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文档简介
构造全等三角形、常见辅助线作法
适用学科初中数学适用年级初中二年级
适用区域全国新课标课时时长(分钟)60分钟
1.三角形全等证明思路
知识点2.构造全等三角形
3.常见辅助线的作法
一、知识与技能
教学目标1、掌握三角形全等的证明思路,学会迁移运用,举一反三;
2、掌握构造全等三角形的基本方法,对每种方法进行归纳总结,内化为自己的解题方法;
3、掌握常见辅助线的做法,遇到相应的题型是要能快速的想到如何做辅助线
4、经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。
二、过程与方法
1、以学生为主,把握上课重难点,以经典例题为主,灌输解题的思想给学生;
2、把握重难点、考点结合学生的实际以及期中考试的热点问题、经典例题进行针
对性的巩固训练;
3、引导学生由简单到复杂,通过实例操作、总结、归纳出证明三角形全等的一般
证明思路、如何构造全等三角形、常见辅助线的作法与证明过程。
三、情感、态度与价值观
1、培养学生归纳、推理的能力;
2、培养学生迁移类推的能力;
3、培养学生积极参与数学活动,对数学有强烈的好奇心和求知欲;
4、在学习过程中,体验获得成功的乐趣,锻炼克服困难的意志,建立自信心;
5、体会数学的特点,了解数学的价值。
1.三角形全等证明思路
教学重点
2.构造全等三角形
教学难点常见辅助线的作法
教学过程
一、课堂导入
已知:如图,B、E、F、C四点共线,AB=DC,BE=CF,zB=zC.
求证:OA=OD.
问题:大家对上面这道题目如何解答呢?大家觉得全等三角形这一章哪部分内容最那学,可能你会说
全等三角形的证明,对,的确是;如果再具体一点的话,应该是如何作辅助线、构造全等三角形吧,
0K,那么对于这类问题我该如何入手呢?这就是今天我们这堂课所要重点解决的问题。
二、复习预习
(-)全等三角形的概念性质
1.全等三角形的基本概念:
Q)全等形的定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形。
(2)全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点。
重合的边叫做对应边。重合的角叫做对应角。
⑶全等三角形的表示方法:SBC^B'C
2.全等三角形的性质:
Q)全等三角形的对应边相等;
(2)全等三角形的对应角相等。
(二)在运用全等三角形的基本性质时,其关键是找对应边,对应角,找对应边和对应角通常有以下几
种方法:
①全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
②全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;
③有公共边的,公共边是对应边;
④有公共角的,公共角是对应角;
⑤有对顶角的,对顶角是对应角;
⑥两个全等三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应
边(或对应角)o
(三)全等三角形的判定
I.全等三角形判定1:三边对应相等的两个三角形全等(SSS);
2.全等三角形判定2:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);
3.全等三角形判定3:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);
4.全等三角形判定4:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS);
5.全等三角形判定5:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
(四)证明三角形全等的思路
通过对问题的分析)等解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后,采用哪个全等判定定理加以证明,
可以按下图思路进行分析:
'找夹角fSAS
己知两边,找第三边fSSS
找直角f"L
边为角的对边T找任一角fAAS
,找夹角的另边fSAS
已知一边一角<
边为角的邻边《找夹边的另一角74sA
找边的对角->A4S
找夹边->ASA
已知两角4
找任一对边->AAS
切记:"有三个角对应相等"和"有两边及其中一边的对角对应相等"的两个三角形不一定全等。
(五)利用三角形全等判断线段(或角)相等的一般方法
(1)把要判断相等的线段(或角)作为三角形的边(或角)的两个三角形找出来;
(2)证明这两个三角形全等;
(3)根据全等三角形的性质得出要判断的线段(或角)相等。
注意:在求证两条线段或者两个角相等时,利用三角形全等的性质来证明
是比较常用的方法,其中确定出边或角所在的三角形是关键。
(六)角平分线的性质、判定
Q)角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等
