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文档简介

构造全等三角形、常见辅助线作法

适用学科初中数学适用年级初中二年级

适用区域全国新课标课时时长(分钟)60分钟

1.三角形全等证明思路

知识点2.构造全等三角形

3.常见辅助线的作法

一、知识与技能

教学目标1、掌握三角形全等的证明思路,学会迁移运用,举一反三;

2、掌握构造全等三角形的基本方法,对每种方法进行归纳总结,内化为自己的解题方法;

3、掌握常见辅助线的做法,遇到相应的题型是要能快速的想到如何做辅助线

4、经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。

二、过程与方法

1、以学生为主,把握上课重难点,以经典例题为主,灌输解题的思想给学生;

2、把握重难点、考点结合学生的实际以及期中考试的热点问题、经典例题进行针

对性的巩固训练;

3、引导学生由简单到复杂,通过实例操作、总结、归纳出证明三角形全等的一般

证明思路、如何构造全等三角形、常见辅助线的作法与证明过程。

三、情感、态度与价值观

1、培养学生归纳、推理的能力;

2、培养学生迁移类推的能力;

3、培养学生积极参与数学活动,对数学有强烈的好奇心和求知欲;

4、在学习过程中,体验获得成功的乐趣,锻炼克服困难的意志,建立自信心;

5、体会数学的特点,了解数学的价值。

1.三角形全等证明思路

教学重点

2.构造全等三角形

教学难点常见辅助线的作法

教学过程

一、课堂导入

已知:如图,B、E、F、C四点共线,AB=DC,BE=CF,zB=zC.

求证:OA=OD.

问题:大家对上面这道题目如何解答呢?大家觉得全等三角形这一章哪部分内容最那学,可能你会说

全等三角形的证明,对,的确是;如果再具体一点的话,应该是如何作辅助线、构造全等三角形吧,

0K,那么对于这类问题我该如何入手呢?这就是今天我们这堂课所要重点解决的问题。

二、复习预习

(-)全等三角形的概念性质

1.全等三角形的基本概念:

Q)全等形的定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形。

(2)全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点。

重合的边叫做对应边。重合的角叫做对应角。

⑶全等三角形的表示方法:SBC^B'C

2.全等三角形的性质:

Q)全等三角形的对应边相等;

(2)全等三角形的对应角相等。

(二)在运用全等三角形的基本性质时,其关键是找对应边,对应角,找对应边和对应角通常有以下几

种方法:

①全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;

②全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;

③有公共边的,公共边是对应边;

④有公共角的,公共角是对应角;

⑤有对顶角的,对顶角是对应角;

⑥两个全等三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应

边(或对应角)o

(三)全等三角形的判定

I.全等三角形判定1:三边对应相等的两个三角形全等(SSS);

2.全等三角形判定2:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);

3.全等三角形判定3:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);

4.全等三角形判定4:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS);

5.全等三角形判定5:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

(四)证明三角形全等的思路

通过对问题的分析)等解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后,采用哪个全等判定定理加以证明,

可以按下图思路进行分析:

'找夹角fSAS

己知两边,找第三边fSSS

找直角f"L

边为角的对边T找任一角fAAS

,找夹角的另边fSAS

已知一边一角<

边为角的邻边《找夹边的另一角74sA

找边的对角->A4S

找夹边->ASA

已知两角4

找任一对边->AAS

切记:"有三个角对应相等"和"有两边及其中一边的对角对应相等"的两个三角形不一定全等。

(五)利用三角形全等判断线段(或角)相等的一般方法

(1)把要判断相等的线段(或角)作为三角形的边(或角)的两个三角形找出来;

(2)证明这两个三角形全等;

(3)根据全等三角形的性质得出要判断的线段(或角)相等。

注意:在求证两条线段或者两个角相等时,利用三角形全等的性质来证明

是比较常用的方法,其中确定出边或角所在的三角形是关键。

(六)角平分线的性质、判定

Q)角平分线的性质

角平分线上的点到角的两边的距离相等

角平分线性质的符号语言:

•1在4。8的平分线上

人于。,PELOB于E

PD=PE

(2)角平分线的判定

到角的两边距离相等的点在角的平分线上

角平分线判定的符号语言:

