专题05 抛物线与阿基米德三角形（教师版）2024高考数学复习满分突破

第第页专题05抛物线与阿基米德三角形【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明如下结论：抛物线与阿基米德三角形定理：如图，假设抛物线方程为，过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为.则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论:结论1.直线过抛物线的焦点.结论2.直线的方程为.证明：参见下面的例1.也可由极点与极线得到.进一步，设：，则.则，显然由于过焦点，代入可得.我们得到了抛物线焦点弦两端点坐标之间的基本关系.结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.证明：过点的切线方程为，过点的切线方程为，两式相除可得：.这就证明了该结论.结论4..证明：由结论3，，.那么.结论5..证明：,则.由抛物线焦点弦的性质可知，代入上式即可得，故.结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴.证明：由结论3的证明可知，过点的切线的交点在抛物线准线上.且的坐标为，显然平行于抛物线的对称轴.例1．（1）、已知P、Q为抛物线上两点，点P、Q的横坐标分别为4、，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为______.【答案】【解析】解法1：，，所以切线PA的方程为，即；切线QA的方程为，即，联立，解得：，所以点A的纵坐标为.解法2：，易求得直线PQ的方程为，由题意，为阿基米德三角形，且直线PQ与y轴的交点为，由阿基米德三角形性质，点A的纵坐标为.（2）、（2020·云南师大附中高三月考（理））过抛物线的焦点作抛物线的弦与抛物线交于、两点，为的中点，分别过、两点作抛物线的切线、相交于点.又常被称作阿基米德三角形.下面关于的描述：①点必在抛物线的准线上；②；③设、，则的面积的最小值为；④；⑤平行于轴.其中正确的个数是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出点的坐标，可判断①的正误；利用直线、斜率的关系可判断②的正误；计算出的面积的表达式，可判断③的正误；利用直线、的斜率关系可判断④的正误；求出直线的斜率，可判断⑤的正误.综合可得出结论.【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为.证明如下：由于点在抛物线上，则，联立，可得，即，，所以，抛物线在其上一点处的切线方程为.如下图所示：设、，设直线的方程为，联立，消去得，由韦达定理可得，，对于命题①，抛物线在点处的切线方程为，即，同理可知，抛物线在点处的切线方程为，联立，解得，所以点的横坐标为，即点在抛物线的准线上，①正确；对于命题②，直线的斜率为，直线的斜率为，，所以，，②正确；对于命题④，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时；当不与轴垂直时，直线的斜率为，直线的斜率为，，则.综上，，④正确；对于命题③，，，所以，，当且仅当时，等号成立，③错误；对于命题⑤，当垂直于轴时，由抛物线的对称性可知，点为抛物线的准线与轴的交点，此时直线与轴重合，⑤错误.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查了抛物线的焦点弦的几何性质以及韦达定理法的应用，考查计算能力，属于中等题.（3）、已知F为抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A和B，抛物线C在A、B两点处的切线交于点P，设，则的值为_____.（结果用m表示）【答案】【解析】解法1：由题意，，可设直线，设，，联立消去y整理得：，故，所以，即，故，由阿基米德三角形性质知，所以.解法2：由阿基米德三角形性质，，所以.【反思】①上述解法1用的是阿基米德三角形的哪条性质？②在抛物线中，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，则.（4）、（多选题）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线，弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（）A．存在点，使得B．C．对于任意的点，必有向量与向量共线D．面积的最小值为【答案】BCD【分析】关于阿基米德三角形的结论，需要逐个选项去判断，对于A，，.对于B，可得处的切线方程分别为：，，可以得出Q的坐标进而可以验证，对于C选项，设的中点为，利用平行关系可以做出判断.对于D，如图，设准线与轴的交点为，利用三角形面积公式可以判断是正确的.【详解】由题意画图如下：设，，，．设直线，联立，化为，得到，．设过点的切线为，联立，整理可得，由△，可得．同理可得过点的切线斜率为，对于A，，，故A错；对于B，可得，处的切线方程分别为：，，可得，，，当时，，直线AB斜率不存在，两直线垂直，，．故B正确；当，又因为直线的斜率为，，．故B正确；对于C，设的中点为，则由，轴，向量，向量与向量共线，故C正确；对于D，如图，设准线与轴的交点为，面积的，当最短时（最短为，也最短，最短为，面积的最小值为，故正确．故选：BCD．【变式训练1-1】、（2020·昆明市·云南师大附中高三（理））阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于P.