角平分线性质的符号语言:
•1在4。8的平分线上
人于。,PELOB于E
PD=PE
(2)角平分线的判定
到角的两边距离相等的点在角的平分线上
角平分线判定的符号语言:
."PDIOA^D,PE_L08于E
且PD=PE
・・・户在405的平分线上
(或写成8是4。8的平分线)
/A
D/
0EB
(七)提分技巧
角平分线的性质和判定,它们都可以通过三角形全等得出证明;这样,我们又得到了证明线段相等或角
相等的一种方法。在解题中若能用它们直接得出线段或角相等时,就不需要再通过证明三角形全等来间
接证明,这样可以减少这一条件麻烦。
在利用角平分线的性质时,可由"角平分线"和"距离"这两个条件得出线段相等,这两个条件缺一不
可;同理,在利用角平分线的判定这一条件时,可由"距离"和"线段相等"这两个条件得出角平分线,
这两个条件也是缺一不可的。
三、知识讲解
考点/易错点1
全等三角形的证明思路
通过对问题的分析)等解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后,采用哪个全等判定定理加以证明,
可以按下图思路进行分析:'找夹角fSAS
已知两边,找第三边—SSS
找直角—>HL
'边为角的对边->找任一角—AAS
..[找夹角的另一边
-已知一■功一饵U
边为角的邻边找夹边的另一角fASA
找边的对角->AAS
口5由々[找夹边fASA
已知两角[ax
[找任一对边—>AAS
切记:”有三个角对应相等"和"有两边及其中一边的对角对应相等"的两个三角形不一定全等。
考点/易错点2
构造全等三角形
1、由于角是轴对称图形,所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形;
2、利用旋转的观点,不但有利于寻找全等三角形,而且有利于找对应边和对应角;
3、利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法,但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就
可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。
考点/易错点3
常见辅助线的作法
1.连接四边形的对角线;
2、作垂线,利用角平分线的知识;
3、倍长中线;
4、"截长补短"构造全等三角形;
提分技巧:当给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件时,需要我们认真观察、分析,根据图形
的结构特点,挖掘潜在因素,通过添加适当的辅助线,巧妙构造全等三角形,借助全等三角形的有关性
质,就可迅速找到证题的途径。
四、例题精析
[例题1]
【题干】如图,A,£E,B四点共线I4°'CEIA;BD。求证:MCF三bBDE
C
【答案】见解析.
【解析】证明:.;AC1CE,BDVDF
N4CE=N8£>尸=90"
在Rt\ACE与Rt\BDF中
.rAE=BF
'LAC=BD
Rt\ACEsRt\BDFL)
ZA=ZB
■:AE=BF
AE-EF=BF-EF,gQAF=BE
在A4C尸与AB£)£中
AF=BE
ZA=zB
,AC=BD
/.MCF=\BDE(SAS)
[例题2]
【题干】(昆明)已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上一点.求证:BF=CF.
【答案】见解析.
【解析】证明:,.在SBD和3CD中
"AB=AC
<BD=CD,
/D=AD
」.△ABD*ACD,
/.zBAD=zCAD,
在ZSBAF和"AF中
(
s
<
s
、)
工
WVLL§.
9工
7@
HnVU
H8S
VV.
OKQ8.
..
7.
V/.
[例题3]
【题干】如图,在\ABC中,BE是NABC的平分线fADA.BEt垂足为。。求证:Z2=Z1+ZC.
【答案】见解析.
【解析】证明:延长交BC于尸
在/SABD与\FBD中
ZABD=ZFBD
二、BD=BD
NADB=NFDB=90’
\ABD=\FBD(ASA)
N2=/DFB
BFC
又•・・ZDFB=Z1+ZC
z.Z2=Z1+ZC.
[例题4]
【题干】如图,AB//CD,AD//BC,求证:AB=CD
【答案】见解析.
【解析】证明:连接AC
AB//CD,AD//BC
Z1=Z2,Z3=N4
在AABC与ACZM中
Z1=Z2
':\AC=CA
Z4=Z3
z.\ABC=\CDA(ASA)
AB=CDo
[例题5]
【题干】如图,”。分别是AA8C外角/MAC和NNCA的平分线,它们交于点P。求证:BP为4MBN的平分
线.
【答案】见解析.
【解析】证明:过尸作尸。JL8M于。,PELAC于E,PF上BN于F
・.・AP平分/MAC,PD上BM于D,PE-LACj^E
PD=PE
・.・CP平分/NGA,PEIAC,PF工BN于F
PE=PF
♦;PD=PE,PE=PF
PD=PF
•:PD=PF,且PO_L8M于。,PF1BN于F
■-BP为NMBN的平分线.
