数学九年级上册专题21.10 一元二次方程的应用综合-重难点题型（人教版）（教师版）

专题21.10一元二次方程的应用综合-重难点题型【人教版】【题型1与一元二次方程有关的三角形动点问题】【例1】（2020秋•兴城市月考）如图，在△ABC内，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【解题思路】过点Q作QE⊥PB于E，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出QE=12QB，设经过t秒后△PBQ得面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，根据△PBQ的面积等于4cm2，即可得出关于【解答过程】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.∵∠ABC＝30°，∴QE=12设经过t秒后△PBQ得面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，根据题意得：12•（6﹣t）•t整理得：t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，∴t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【变式1-1】（2020秋•茶陵县期末）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．（1）当t＝4时，求△APQ的面积．（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．【解题思路】（1）根据点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，AP＝4cm，AQ＝4cm，利用面积公式求解；（2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，则BP＝2tcm，CQ＝2tcm，进而表示出AP＝（12﹣2t）cm，AQ＝（8﹣t）cm，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．【解答过程】解：（1）∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1m/s，当t＝4时，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm，∴AP＝4cm，AQ＝4cm，∴S△APQ=12×4×4＝8（（2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．根据题意得：12S△ABC=12×当0＜t＜6时如图1：S△APQ=12（12﹣2t）（8﹣整理得t2﹣14t+24＝0，解得t＝12（舍去）或t＝2．当6＜t＜8时如图2：S△APQ=12（2t﹣12）（8﹣整理得t2﹣14t+72＝0，△＜0，无解．当t＞8时如图3：S△APQ=12（2t﹣12）（整理得t2﹣14t+24＝0，解得t＝12或t＝2（舍去）．综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．【变式1-2】（2021•广州模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【解题思路】（1）设经过x秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（2）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜t≤4）；②点P在线段AB上，点Q在线段CB上（4＜t≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（t＞6）；进行讨论即可求解．【解答过程】解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，∴12（6﹣x）•2x=∴x2﹣6x+12＝0，∵b2﹣4ac＜0，此方程无解，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；（2）设t秒后，△PBQ的面积为1①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时此时0＜t≤4由题意知：12（6﹣t）（8﹣2t整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+2（不合题意，应舍去），t2＝5−②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时此时4＜t≤6，由题意知：12（6﹣t）（2t整理得：t2﹣10t+25＝0，解得：t1＝t2＝5，③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时此时t＞6，由题意知：12（t﹣6）（2t整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+2，t2＝5−综上所述，经过5−2秒、5秒或5+2秒后，△【变式1-3】（2020秋•鹤城区期末）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于210cm（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．【解题思路】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；（2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）令S△PQB＝7，根据三角形的面积公式列出方程，再根据b2﹣4ac得出原方程没有实数根，从而得出△PQB的面积不能等于7cm2．【解答过程】解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5）此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，由12BP⋅BQ=4，得整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍）；答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）设经过t秒后，PQ的长度等于210cm，由PQ2＝BP2+BQ即40＝（5﹣t）2+（2t）2，解得：t＝﹣1（舍去）或3．则3秒后，PQ的长度为210（3）假设经过t秒后，△PBQ的面积等于7cm2，即BP×BQ2=7整理得：t2﹣5t+7＝0，由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，则原方程没有实数根，所以△PQB的面积不能等于7cm2．【题型2与一元二次方程有关的四边形动点问题】【例2】（2020秋•天宁区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为s．【解题思路】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答过程】解：设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，依题意，得：12（12﹣2x）（6﹣x整理，得：x2﹣12x+20＝0，解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）．