第四章 万有引力

第四章圆周运动

万有引力定律第二单元万有引力定律1、开普勒行星运动三定律（1）第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳的轨道都是

，太阳处在所有椭圆的

上。椭圆一个焦点（2）第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内过

。（3）第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的

跟它的

的比值都相等。相等的面积半长轴的三次方公转周期的平方第二单元万有引力定律⑴内容：自然界任何两个物体都是

的，引力的大小跟这两个物体的

成正比，跟它们的

成反比．相互吸引

质量的乘积

距离的平方

⑵表达式：(3)说明：①式中G＝6.67×10-11N·m2/kg2，称为万有引力常量；②适用两质点或均匀球体，r为两质点或两球心之间的距离．2、万有引力定律第二单元万有引力定律⑷适用条件 ①公式适用于_____间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点． ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是__________的距离．质点两球心间3、高度越高，地球的重力加速度g越小地球表面的重力加速度g从赤道到两极逐渐增大1、重力不同于万有引力的根本原因在于地球的自转2、地球表面上的物体，所受万有引力可以分解为重力和物体绕地轴匀速圆周运动的向心力3、万有引力与重力的关系第二单元万有引力定律

例已知一名宇航员到达一个星球,在该星球的赤道上用弹簧秤测量一物体的重力为G1,在两极用弹簧秤测量该物体的重力为G2,经测量该星球的半径为R,物体的质量为m.求:(1)该星球的质量.(2)该星球的自转角速度的大小.第二单元万有引力定律3、分析天体运动的基本思路(1)利用黄金代换式解题⑵天体运动都可近似地看成匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供,即F引=F向.

推导v、ω、T、an表达式地表物体⑵在空中做匀速圆周运动ω近地轨道r=R3、分析天体运动的基本思路第二单元万有引力定律例

(2012·合肥质检)设地球质量为月球质量的81倍，地球半径是月球半径的4倍，若探测器甲绕地球和探测器乙绕月球做匀速圆周运动的半径相同，则(

)A．甲与乙线速度之比为9∶2B．甲与乙线速度之比为1∶9C．甲与乙的向心加速度之比为81∶1D．甲与乙的运动周期之比为1∶1⑶利用万有引力计算中心天体的质量和密度“T—R”法——利用环绕天体的周期和轨道半径r确定ρ例1、已知某行星绕太阳运动的轨道半径为r，周期为T，太阳的半径是R，则太阳的平均密度是多少？（已知万有引力常量为G）第二单元万有引力定律“g-R”法——利用天体表面的重力加速度g和天体半径R确定。例2、已知月球的半径为r,月球表面重力加速度为g月，万有引力恒量为G，若忽略月球的自转，试求出月球的平均密度表达式。第二单元万有引力定律例3、行星的平均密度为ρ，靠近行星表面的卫星运转周期是T，试证明：ρT2是一个常量，即对任何行星都相同若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为其轨道半径r等于天体半径R,则天体密度可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估测出中心天体的密度.第二单元万有引力定律变式训练1

(2011·高考江苏卷)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v.引力常量为G，则(

)答案A（13朝阳期中）13．课堂上老师给同学们布置了这样一个题目：假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。求矿井底部和地球表面处的重力加速度大小之比。李明同学的思考过程如下：由等式GM=gR2（G为引力常量，M为地球质量，R为地球半径，g为地球表面处的重力加速度）变形后得到，则矿井底部的重力加速度g′与地球表面处的重力加速度g大小之比下列说法中正确的是

A．李明的答案是正确的

B．李明的答案是错误的，因为等式GM=gR2不成立

C．李明的答案是错误的，因为本题不能用等式GM=gR2求解

D．李明的答案是错误的，本题虽然能用等式GM=gR2求解，但他分析问题时出现错误图15(13海淀期中）15．（9分）在物理学中，常常用等效替代、类比、微小量放大等方法来研究问题。如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了万有引力常量G的数值，图15所示是卡文迪许扭秤实验示意图。卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量”的实验，因为由G的数值及其他已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个称量地球的人。（1）若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m1、m2相距为r的两个小球之间引力的大小为F，求万有引力常量G；（2）若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式。第二单元万有引力定律1．第一宇宙速度又叫__________．2．第一宇宙速度是人造地球卫星在__________环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．3．第一宇宙速度是人造卫星的__________速度，也是人造地球卫星的__________速度．环绕速度(考纲要求Ⅱ)

环绕速度地面附近最大环绕最小发射第二单元万有引力定律1．第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝_____km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．2．第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝_____km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．第二宇宙速度和第三宇宙速度(考纲要求Ⅰ)

11.216.7第二单元万有引力定律

判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．

(1)第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是贴近地面运行的卫星的运行速度，即人造地球卫星的最大运行速度． (

) (2)第一宇宙速度与地球的质量有关． (

) (3)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度． (

) (4)若物体的发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，则物体可以绕太阳运行． (

)

答案(1)√

(2)√

(3)×

(4)√第二单元万有引力定律3．地球同步卫星的特点轨道平面一定轨道平面与赤道平面重合高度一定距离地心的距离一定，h＝4.225×104km；距离地面的高度为3.6×104km环绕速度一定v＝3.08km/s，环绕方向与地球自转方向相同角速度一定ω＝7.3×10－5rad/s周期一定与地球自转周期相同，常取T＝24h向心加速度大小一定a＝0.23m/s24.卫星的可能轨道(如图4－4－1所示)

卫星的轨道平面一定过地球的地心图4－4－11．模型条件

(1)两颗星彼此相距较近．

(2)两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动．

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动．物理建模5.宇宙双星模型2．模型特点

(1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力．

(2)“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等．

(3)“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比．3．解答双星问题应注意“两等”“两不等”

(1)双星问题的“两等”： ①它们的角速度相等． ②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的．

(2)“两不等”： ①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离． ②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等．确定双星的旋转中心：质量m越大，旋转半径越小，离旋转中心越近。双星问题例、如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在万有引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L．已知A、B的中心和O三点共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G．求：（1）两星球做圆周运动的周期？（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1．但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2．已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg．求T2与T1两者平方之比．（结果保留3位小数）答案B第二单元万有引力定律即学即练如图所示，双星系统中的星球A、B都可视为质点，A、B绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，A、B之间距离不变，引力常量为G，观测到A的速率为v、运行周期为T，A、B的质量分别为m1、m2. (1)求B的周期和速率．

(2)A受B的引力FA可等效为位于O点处质 量为m′的星体对它的引力，试求m′. (用m1、m2表示)第二单元万有引力定律7.卫星的变轨问题卫星绕地球稳定运行时,万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力,由由此可知,轨道半径r越大,卫星的线速度v越小.

当卫星由于某种原因速度v突然改变时,受到的万有引力和需要的向心力不再相等,卫星将偏离原轨道运动.当时,卫星做近心运动,其轨道半径r变小,由于万有引力做正功,因而速度越来越大;反之,当时,卫星做离心运动,其轨道半径r变大,由于万有引力做负功,因而速度越来越小.第二单元万有引力定律例、如图4所示,假设月球半径为R,月球表面的重力加速度为g0,飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动,到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达轨道的近月点B再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动.求:(1)飞船在轨道Ⅰ上的运