给出如下结论，其中正确的为（）（1）若弦过焦点，则为直角三角形且；（2）点P的坐标是；（3）的边所在的直线方程为；（4）的边上的中线与y轴平行（或重合）.A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）【答案】D【分析】设，，，由导数的几何意义得切线斜率，利用焦点弦性质得，正确；写出切线方程，联立求出点坐标，得（2）错误；用两点坐标表示出，写出直线方程，并化简可得（3）正确；设为抛物线弦的中点，立即得（4）正确；【详解】由题意设，，，由，得，则，所以，，若弦过焦点，∴，∴，∴，故（1）正确；以点为切点的切线方程为，以点为切点的切线方程为，联立消去得，将代入，得，所以，故（2）错误；设为抛物线弦的中点，的横坐标为，因此则直线平行于轴，即平行于抛物线的对称轴，故（4）正确；设直线的斜率为，故直线的方程为，化简得，故（3）正确，故选：D.．【点睛】本题考查直线与抛物线相交，考查导数的几何意义，焦点弦性质，考查学生的推理论证能力，属于中档题．【变式训练1-2】、（2019·福建厦门双十中学高二期中）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则的面积的最小值为A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数的知识，可得，即三角形为直角三角形，利用基本不等式，可得当直线垂直轴时，面积取得最小值.【详解】设，过A，B的切线交于Q，直线的方程为：，把直线的方程代入得：，所以，则，由导数的知识得：，所以，所以，所以，因为，当时，可得的最大值为，故选B.【点睛】本题是一道与数学文化有关的试题，如果能灵活运用阿基米德三角形的结论，即当直线过抛物线的焦点，则切线与切线互相垂直，能使运算量变得更小.【变式训练1-2】、已知F为抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A和B，抛物线C在A、B两点处的切线交于点P，则的最小值为_______.【解析】解法1：由题意，，可设直线，设，，联立消去y整理得：，故，，所以，，故，由阿基米德三角形性质，所以，故当且仅当，即时等号成立，即的最小值为6.解法2：由题意，，可设直线，设，，联立消去y整理得：，故，，所以，，故，由阿基米德三角形性质，，即，所以故当且仅当，即时等号成立，即的最小值为6.解法3：计算|的过程同解法1或解法2，求得后，令，则，，令，则所以，，故在上，在上，从而，即的最小值为6.解法4：由阿基米德三角形性质，，所以.记，则当且仅当时等号成立，此时，，即，满足，所以的最小值为6.【变式训练1-4】、（多选题）过抛物线的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，M为AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线，相交于点P，又常被称作阿基米德三角形．下面关于的描述其中正确的是（）A．P点必在抛物线的准线上；B．设，，则的面积S的最小值为；C．D．PM平行于x轴．【答案】ACD【分析】利用抛物线的性质及几何意义和直线与抛物线的位置关系逐项判断即可；【详解】解：设，，由，得则过A，B的切线方程分别为，，所以，，设直线AB为，与抛物线联立得，所以，直线AB过焦点，即所以，所以，所以P点必在抛物线的准线上，且PM平行于x轴，所以AD正确；设A，B在准线上的投影为，，则，则，当轴时，取等号，所以B错误；当AB斜率不存在时，易知；当AB斜率存在时，，所以，C正确，故选：ACD．例2.(2020年模拟题精选)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的纵坐标为8，且。（1）求抛物线的方程；（2）若点是抛物线准线上的任意一点，过点作直线与抛物线相切于点，证明：．【解析】（1）由题意可知，抛物线的准线方程为，又点的纵坐标为8，且，于是，∴，故抛物线的方程为。设点，，，∵，∴，切线方程为，即，令，可解得，∴，又，∴，∴。∴。【考点点睛】当点在准线上时，过焦点，底边的中线平行于对称轴，且的最小值为。证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设抛物线方程为：，设，由前面步骤可知：，即过焦点。的中点为，而由上面步骤可知：，即底边的中线平行于对称轴。==，当时，其面积最小为。【变式训练2-1】、已知抛物线C的顶点为原点，其焦点到直线的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA、PB，其中A、B为切点.（1）求抛物线C的方程；（2）当点为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求的最小值.【解析】（1）由题意，点F到直线l的距离，解得：或，又，所以，即，故抛物线C的方程为.（2）解法1：显然直线AB的斜率存在，故可设其方程为，设，由可得，所以切线PA的方程为，即，同理，切线PB的方程为，联立解得：，即，又点P的坐标为，所以将代入消去y整理得：，由韦达定理，，，所以，，从而，，即，，故直线AB的方程为，即.解法2：设，，由可得，故切线PA的方程为，结合化简得：，同理，切线PB的方程为又点同时在PA和PB上，所以，故直线AB的方程为，即（3）（以下解答过程沿用的第2问解法2的设法）由题意，，，联立消去x整理得：所以，，故①，又点P在直线l上，故，代入式①整理得：，当时取等号，所以的最小值为.例3．已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点．