­."PDIOA^D,PE_L08于E

且PD=PE

・・・户在405的平分线上

(或写成8是4。8的平分线)

/A

D/

0EB

(七)提分技巧

角平分线的性质和判定,它们都可以通过三角形全等得出证明;这样,我们又得到了证明线段相等或角

相等的一种方法。在解题中若能用它们直接得出线段或角相等时,就不需要再通过证明三角形全等来间

接证明,这样可以减少这一条件麻烦。

在利用角平分线的性质时,可由"角平分线"和"距离"这两个条件得出线段相等,这两个条件缺一不

可;同理,在利用角平分线的判定这一条件时,可由"距离"和"线段相等"这两个条件得出角平分线,

这两个条件也是缺一不可的。

三、知识讲解

考点/易错点1

全等三角形的证明思路

通过对问题的分析)等解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后,采用哪个全等判定定理加以证明,

可以按下图思路进行分析:'找夹角fSAS

已知两边,找第三边—SSS

找直角—>HL

'边为角的对边->找任一角—AAS

..[找夹角的另一边

-已知一■功一饵U

边为角的邻边找夹边的另一角fASA

找边的对角->AAS

口5由々[找夹边fASA

已知两角[ax

[找任一对边—>AAS

切记:”有三个角对应相等"和"有两边及其中一边的对角对应相等"的两个三角形不一定全等。

考点/易错点2

构造全等三角形

1、由于角是轴对称图形,所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形;

2、利用旋转的观点,不但有利于寻找全等三角形,而且有利于找对应边和对应角;

3、利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法,但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就

可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

考点/易错点3

常见辅助线的作法

1.连接四边形的对角线;

2、作垂线,利用角平分线的知识;

3、倍长中线;

4、"截长补短"构造全等三角形;

提分技巧:当给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件时,需要我们认真观察、分析,根据图形

的结构特点,挖掘潜在因素,通过添加适当的辅助线,巧妙构造全等三角形,借助全等三角形的有关性

质,就可迅速找到证题的途径。

四、例题精析

[例题1]

【题干】如图,A,£E,B四点共线I4°'CEIA;BD。求证:MCF三bBDE

C

【答案】见解析.

【解析】证明:.;AC1CE,BDVDF

N4CE=N8£>尸=90"

在Rt\ACE与Rt\BDF中

.rAE=BF

'LAC=BD

Rt\ACEsRt\BDFL)

ZA=ZB

■:AE=BF

AE-EF=BF-EF,gQAF=BE

在A4C尸与AB£)£中

AF=BE

ZA=zB

,AC=BD

/.MCF=\BDE(SAS)

[例题2]

【题干】(昆明)已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上一点.求证:BF=CF.

【答案】见解析.

【解析】证明:,.在SBD和3CD中

"AB=AC

<BD=CD,

/D=AD

」.△ABD*ACD,

/.zBAD=zCAD,

在ZSBAF和"AF中

(

s

<

s

、)

WVLL§.

9工

7@

HnVU

H8S

VV.

OKQ8.

..

7.

V/.

[例题3]

【题干】如图,在\ABC中,BE是NABC的平分线fADA.BEt垂足为。。求证:Z2=Z1+ZC.

【答案】见解析.

【解析】证明:延长交BC于尸

在/SABD与\FBD中

ZABD=ZFBD

二、BD=BD

NADB=NFDB=90’

\ABD=\FBD(ASA)

N2=/DFB

BFC

又•・・ZDFB=Z1+ZC

z.Z2=Z1+ZC.

[例题4]

【题干】如图,AB//CD,AD//BC,求证:AB=CD

【答案】见解析.

【解析】证明:连接AC

AB//CD,AD//BC

Z1=Z2,Z3=N4

在AABC与ACZM中

Z1=Z2

':\AC=CA

Z4=Z3

z.\ABC=\CDA(ASA)

AB=CDo

[例题5]

【题干】如图,”。分别是AA8C外角/MAC和NNCA的平分线,它们交于点P。求证:BP为4MBN的平分

线.

【答案】见解析.

【解析】证明:过尸作尸。JL8M于。,PELAC于E,PF上BN于F

・.・AP平分/MAC,PD上BM于D,PE-LACj^E

PD=PE

・.・CP平分/NGA,PEIAC,PF工BN于F

PE=PF

♦;PD=PE,PE=PF

PD=PF

•:PD=PF,且PO_L8M于。,PF1BN于F

■-BP为NMBN的平分线.

