高三高考数学总复习《立体几何》题型归纳与汇总

分别为，的中点.（1）求证：平面.（2）求证：平面平面.（3）求三棱锥的体积.【答案】见解析【解析】（1）依题意，，分别为，的中点，则是的中位线，所以，平面，平面，故平面.（2）因为在中，，且为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面.（3）由（2）知，平面，所以【易错点】定理证明所用知识点不清楚【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.例2如图所示，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点．（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）当平面时，求三棱锥的体积．【答案】见解析【解析】（1）因为，，，所以平面.又因为平面，所以.（2）因为，，为线段的中点，所以在等腰中，.又由（1）可知，，所以平面.由为线段上一点，则平面，所以又因为平面，所以平面平面.（3）当平面时，平面,且平面平面,可得.由是边的中点知，为边的中点.故而，，因为平面，所以平面.由，，为边中点知，又，有，即因此，.【易错点】注意体积几何证明题条件的严谨性【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.掌握线面平行的性质定理的应用及其体积的求解方法.题型三几何体的外接球问题例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.【答案】C；【解析】（1），，，，选C；（2），【易错点】外接球球心位置不好找【思维点拨】应用补形法找外接球球心的位置题型四立体几何的计算例1如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边边长分别为和,过直角顶点的侧棱长为,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是 ()【答案】【解析】显然由空间直角坐标系可知,该几何体在面内的点保持不动,在轴上的点在面内的射影为坐标原点,所以该几何体的主视图就是其在面面的表面图形,即主视图应为高为,底面边长为的直角三角形．故选.【易错点】该题易出现的问题是误以为轴上的点在面的射影落在轴的正半轴上而误选,【思维点拨】判断几何体的三视图应注意以下几个方面：（1）明确几何体的放置位置和角度,注意投影线和投影面；（2）准确把握几何体的结构特征,特别是几何体中的线面垂直关系等；（3）注意实线和虚线的区别.【巩固训练】题型一立体几何的证明1.如图,在四棱锥中,底面为菱形,,,点在线段上,且,为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面,求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）∵为的中点,∴,∵底面为菱形,,∴,∵,∴平面.（2）∵,∴,∵平面平面,平面平面,,∴平面,∴,∴.∵平面,∴平面.∵,∴.2.如图,在直三棱柱中,是的中点.（1）证明：平面；（2）若,求证：.【答案】见解析.【解析】证明：（1）如图,连接,交于点,连结.据直三棱柱性质知四边形为平行四边形,所以为的中点.又因为是的中点,所以.又因为平面,平面,所以平面.（2）因为,为的中点,所以.据直三棱柱性质知平面,又因为平面,所以.又因为,平面,所以平面,又因为平面,所以,即.题型二立体几何体积求解如图所示，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点.（1）证明平面；（2）求四面体的体积．【答案】（1）（2）．【解析】（1）取中点，连接、，因为是中点，，且，又，且，所以，且，所以四边形是平行四边形.所以.又平面，平面，所以平面.(2)由(1)平面.所以.所以.2.如图所示，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，.（1）证明：直线平面；（2）若面积为，求四棱锥的体积.【答案】（1）（2）．【解析】（1）在平面内，因为，所以.又平面，平面，故平面.（2）取的中点，联结，.由，及，，得四边形为正方形，则.因为侧面是等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以，因为平面，所以平面.因为平面，所以.设，则，，，.取的中点，联结，则，所以.因为的面积为，所以，解得（舍去），，于是，，.所以四棱锥的体积.题型三几何体的外接球问题在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是.【答案】【解析】正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3）-1，取的中点，连接，交于，连接，则是底面正三角形的中心，平面，，，，，平面，，同理：，，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，，，，，平面，，，，，平面，，故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直，，即，正三棱锥外接球的表面积是在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为（）【答案】D【解析】在中，，，的外接球直径为，，，选D3.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为.【答案】【解析】解：设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关径为，则，底面积为，，，，，球的体积为4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根据三视图，还原原图如图所示，为棱中点，根据几何体判断解得该几何体外接球的表面积为，故选D题型四立体几何的计算1.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A.B.C.D.【答案】【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选D.2.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）.A．B．C．D．【答案】【解析】由该几何体的三视图，在长为2，宽为1，高为1的长方体中还原其立体图形，如图所示.