同的函数，相同的点可能是极大值或极小值，或者不是极值点。可加性两个极值的和不一定是极值，但极值的和一定是极值。可积性极值点在区间内是可数的，且极值的积分等于零。极值的性质函数最值的概念CATALOGUE03函数在某点的值大于或等于其邻域内所有点的值，则称该点为函数的局部极大值点，对应的函数值为极大值。极大值和极小值统称为最值。函数在某点的值小于或等于其邻域内所有点的值，则称该点为函数的局部极小值点，对应的函数值为极小值。最值的定义一阶导数判定法若一阶导数在某点的值为0，且在点的一阶导数左侧为正，右侧为负，则该点为极大值点；若在点的一阶导数左侧为负，右侧为正，则该点为极小值点。二阶导数判定法若二阶导数在某点的值为0，且在点的二阶导数左侧为正，右侧为负，则该点为极小值点；若在点的二阶导数左侧为负，右侧为正，则该点为极大值点。最值的判定条件010203最值是函数在某区间内的最大或最小值。最值的取得只与函数的定义域和函数的单调性有关，与函数的凹凸性无关。在闭区间上连续的函数一定存在最值。最值的性质函数极值与最值的求法CATALOGUE04通过判断一阶导数的正负性，确定函数在某点的单调性，进而确定极值。总结词对于可导函数f(x)，如果在某点的导数f'(x)=0，那么该点可能是极值点。进一步，如果f'(x)在某点的左侧为正，右侧为负，则该点为极大值点；反之，如果f'(x)在某点的左侧为负，右侧为正，则该点为极小值点。详细描述一阶导数判定法总结词通过判断二阶导数的正负性，确定一阶导数在某点的增减性，进而确定极值。详细描述对于二阶可导函数f(x)，如果二阶导数f''(x)在某点的左侧为正，右侧为负，则该点为一阶导数的极大值点，对应原函数的极小值点；反之，如果f''(x)在某点的左侧为负，右侧为正，则该点为一阶导数的极小值点，对应原函数的极大值点。二阶导数判定法VS根据函数在极值点附近的性质，给出判定极值的充分条件。详细描述第一充分条件指出，如果函数在某点的导数存在且变号，则该点为极值点。第二充分条件则进一步指出，如果函数在某点的二阶导数存在且变号，则该点为极值点。总结词极值的第一和第二充分条件总结词通过比较函数在区间端点和区间内极值点的函数值，确定函数的最值。要点一要点二详细描述对于连续函数f(x)，如果在闭区间[a,b]上存在极值点x1,x2...xn，则函数在此区间上的最大值为max{f(x1),f(x2),...,f(xn)},最小值为min{f(x1),f(x2),...,f(xn)}。如果区间内没有极值点，则需要比较区间端点的函数值来确定最值。最值求法函数极值与最值的应用CATALOGUE05在生产过程中，企业希望通过优化生产函数，使得生产成本达到最小。这需要利用函数极值理论，找到使得成本最小的生产规模和资源配置方式。投资者在选择投资组合时，希望最大化收益同时最小化风险。这需要利用函数最值理论，找到最优的投资组合配置，使得预期收益与风险之间达到最佳平衡。生产成本最小化投资组合优化在经济中的应用在物理中的应用在弹性力学中，物体在外力作用下会发生形变。通过研究弹性函数，可以找到物体形变的最小能量状态，即最小势能。这需要利用函数极值理论，确定物体形变后达到稳定状态的形状和位置。弹性力学在光学设计中，透镜的形状和材料需要经过精密计算以达到最佳的光学性能。通过利用函数最值理论，可以找到透镜表面的曲率半径，使得透镜具有最小的畸变和最大的光通量。光学设计化学反应动力学在化学反应动力学中，研究反应速率与反应物浓度的关系是重要的。通过利用函数极值理论，可以找到反应速率最快时的反应物浓度，从而提高化学反应的效率。生物种群动态在生态学中，研究生物种群的动态变化是重要的。通过利用函数最值理论，可以找到种群数量增长最快或最慢时的环境条件，从而为保护生物多样性和生态平衡提供科学依据。在其他领域的应用总结与展望CATALOGUE06本章总结函数极值的概念和性质介绍了函数极值的定义、判定条件和性质，以及极值在数学和实际应用中的意义。极值求法详细介绍了求函数极值的几种常用方法，如导数法、不等式法、泰勒展开法等，并给出了相应的例题和解析。最值的概念和求法介绍了函数最值的定义和求法，包括闭区间上的最值和开区间上的最值，以及最值在实际问题中的应用。极值与最值的比较通过比较极值和最值的异同点，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。探索应用领域了解函数极值、最值以及单调性和凹凸性在各个领域的应用，探索如何将数学知识与实际问题相结合。学习下一章学习函数的单调性和凹凸性，掌握判定函数单调性和凹