【题干】如图,。是MBC的边8c上的点,且。=48,ZADB=NBADAE是A/1BD的中线。求证:4c=24E.

【答案】见解析.A

【解析】证明:延长丑至点尸,使EFME,连接CF

在AA8E与此加中

'AE=FEBEDC

<NAEB=ZFED

,BE=DEA

AABE=\FDE(SAS)

NB=4EDF

•:ZADF=ZADB+ZEDF,NADC=NBAD+NB

BE;,'DC

又•.=:/

1//

NAD尸=ZADC:/

-.-AB=DF,AB=CDF

DF=DC

在AAOF与A4£>C中

,AD=AD

ZADF=ZADC,

DF=DC

M£)F=MDC(SAS)

AF=AC

又•「AF=2AE

AC=2AE

[例题7]

【题干】如图,在A4BC中,AB>AC,Zl=Z2,尸为4。上任意一点。求证:AB-AC>PB-PC9

【答案】见解析.

【解析】证明:法一:

在A8上截取AN=AC;连接PN

在MPN与MPC中

,AN=AC

zl=z2,

.AP=AP

\APN=\APC(SAS)

PN=PC

•.•在\BPN中,PB-PN<BN

D

PB-PC<AB-AC,即AB-AC>PB-PC

OB

法二:

延长AC至M,使AM=48,连接P"

在AA8P与AAMP中

AB=AM

zl=z2

.AP=AP

\ABP=\AMP(SAS)

PB=PM

,.在"CM中,CM>PM-PC

AB-AC>PB-PC

五、课堂运用

【基础】

1.如图,AB=AC,zBAC=90°,BD±AE于D,CE±AE于E,且BD>CE.

求证:BD=EC+ED.

【答案】见解析.

【解析】证明:>.zBAC=90°,CE±AE,BD±AE,

/.zABD+zBAD=90°,zBAD+zDAC=90°,zADB=zAEC=90°.

/.zABD=zDAC.

•.•在3BD和ACAE中

AABD=^EAC

<Z.BDA=乙E,

、AB=AC

••.△ABD”CAE(AAS)

/.BD=AE,EC=AD.

•.AE=AD+DE,

.-.BD=EC+ED.

2.如图,在MBC中,D是BC的中点,DE±AB于E,DF±AC于点F,且BE=CF.

求证:AD平分NBAC.

【答案】见解析.

【解析】证明::D是BC的中点

.,.BD=CD,

又••BE二CF,DE±AB,DF±AC,

「•RbBDE2RbCDF,

.-.DE=DF,

.・•点D在NBAC的平分线上,

二.AD平分NBAC.

3、如图所示,已知CD_LAB于D,BE±AC于E,CD交BE于点0,OD=OE.求证:AB=AC.

【答案】见解析.

【解析】证明:在MOD和ACOE中,

'ZBOD=ZCOE

<OD=OE

、/NCEO=90。

」.△BOD%COE(ASA),

/.OB=OC,

..OB+OE=OC+ODt

BPBE=CD.

在MBE和MCD中,

N4=//

<ZADC=ZAEB=90°

、BE=CD

」.△ABE乎ACD(AAS),

「.AB=AC.

4.如图,已知CD±AB于点D,BE±AC于点E,CD、BE交于点N,且DB=EC.

求证:AB=AC.

【答案】见解析.

【解析】解:在MEN和MDN中

,/CD±AB于点D,BE±AC于点E,

.*.ZCEN=ZBDN,

,/ZCNE=ZBND,

DB=CE,

」.△CEN2MDN,

「.CN=BN,EN=DN,

"N+DN=BN+EN,

.,.CD=BE,

,/ZA=ZA,

「•△ABE2ACD,

/.AB=AC.

5.已知:如图,AB=AD,BC=CD,ZABC=ZADC.求证:OB=OD.

【答案】见解析.