【题干】如图,。是MBC的边8c上的点,且。=48,ZADB=NBADAE是A/1BD的中线。求证:4c=24E.
【答案】见解析.A
【解析】证明:延长丑至点尸,使EFME,连接CF
在AA8E与此加中
'AE=FEBEDC
<NAEB=ZFED
,BE=DEA
AABE=\FDE(SAS)
NB=4EDF
•:ZADF=ZADB+ZEDF,NADC=NBAD+NB
BE;,'DC
又•.=:/
1//
NAD尸=ZADC:/
-.-AB=DF,AB=CDF
DF=DC
在AAOF与A4£>C中
,AD=AD
ZADF=ZADC,
DF=DC
M£)F=MDC(SAS)
AF=AC
又•「AF=2AE
AC=2AE
[例题7]
【题干】如图,在A4BC中,AB>AC,Zl=Z2,尸为4。上任意一点。求证:AB-AC>PB-PC9
【答案】见解析.
【解析】证明:法一:
在A8上截取AN=AC;连接PN
在MPN与MPC中
,AN=AC
zl=z2,
.AP=AP
\APN=\APC(SAS)
PN=PC
•.•在\BPN中,PB-PN<BN
D
PB-PC<AB-AC,即AB-AC>PB-PC
OB
法二:
延长AC至M,使AM=48,连接P"
在AA8P与AAMP中
AB=AM
zl=z2
.AP=AP
\ABP=\AMP(SAS)
PB=PM
,.在"CM中,CM>PM-PC
AB-AC>PB-PC
五、课堂运用
【基础】
1.如图,AB=AC,zBAC=90°,BD±AE于D,CE±AE于E,且BD>CE.
求证:BD=EC+ED.
【答案】见解析.
【解析】证明:>.zBAC=90°,CE±AE,BD±AE,
/.zABD+zBAD=90°,zBAD+zDAC=90°,zADB=zAEC=90°.
/.zABD=zDAC.
•.•在3BD和ACAE中
AABD=^EAC
<Z.BDA=乙E,
、AB=AC
••.△ABD”CAE(AAS)
/.BD=AE,EC=AD.
•.AE=AD+DE,
.-.BD=EC+ED.
2.如图,在MBC中,D是BC的中点,DE±AB于E,DF±AC于点F,且BE=CF.
求证:AD平分NBAC.
【答案】见解析.
【解析】证明::D是BC的中点
.,.BD=CD,
又••BE二CF,DE±AB,DF±AC,
「•RbBDE2RbCDF,
.-.DE=DF,
.・•点D在NBAC的平分线上,
二.AD平分NBAC.
3、如图所示,已知CD_LAB于D,BE±AC于E,CD交BE于点0,OD=OE.求证:AB=AC.
【答案】见解析.
【解析】证明:在MOD和ACOE中,
'ZBOD=ZCOE
<OD=OE
、/NCEO=90。
」.△BOD%COE(ASA),
/.OB=OC,
..OB+OE=OC+ODt
BPBE=CD.
在MBE和MCD中,
N4=//
<ZADC=ZAEB=90°
、BE=CD
」.△ABE乎ACD(AAS),
「.AB=AC.
4.如图,已知CD±AB于点D,BE±AC于点E,CD、BE交于点N,且DB=EC.
求证:AB=AC.
【答案】见解析.
【解析】解:在MEN和MDN中
,/CD±AB于点D,BE±AC于点E,
.*.ZCEN=ZBDN,
,/ZCNE=ZBND,
DB=CE,
」.△CEN2MDN,
「.CN=BN,EN=DN,
"N+DN=BN+EN,
.,.CD=BE,
,/ZA=ZA,
「•△ABE2ACD,
/.AB=AC.
5.已知:如图,AB=AD,BC=CD,ZABC=ZADC.求证:OB=OD.
【答案】见解析.