故答案为：2．【变式2-1】（2021秋•渭滨区校级期中）如图，在边长为6cm正方形ABCD中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．【解题思路】设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，分类讨论当0＜x＜3秒时，Q点在BC上运动，P在AB上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当3＜x＜6秒时，Q点在CD上运动，P在AB上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值．【解答过程】解：设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，当0＜x＜3秒时，Q点在BC上运动，P在AB上运动，PB＝6﹣x，BQ＝2x，所以S△PBQ=12PB•BQ=12×解得x＝2或4，又知x＜3，故x＝2符合题意，当3＜x＜6秒时，Q点在CD上运动，P在AB上运动，S△PBQ=12（6﹣解得x=10故答案为：2或103【变式2-2】（2020秋•江岸区校级月考）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？【解题思路】当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．（1）利用梯形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）过点Q作QM⊥AB于点M，则PM＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，利用勾股定理结合PQ＝10cm，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答过程】解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．（1）依题意，得：12×（16﹣3t+2解得：t＝5．答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，解得：t1=85，t2答：P，Q两点从出发开始到85秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm【变式2-3】如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝8cmBD＝6cm，动点M从A点出发沿AC方向以2cm/s匀速直线运动到C点，动点N从B点出发沿BD方向以1cm/s匀速直线运动到D点，若M，N同时出发，设运动时间为t秒：（1）当t＝1秒时，M，N两点之间的距离是多少？（2）当2＜t＜3时，用含t的代数式表示OM的长；设W＝MN2，求W关于t的函数关系式；（3）当t为何值时，△MON的面积为14cm2【解题思路】（1）利用菱形的性质得出OM、ON，利用勾股定理得出MN即可；（2）当2＜t＜3时，OM＝2t﹣4，ON＝3﹣t，利用勾股定理求得MN的平方即可；（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分当t＜2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上、当2＜t＜3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上和当t＞3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上三种情况分别讨论，利用三角形的面积建立方程求得答案即可．【解答过程】解：（1）∵菱形ABCD中，AC＝8cmBD＝6cm，∴OA＝4，OB＝3，∵当t＝1秒时，OM＝4﹣2＝2，ON＝3﹣1＝2，∴MN=22+（2）当2＜t＜3时，OM＝2t﹣4，ON＝3﹣t，W＝MN2＝OM2+ON2＝（2t﹣4）2+（3﹣t）2＝5t2﹣22t+25；（3）①当t＜2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上．12（4﹣2t）（3﹣t）=解得t1=5+22，t∵t＜2，∴t=5−②当2＜t＜3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上，12（2t﹣4）（3﹣t）=解得t1＝t2=5③当t＞3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上，12（2t﹣4）（t﹣3）=解得t1=5+22，t∵t＞3，∴t=5+综上所述，出发后5−22s或52s或5+22s时，△MON【题型3一元二次方程与一次函数的综合】【例3】（2020春•平潭县校级月考）北京国家体育场“鸟巢”的模型深受游客喜爱．图中折线（AB∥CD∥x轴）反映了某种规格“鸟巢”模型的单价y（元）与购买数量x（个）之间的函数关系．（1）求当10≤x≤20时，y与x的函数关系式；（2）已知某旅游团购买该种规格的“鸟巢”模型的总金额为2625元，问该旅游团共购买这种模型多少个？（总金额＝数量×单价）【解题思路】（1）设出一次函数解析式，把B、C两点的坐标代入可得所求函数关系式；（2）所用金额既不是200的倍数，也不是150的倍数，可得模型的单价在150和200之间，根据总价等于2625得到一元二次方程，求解即可．【解答过程】解：（1）当10≤x≤20时，设y＝kx+b（k≠0）（11分）依题意，得10k+b=20020k+b=150解得k=−5b=250∴当10≤x≤20时，y＝﹣5x+250；（2）∵10×200＜2625＜20×150∴10＜x＜20，依题意，得xy＝x（﹣5x+250）＝2625，即x2﹣50x+525＝0，解得x1＝15，x2＝35（舍去）∴只取x＝15．答：该旅游团共购买这种模型15个．【变式3-1】（2021春•天心区期末）为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？【解题思路】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+900）台，根据总利润＝单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于60的值即可得出结论．【解答过程】解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（35，550）、（40，500）代入y＝kx+b，得35k+b=55040k+b=500解得：k=−10b=900∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+900；（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+900）台，根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+900）＝8000．整理，得：x2﹣120x+3500＝0，解得：x1＝50，x2＝70．∵此设备的销售单价不得高于60万元，∴x＝50．答：该设备的销售单价应是50万元/台．