【解析】证明:在MBC和MDC中,

•/AB=AD,BC=CD,AC是公共边,

••.△ABC2ADC(SSS),

/.ZDCO=ZBCO,

在”8和ADCO中,

•.BC=CD,CO是公共边,ZDCO=ZBCO,

••.△BCC隹皿0(SAS)

「.OB=OD(全等三角形对应边相等)

【巩固】

1.如图,已知在等腰直角三角形^DBC中,zBDC=90°,BF平分NDBC,与CD相交于点F,延长BD

到A,使DA=DF.

(1)求证:AFBD^ACD;

(2)延长BF交AC于E,求证:BF=2CE.

【答案】见解析.

【解析】证明:(1)•「△DBC是等腰直角三角形,

.*.DB=DC,zBDF=zCDA=90°,

在AFBD和SCD中,

BD=DC

<Z.BDF=Z.CDA/

、DF=AD

•・.△FBD%ACD(SAS),

(2)•「△FBD%ACD,

.*.zACD=zFBD,AE=BF,

•.zBDF=90°,

.-.zFBD+zDFB=90°,

\zCFE=zBFD,

/.zEFC+zACD=90°,

/.zCEF=180o-90o=90°=zBEA,

・・BE平分/ABC,

.-.zABE=zCBE,

在AABE和4BE中,

f^ABE=乙CBE

<BE=BE,

^BEA=乙BEC

・•.△ABE"CBE(ASA

・•.AE=EC,

•.BF=AC,

・•.BF=2CE.

2.如图,△ABC中,AD平分NBAC,zB=2zC,求证:AB+BD=AC.

【答案】见解析.

【解析】证明:在AC上截取AE二AB,连接DE,

-.AD平分NBAC,

.*.zBAD=zDAC,

在3BD和3ED中,

'AE=AB

<乙BAD=Z.DAC,

、AD=AD

••.△ABD斗AED(SAS),

.'.zB=zAED,BD=DE,又NB=2NC,

.'.zAED=2zC,

W

X

1

+

U

7、

A山

山Y

<山

7

Q

思.

.

3.已知:BC=DE,ZB=ZE,ZC=ZD,F是CD中点,求证:Z1=Z2.

【答案】见解析.

【解析】证明:如图,延长AB交DC延长线于点M,

延长AE交CD延长线于点N,

\zB=zE,zC=zD,

/.180°-zB=180°-zE,180°-zC=180°-zD,

即NCBM二NDEN,zBCM=zEDN,

在ABCM和-DN中,

‘乙CBM=乙DEN

BC=DE,

/BCM=乙EDN

・•.△BCM乎EDN(ASA),

.-.zM=zN,CM=DN,

」.AM二AN(等角对等边),

・「F是CD中点,

.,F是MN中点,

.•.zl=z2(等腰三角形三线合一).

4.如图,四边形ABCD中,ABIIDC,BE、CE分别平分NABC、ZBCD,且点E在AD上.求证:BC=AB+DC.

【答案】见解析.

【解析】证明:延长BE交CD的延长线于点F,

•/BE平分NABC,

/.ZABE=ZCBE,

­.,ABIICD,

.*.ZF=ZABE,ZA=ZFDA,

/.ZF=ZCBE,

/.CF=BC,

•/CE平分NBCD,

・•.BE=EF(三线合一),

在MBE和ADFE中,

Z.F=乙ABE

<EB=EF,

^AEB=乙DEF

「.△ABE2FDE(ASA),

/.FD=AB,

•「CF=DF+CD,

/.CF=AB+CD,

.,.BC=AB+CD.

【拔高】

1.如图,已知ACIIBD,EA、EB分别平分NCAB和NDBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理

由.

【答案】见解析.

【解析】解:AB二AC+BD,

理由是:在AB上截取AC=AF,连接EF,

•/AE平分NCAB,

.t.zCAE=zBAE,

在"AE和^FAE中

AC=AF

<Z.CAE=Z.FAE,

、AE=AE

••.△CAE%FAE(SAS),

.*.zC=zAFE,

,/ACllBD,

/.zC+zD=180°,

\zEFB+zAFE=180°,

/.zD=zEFB,

•.BE平分NABD,

/.zDBE=zFBE,

在^BEF和ABED中

Z.D=Z.EFB

<Z.FBE=乙DBE,

、BE=BE

/.△BEF^BED(AAS),

/.BF=BD,

•.AB=AF+BF,AC=AF,BF=BD

.*.AB=AC+BD.

2

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