控制系统的频域分析

教学过程备注

第四章控制系统的频域分析

4.1频率特性概述

频域分析法是经典控制理论中，对控制系统进行研究和分析的另一种主要方

法，也称为频率特性法，即采用频率特性作为数学模型来分析和设计系统的方法，

与时域分析法相比，可看出频率特性的特点。

时域分析的缺点：

①高阶系统的分析难以进行；

②难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；

③当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。

频率特性的优点：

①无需求解微分方程，图解（频率特性图）法间接揭示系统性能并指明改进性能

的方向；

②易于实验分析；

③可推广应用于某些非线性系统：

④可方便设计出能有效抑制噪声的系统。

本章主要介绍频率特性的概念、求取方法及特点、频率特性的图示方法（极坐

标图和对数坐标图）、系统的频域性能指标及最小相位等概念。

4.1.1频率特性的基本概念

1、线性定常系统对正弦输入的稳态响应

结论：对于线性定常系统，当输入为一正弦信号七⑺=Asin切，则该系统的稳态

输出为同频率的正弦信号x0（f）=Ssin（（w/+0），但其振幅B和相位。一般均不同于

输入量，且随着输入信号频率的变化而变化。

例4.1设系统的传递函数为G（s）=-W—,K>0,T>0,输入信号为x/）=Nsin&,

7\+1

求其稳态响应。

NeoKABc

X0(s)=X,(s)-G(s)---------------------=---------------1---------------b

s~+a)~Ts+1s+jcos-jco"T

SH——

T

/、NKTcoNKNKcoT

-T三

xAtI=----sincot---------coscot+-------7re

\+T2CO21+T2«y21+T2(y2

NK1NKTeoNKcoT~

=..sincot——/,coso)t+-------e1

Jl+4疗71+7^7A/I+T2®2Vl+r2(y2X+T-co-

NK..、NKTo)-7

=._•sizn!-arctanTco)^-----；---e1

71+r2^21+X。2

可以看出，第二项为瞬态项，当ffoo时，该项衰减为0。第一项为稳态项，即其

稳态响应为xo(r)=.=•sin(69/-arctanTa))

Vl+T26>2

分析：①与（。与x,3同频率;

②x„（/）与x,3幅值与相位各不相同，且z（/）的幅值与相位均与。有关。

NK

幅值：,N；相位：-arctan0

7177^7

2、频率特性的定义

信号的角频率。=24

①稳态响应的幅值：输入信号的幅值N,频率O、系统的固有特性T、K决定。

稳态响应的幅值与输入信号的幅值成正比，两者相比即是。的函数，且与系统的固

有特性T、K有关；

②稳态响应的相位：输入信号的相位为0,频率、系统的固有特性T决定。稳

态响应的相位与输入信号的相位同步变化，且二者之差是。的函数，且由系统的固

有特性决定。

定义：①幅频特性A（。）：线性定常系统在正弦输入作用下，其稳态响应幅值

与输入信号幅值之比是输入信号的频率。的函数，定义为系统的幅频特性；

②相频特性。（。）：线性定常系统在正弦输入作用下，其稳态响应的相位与输入

信号的相位之差是。的函数，定义为系统的相频特性。

③频率特性A⑹.e"⑻：幅频特性与相频特性总称

说明：①4（昉无量纲;

②0（。）的单位是弧度或度;

③4（时2。⑹是复变函数，自变量是复数。

频率特性包括实部、虚部。

5.1.2频率特性的求取方法

1、频率特性与传递函数的关系

设一个稳定的线性定常系统其微分方程为

%斓（，）+…+*。（t）+a0xo（t）

=一吊吸）+%铲％）+…+仇弘）+%玉（。

X0(s)仇,F"+"_yi+…+仇s+%

传递函数为G（s）=

n

Xj(s)ans+%_/”"H—+Q]S+Qo

设输入的正弦信号为巧(。=NsinW，即X,(s)=2

s+刃

X。(s)=X,(，).G(s)=5+…:3:％,上

UnSH-----FCl^S+CLQS4-CD

①确定系统的稳态响应：

设系统无重复极点，则X,,(s)=£2—+—^―+—J

k=\S-Sks-j(0S+j(D

式中：.为系统的极点；&、B、。为待定系数

x.1）=之A/如+&*+Ce-/

k=\

由数学知，当乂具有负实部时有lime'"=0

r->00

可见，当，―8时，系统响应函数中与负实部极点有关的指数项将衰减为零，故系

统的稳态响应为x<t）=B*+Ce-jw,

若系统中含有"个重复极点外,

v,、Al4，A弋4Bc

(s-sjk一与广s-Sqk=p+is-sks-ja>s+jct)