（1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；（2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据抛物线的定义可求圆心到准线的距离为，从而可求抛物线的方程．（2）设，利用导数求出两点处的切线方程，从而可求的交点的坐标，再联立直线和抛物线的方程可得，从而可得的交点的纵坐标为定值，故的交点在定直线上．【详解】（1）设中点为，到准线的距离为，到准线的距离为，到准线的距离为，则且.由抛物线的定义可知，，所以，由梯形中位线可得，所以，可得，所以抛物线的标准方程为.（2）证明：设，由，得，则，所以直线的方程为，直线的方程为，联立得，解得，即直线的交点坐标为.因为过焦点，由题可知直线的斜率存在，故可设直线方程为，代入抛物线中，得，所以，故，所以的交点在定直线上．【点睛】关键点点睛：抛物线中过焦点的弦长问题要注意利用定义转化为到准线的距离问题，对于焦点在轴上的抛物线的切线问题，可以利用导数来求切线方程，从而简化运算．【变式训练3-1】、如下图所示，抛物线，，点在抛物线上，过M作的切线，切点为A、B（M为原点时，A、B重合于原点O），当时，切线MA的斜率为.（1）求p的值；（2）当M在上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A、B重合于O时，中点为O）.【解析】（1）设，，，由可得，所以MA的方程为，即因为点M在上，所以，将代入可得此时切线MA的斜率为，所以，即切线MA的方程为又点M在切线MA上，所以，即，解得：（2）当M不与原点重合时，由（1）知切线MA的方程为同理，切线MB的方程为，联立解得：，即设AB中点，则，即，因为点M在上，所以，故，代入式②可得③，将式①代入式③消去可得④，由题意，当M为原点时，A、B重合于原点O，此时AB中点也为O，显然原点O也满足方程④，综上所述，AB中点N的轨迹方程为【反思】抛物线中的阿基米德三角形问题，一般先设两个切点的坐标，写出切线的方程，用切点的坐标参与后续的计算.例4、已知曲线，D为直线上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A、B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形的面积.【解析】（1）解法1：显然直线AB的斜率存在，设其方程为，设，，同理，切线BD的方程为，联立，解得：由题意，点D在直线上，所以，故联立消去y整理得：，由韦达定理，，所以，故，即直线AB的方程为，所以直线AB过定点解法2：设，，，由得：，故切线AD的方程为，即，又，所以，同理，切线BD的方程为因为点D同时在直线AD和直线BD上，所以，从而直线AB的方程为，即，所以直线AB过定点（2）由（1）知，所以设AB中点为Q，则，由题意，,当时，，满足题意，此时四边形的面积，当时，，解得：，故而，所以，由（1）知，D点到直线AB的距离，故，所以四边形的面积，综上所述，四边形的面积为3或.【变式训练4-1】．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是△的外接圆的圆心，求点的轨迹方程.【答案】（1）点在直线上，理由见解析（2）【分析】（1）由抛物线的方程可得顶点的坐标，设直线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积，再由题意可得直线恒过，即得在直线上；（2）设，的坐标，可得直线，的斜率及线段，的中点坐标，进而求出线段，的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心的坐标，由（1）可得的横纵坐标关于参数的表达式，消参数可得的轨迹方程．【详解】(1)点在直线上.理由如下，由题意,抛物线的顶点为因为直线与抛物线有2个交点，所以设直线AB的方程为联立得到，其中，所以，因为所以，所以，解得，经检验，满足，所以直线AB的方程为，恒过定点.（2）因为点是的外接圆的圆心，所以点是三角形三条边的中垂线的交点，设线段的中点为，线段的中点为为，因为，设，，，所以，，，，，，所以线段的中垂线的方程为：，因为在抛物线上，所以，的中垂线的方程为：，即，同理可得线段的中垂线的方程为：，联立两个方程，解得，由（1）可得，，所以，，即点，所以，即点的轨迹方程为：．【点睛】本题考查求直线恒过定点的方程及直三角形外接圆的性质，和直线与椭圆的综合应用，属于难题．1．已知点在抛物线的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线的斜率为（）A.B. C. D.【答案】D【解析】解法1：点在抛物线C的准线上，所以，设切线AB的方程为，联立消去x整理得：①，判别式，解得：或，因为点B在第一象限，所以，代入式①可解得：，从而，即，所以直线BF的斜率.解法2：延长BF交抛物线C于点D，则是阿基米德三角形，由阿基米德三角形性质，，因为点在抛物线C的准线上，所以，从而直线AF的斜率，所以直线BF的斜率.2.已知抛物线与点，过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若，则（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】解法1：由题意，抛物线的焦点为，设直线AB的方程为，则，联立消去x整理得：，设，则，，所以，，，，所以解得：，从而.解法2：如图，抛物线C的焦点为，显然点M在准线上，，从而是阿基米德三角形，故，直线MF的斜率为，所以直线AB的斜率为2.3.已知点和抛物线，过C的焦点F且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若，则______.