由图及三视图中所给的数据可知，与为等腰直角三角形，与为等边三角形，，所以四面体的表面积为.故选C.3.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.A.B.C.D.【答案】【解析】由三视图可知,半球的半径是，体积为,四棱锥的体积为,所以该几何体的体积为.故选C.4.已知正三棱锥的主视图、左视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出左视图的面积．【答案】(1)见解析(2)6【解析】（2）如图所示．（2）根据三视图间的关系可得,∴左视图中,∴.新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：必修课程主题学分课时包含的内容与现形课标的对照，在现形课标中的位置与现形课标对比，内容的不同主题一（预备知识）819集合A版：必修1第一章1.1节考查知识点基本不变B版：必修1第一章全部内容考查知识点基本不变常用逻辑用语（与A版内容较接近）A版：选修2-1第一章1.1节，1.2节，1.4节基本不变B版：选修2-1第一章1.1节，1.3节新课标增加了全称量词与存在量词一元二次函数、方程和不等式（与B版内容接近）A版：必修1第二章2.3节中与幂函数有关的一元二次函数提了出来必修5第二章3.1节，3.2节，3.4节中关于不等式的知识知识点基本不变不等式与现形课标相比少了二元一次不等式及线性规划B版：必修1第二章2.2节中的2.2.2，2.2.3中的一元二次函数知识必修5第三章3.1节，3.2节，3.3节，3.4节中的不等式知识基本不变主题二（函数及应用）54函数概念与性质（与A版内容接近）A版：必修1第一章1.2节，1.3节基本不变；函数的性质并入了三角函数来了解函数的周期性B版：必修1第二章2.1节增加了函数的最值与周期性幂函数、指数函数、对数函数（与A版内容接近）A版：必修1第二章2.1节，2.2节，2.3节基本不变B版：必修1第三章3.1节，3.2节，3.3节基本不变三角函数（与A，B版内容相差不大）A版：必修4第一章全部内容及第三章全部内容基本不变B版：必修4第一章全部内容及第三章全部内容基本不变函数综合应用（与A版内容接近）A版：必修1第三章全部内容基本不变B版：必修1第二章2.3节，2.4节增加了函数模型主题三（几何与代数）44平面向量及应用（与A，B版相差不大）A版：必修4第二章全部内容基本不变B版：必修4中第二章全部内容基本不变复数（与A版内容接近）A版：选修2-2第三章全部内容增加了选学内容“复数的三角表示”B版：选修2-2无教材立体几何初步（与B版内容接近）A版：必修2第一章全部内容及第二章全部内容基本不变B版：必修2第一章全部内容基本不变主题四（统计与概率）18统计（与A,B版内容相差不多）A版：必修3第二章2.1节，2.2节基本不变；知识点统计图表中加入了“梳理义务教育阶段学过的统计图表”B版：必修3第二章2.1节，2.2节基本不变概率（与A,B版内容相差不多）A版：必修3第三章全部内容基本不变B版：必修3第三章3.1节，3.2节，3.4节基本不变主题五（数学建模与数学探究）5数学建模与数学探究要求学生完成一个课题研究，包括选题、开题、做题、结题四个环节。学生需要撰写开题报告，根据选题内容，报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作的实物或研究论文等多种形式。在课题研究中逐步提升数学建模、数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理和直观想象静养。数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中。选修1主题一（函数及应用）632数列（与A版内容接近）A版：必修5第二章全部内容增加了“数学归纳法”B版：必修5第二章全部内容增加了“数学归纳法”一元函数导数及应用（与A版内容接近）A版：选修2-2第一章全部内容删掉了“生活中的优化问题举例”这一知识点微积分的创立与发展没有提到通过实例。B版：选修2-2无教材主题二（几何与代数）42空间向量与立体几（与B版内容接近）A版：选修2-1第三章全部内容基本不变；用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面距离问题这一知识点中加入了“能用框图描述解决这一类问题的思路”B版：选修2-1第三章全部内容同上平面解析几何（与A，B版内容相差不多）A版：必修2第三章全部内容及第四章全部内容选修2-1第二章全部内容基本不变B版：必修2第二章2.2节，2.3节选修2-1第二章全部内容基本不变主题三（统计与概率）26计数原理（与A版内容接近）A版：选修2-3第一章全部内容基本不变B版：选修2-3全部内容基本不变统计与概率（与A版内容接近）A版：选修2-3第二章全部内容、第三章全部内容及必修3第二章2.3节变量间的相关关系概率中“正态分布与超几何分布”要通过具体实例分析B版：选修2-3第二章全部内容、第三章全部内容及必修3第二章2.3节变量间的相关关系同上主题四（数学建模与数学探究）4数学建模与探究要求学生完成一个课题研究，也可以在必修“数学建模活动”或“数学探究活动”所作的研究基础上继续进行深入探究。按照必修部分的要求，完成开题、做题、结题的过程。如果选题不变，需要在研究报告中说明与必修研究的差异，深入研究所得到的新思路、新方法、新结果。选修2A2.5微积分A版：选修2-2第一章1.6节，1.7节内容的拓展、深化及部分增加内容增加了数列极限，函数极限等少量内容，内容划分的比较细，B版：缺少相对应内容的教材2空间几何与代数A版：选修4-2矩阵与变换及部分增加内容有少量新加内容内容划分的比较细，B版：选修4-2矩阵与变换及部分增加内容有少量新加内容内容划分的比较细，1.5统计与概率A版：选修2-3第二章与第三章内容的拓展、深化内容进行了拓展、深化B版：选修2-3第二章与第三章内容的拓展、深化内容进行了拓展、深化B2微积分A版：选修2-2第一章1.6节，1.7节内容的拓展、深化及部分增加内容内容进行了拓展、深化及少量新加内容B版：选修2-2第一章1.6节，1.7节内容的拓展、深化及部分增加内容内容进行了拓展、深化及少量新加内容1空间向量与代数A版：选修4-2矩阵与变换及部分增加内容有少量新加内容B版：选修4-2矩阵与变换及部分增加内容有少量新加内容2应用统计A版：选修2-3第二章、第三章内容的拓展、深化及少量新加内容内容进行了拓展、深化及少量新加内容B版：选修2-3第二章、第三章内容的拓展、深化及少量新加内容内容进行了拓展、深化及少量新加内容1模型不能与某一知识点对应不能与某一知识点对应C2逻