【变式3-2】（2020春•西湖区校级月考）某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“如果购买不超过40台学习机，则每台售价800元，如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”该学习机的进货价与进货数量关系如图所示：（1）当x＞40时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台，每台学习机可以获利多少元；（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台．【解题思路】（1）根据如果超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元，可列式；（2）先根据待定系数法计算直线的解析式，再计算x＝60时的进价和售价，可得利润；（3）分当x＞40和当x≤40时，分别计算每台的售价，列方程解出即可．【解答过程】解：（1）由题意得：当x＞40时，每台学习机的售价为（单位：元）：800﹣5（x﹣40）＝﹣5x+1000；（2）设图中直线解析式为：y＝kx+b，把（0，700）和（50，600）代入得：50k+b=600b=700解得：k=−2b=700直线解析式为：y＝﹣2x+700，当x＝60时，进价为：y＝﹣2×60+700＝580，售价为：800﹣5×（60﹣40）＝700，则每台学习机可以获利：700﹣580＝120（元）；（3）当x＞40时，每台学习机的利润是：（﹣5x+1000）﹣（﹣2x+700）＝﹣3x+300，则x（﹣3x+300）＝4800，解得：x1＝80，x2＝20（舍），当x≤40时，每台学习机的利润是：800﹣（﹣2x+700）＝2x+100，则x（2x+100）＝4800，解得：x1＝30，x2＝﹣80（舍），答：则该商店可能购进并销售学习机80台或30台．【变式3-3】（2020秋•麻城市校级月考）某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．①求y与x之间的函数关系式；②若某段时间内该商品的销售单价为70元，则销售利润为多少元？（利润＝（销售单价﹣进价）×销售量）③要使销售利润达到800元，则销售单价应定为每千克多少元？④在一段时间内，销售利润能达到1000元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，说明理由．【解题思路】①当20≤x≤80时，利用待定系数法即可得到y与x的函数表达式；②把x＝70代入函数式求得销量，然后由利润＝（销售单价﹣进价）×销售量求得答案；③根据销售利润达到800元，可得方程，解方程即可得到销售单价；④根据销售利润达到1000元，可得方程，解方程即可得到销售单价．【解答过程】解：①当0＜x＜20时，y＝60；当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为y＝kx+b，把（20，60），（80，0）代入，可得60=20k+b0=80k+b解得k=−1b=80∴y＝﹣x+80，∴y与x的函数表达式为y=60(0≤x≤20)②把x＝70代入y＝﹣x+80，得到：y＝﹣70+80＝10，故w＝（70﹣20）×10＝500（元）；③若销售利润达到800元，若20≤x≤80，则（x﹣20）（﹣x+80）＝800，解得x1＝40，x2＝60，若0＜x＜20，则（x﹣20）×60＝800，解得x=100∴要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元．④根据题意，得（x﹣20）（﹣x+80）＝1000，整理，得x2﹣100x+2600＝0．因为△＝1002﹣4×2600＝﹣400＜0，所以方程无实数根，所以不能达到1000元．【题型4与一元二次方程有关的阅读探究问题】【例4】（2020秋•洛宁县月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．任务：当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．【解题思路】假设存在，设“减半”矩形的长为x，则宽为（92−x），根据矩形的面积公式，即可得出关于【解答过程】解：假设存在，设“减半”矩形的长为x，则宽为（92−依题意，得：x（92−x）整理，得：x2−92解得：x1=9+174，x当x=9+174时，9当x=9−174时，9∴长为8，宽为1的矩形存在“减半”矩形，且“减半”矩形的长为9+174，宽为【变式4-1】（2020秋•乐清市期末）阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组x+y=72xy=3，消去y化简得：2x2∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？【解题思路】（1）利用求根公式即可求出方程的两根；（2）仿照（1）找准关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣7＜0，可得出方程无解，即不存在满足要求的矩形B；（3）仿照（1）找准关于x的一元二次方程，由根的判别式△≥0，可找出m、n之间的关系．【解答过程】解：（1）利用求根公式可知：x1=7−12×2=32故答案为：32（2）设所求矩形的两边分别是x和y，根据题意得：x+y=3消去y化简得：2x2﹣3x+2＝0．∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，∴该方程无解，∴不存在满足要求的矩形B．（3）设所求矩形的两边分别是x和y，根据题意得：x+y=m+n消去y化简得：2x2﹣（m+n）x+mn＝0．∵矩形B存在，∴b2﹣4ac＝[﹣（m+n）]2﹣4×2mn≥0，∴（m﹣n）2≥4mn．故当m、n满足（m﹣n）2≥4mn时，矩形B存在．【变式4-2】（2020•任城区三模）阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式S＝na+n(n−1)2×d来计算等差数列的和．（公式中的n例如：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21＝10×3+10(10−1)用上面的知识解决下列问题．（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116．（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，如表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．2009年2010年2011年2012年植树后坡荒地的实际面积（公顷）25200240002240020400【解题思路】（1）利用材料中的公式解答；（2）设在2009年的基础上，再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．从表格中可以看到2010年坡荒地是面积减少了1200公顷，则依次减少的公顷数是1600，2000+…+400（x﹣1），根据2009年植树后坡荒地是实际面积是25200公顷列方程求解．【解答过程】解：（1）2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116＝20×2+20×19（2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得1200x+x(x−1)（x﹣9）（x+14）＝0，x＝9或x＝﹣14（负值舍去）．答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．【变式4-3】（2020秋•顺昌县校级月考）实验与探究：三角点阵前n行的点数计算．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多