【解析】证明:在MBC和MDC中,
•/AB=AD,BC=CD,AC是公共边,
••.△ABC2ADC(SSS),
/.ZDCO=ZBCO,
在”8和ADCO中,
•.BC=CD,CO是公共边,ZDCO=ZBCO,
••.△BCC隹皿0(SAS)
「.OB=OD(全等三角形对应边相等)
【巩固】
1.如图,已知在等腰直角三角形^DBC中,zBDC=90°,BF平分NDBC,与CD相交于点F,延长BD
到A,使DA=DF.
(1)求证:AFBD^ACD;
(2)延长BF交AC于E,求证:BF=2CE.
【答案】见解析.
【解析】证明:(1)•「△DBC是等腰直角三角形,
.*.DB=DC,zBDF=zCDA=90°,
在AFBD和SCD中,
BD=DC
<Z.BDF=Z.CDA/
、DF=AD
•・.△FBD%ACD(SAS),
(2)•「△FBD%ACD,
.*.zACD=zFBD,AE=BF,
•.zBDF=90°,
.-.zFBD+zDFB=90°,
\zCFE=zBFD,
/.zEFC+zACD=90°,
/.zCEF=180o-90o=90°=zBEA,
・・BE平分/ABC,
.-.zABE=zCBE,
在AABE和4BE中,
f^ABE=乙CBE
<BE=BE,
^BEA=乙BEC
・•.△ABE"CBE(ASA
・•.AE=EC,
•.BF=AC,
・•.BF=2CE.
2.如图,△ABC中,AD平分NBAC,zB=2zC,求证:AB+BD=AC.
【答案】见解析.
【解析】证明:在AC上截取AE二AB,连接DE,
-.AD平分NBAC,
.*.zBAD=zDAC,
在3BD和3ED中,
'AE=AB
<乙BAD=Z.DAC,
、AD=AD
••.△ABD斗AED(SAS),
.'.zB=zAED,BD=DE,又NB=2NC,
.'.zAED=2zC,
W
X
1
弋
+
U
7、
A山
山Y
<山
7
Q
思.
.
3.已知:BC=DE,ZB=ZE,ZC=ZD,F是CD中点,求证:Z1=Z2.
【答案】见解析.
【解析】证明:如图,延长AB交DC延长线于点M,
延长AE交CD延长线于点N,
\zB=zE,zC=zD,
/.180°-zB=180°-zE,180°-zC=180°-zD,
即NCBM二NDEN,zBCM=zEDN,
在ABCM和-DN中,
‘乙CBM=乙DEN
BC=DE,
/BCM=乙EDN
・•.△BCM乎EDN(ASA),
.-.zM=zN,CM=DN,
」.AM二AN(等角对等边),
・「F是CD中点,
.,F是MN中点,
.•.zl=z2(等腰三角形三线合一).
4.如图,四边形ABCD中,ABIIDC,BE、CE分别平分NABC、ZBCD,且点E在AD上.求证:BC=AB+DC.
【答案】见解析.
【解析】证明:延长BE交CD的延长线于点F,
•/BE平分NABC,
/.ZABE=ZCBE,
.,ABIICD,
.*.ZF=ZABE,ZA=ZFDA,
/.ZF=ZCBE,
/.CF=BC,
•/CE平分NBCD,
・•.BE=EF(三线合一),
在MBE和ADFE中,
Z.F=乙ABE
<EB=EF,
^AEB=乙DEF
「.△ABE2FDE(ASA),
/.FD=AB,
•「CF=DF+CD,
/.CF=AB+CD,
.,.BC=AB+CD.
【拔高】
1.如图,已知ACIIBD,EA、EB分别平分NCAB和NDBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理
由.
【答案】见解析.
【解析】解:AB二AC+BD,
理由是:在AB上截取AC=AF,连接EF,
•/AE平分NCAB,
.t.zCAE=zBAE,
在"AE和^FAE中
AC=AF
<Z.CAE=Z.FAE,
、AE=AE
••.△CAE%FAE(SAS),
.*.zC=zAFE,
,/ACllBD,
/.zC+zD=180°,
\zEFB+zAFE=180°,
/.zD=zEFB,
•.BE平分NABD,
/.zDBE=zFBE,
在^BEF和ABED中
Z.D=Z.EFB
<Z.FBE=乙DBE,
、BE=BE
/.△BEF^BED(AAS),
/.BF=BD,
•.AB=AF+BF,AC=AF,BF=BD
.*.AB=AC+BD.
2
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