【答案】2【解析】解法1：易得，设直线AB的方程为，则，设，，联立消去x整理得：，所以，，从而，而，因为，所以解得：，故解法2：因为，所以为阿基米德三角形，根据阿基米德三角形的性质，有，易得，因为直线MF的斜率，所以直线AB的斜率为2.4．（2020·全国（理））古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四.”如图，已知直线交抛物线于A，B两点，点A，B在y轴上的射影分别为D，C.从长方形ABCD中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出两点坐标，由阿基米德理论计算抛物线中弓形，从而得阴影部分面积，然后由几何概型概率公式计算概率．【详解】把代入抛物线方程得，即，，，，∴，∴所求概率为．故选：C.【点睛】本题考查几何概型，解题关键是求出阴影部分面积，读懂并能应用阿基米德理论是基础．5．（2020·云南高三（理））抛物线上任意两点､处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且；③.若经过抛物线焦点的一条弦为，阿基米德三角形为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线焦点，可得：P点必在抛物线的准线上，可求出点P（−1，4），从而得到直线PF的斜率为−2，又，所以直线AB的斜率为，再利用点斜式即可求出直线AB的方程.【详解】解：由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为：x＝﹣1，由△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，可得：P点必在抛物线的准线上，∴点P（﹣1，4），∴直线PF的斜率为：＝﹣2，又∵PF⊥AB，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为：y﹣0＝，即x﹣2y﹣1＝0，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题.6.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2=2px（p＞0），弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随Q位置变化前三种情况都有可能【答案】B【解析】秒杀公式：阿基米德三角形7.已知点P2在抛物线C：y22pxp0的准线上，过点P的直线与抛物线C相切于A，B两点，则直线AB的斜率为（ ）2A．1 B．23C． D．33【答案】【解析】Cy22pxp0P点纵坐标相等y02ABABxky312ky360故直线AB的斜率为38．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的．已知为抛物线上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为_______；弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为_________．【答案】【分析】由，求得，则，写出在A点处和B点处抛物线C的切线方程，求得交点，再求得阿基米德三角形面积，再根据弦与抛物线所围成的封闭图形的面积与阿基米德三角形面积的关系求解.【详解】因为，所以，所以，所以在A点处抛物线C的切线的斜率为-1，切线方程为：，即，同理在B点处抛物线CD切线方程，由，解得，所以两切线的交点为，所以阿基米德三角形面积，所以弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为，故答案为：-1，9．（2018·上海交大附中高二月考）过抛物线的一条弦的中点作平行于抛物线对称轴的平行线（或与对称轴重合），交抛物线于一点，称以该点及弦的端点为顶点的三角形为这条弦的阿基米德三角形（简称阿氏三角形）.现有抛物线:，直线：（其中，，是常数，且），直线交抛物线于，两点，设弦的阿氏三角形是.（1）指出抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）求的面积（用，，表示）；（3）称的阿氏为一阶的；、的阿氏、为二阶的；、、、的阿氏三角形为三阶的；……，由此进行下去，记所有的阶阿氏三角形的面积之和为，探索与之间的关系，并求.【答案】（1）焦点坐标：，准线方程：；（2）；（3），【分析】（1）将抛物线方程化为标准方程后即可求得焦点坐标和准线方程；（2）将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理可求得，根据可整理得到，代入整理可得结果；（3）由（2）知，继续求解阿氏三角形面积可知，进而分析得到；可知为无穷等比数列，利用无穷等比数列前项和的极限的求法可求得结果.【详解】（1）由得：抛物线焦点坐标为，准线方程为：（2）将代入抛物线方程得：，则设，则中点，又，（3）设是抛物线上的任意一条弦，由（2）知设弦、的阿氏三角形依次为，上述讨论表明，阶中的每一个阿氏三角形都可以生成阶中的两个阿氏三角形，且后者的面积之和是前者面积的阶中的个阿氏三角形面积之和与阶中的个阿氏三角形面积之和满足是首先为，公比为的无穷等比数列【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用中的新定义运算的问题，关键是能够明确新定义运算实际是直线与抛物线应用中的三角形面积的求解问题，只需结合韦达定理表示出所需的长度即可求得结果；本题结合了无穷等比数列极限的求解，难点在于能够分析得到所求数列的特征，证得所求数列为无穷等比数列.10.（2021·新课标Ⅰ卷·理·21·★★