AA〃

即12(p2)vSt，ia,

X(f)=[产D+t-+•••+Ale+YAke+B*+Ce-

(P-D!(P-2)!I。k=p+l

显然可见，对前p项中的e"同样满足lime"=0,那么当所有极点实部为负时，前

f->8

n项是收敛的。此时，系统的稳态响应仍为：x„(t)=BeiM+Ce-jM

②确定参数B、C：

由G(s)•士兰人+上+工得：

S+Ct)«=]S—SkS—J①5+JCD

6=G（s）.——C匠人―一

S+JCO［_A-=Is~SkS+JG_

/、NN

取s=/0得：B=G（八y）•工：同理可得C=—G（—j。）*

2j2j

③确定频率特性：

考虑到G（_/&）与G（-"y）为共辄复数，可记

G（a）=|G（j叫-G（-＞）=|G（j叫e/G（j。）

代入可得系统的稳态响应：

七,（。=G（/。）•袅e""-G（-jto）-^-eJ^

2j2j

=|G（j叫ejZGM■—•e加_|G（j叫e-jZGM■—•e"

2j2j

j［.+NG（J©）］_-j［cot+ZG（j&））］

=|G（j砌•N------------------------------------

=|G（/砌・N-sin［（yr+ZG（j«y）］

由频率特性定义知：系统的幅频特性为A（o）=口（加），相频特性为乩9）=ZG（j7y）

则系统的频率特性为A（（o）-ejM=|G（＞J-eyzc（＞）=G（ja＞）

④结论：综上可见，将传递函数的自变量s变为jo,就是系统的频率特性。

故频率特性可记为G（〃y）,幅频特性记为顺加），相频特性也记为NG（〃y）。

传递函数的自变量s=a+何，而频率特性是传递函数在a=0且匕=啰时的特例。

分析：描述系统的3种数学模型：系统的微分方程、传递函数、频率特性间的关系:

系统微分方程拉氏变换传递函数$=）小频率特性

⑤表示方法：G（jo）=w（＜w）+M。）=|G（j叫/"（""）=A（o）•e讷⑼

实部“（（y）为实频特性，虚部v（ty）为虚频特性，且有“（3）=|G0°l-cosNG（〃y）,

丫⑹=|G（J叫sinZG（j7y）

而G（j④）=A（o）-e刖⑼，故A（（y）=|G0（y）|=JM2（.）+/（0）,/.G^jco）

当〃（。）＞0时，0（（y）=2〃;r+arctanU^；

当“（（y）＜0时，^（＜w）-1n7r+7T+arctan—7—r;

u（a＞）

当”（＜y）=0且v（（y）〉0口寸，。（＜y）=2〃〃+g不

当”（o）=0且丫（。）＜0时，“（3）=2〃万一3万

当〃3）=v（o）=0时，°（3）=任意值

其中n为待定整数，视具体情况而定。

2、频率特性的求法

1）利用时间响应求取

方法一：已知G（s）,x/）为正弦信号，可求得系统的稳态响应，再根据频率特性定

义求取。

例4.2已知系统的传递函数为G（s）=—J,K＞0,T〉0,求其频率特性。

75+1

解：当x,3=Nsin。/时，系统的稳态响应为：

x„（r）=,.=.sin（（y?-arctanTty）

J1+L疗

所以系统的幅频特性为A(o)=/长,相频特性为03)=—arctanTTy

Vl+T2(y2

频率特性为G(j(y)=~/长=.e-arctanTw

Vl+T2<y2

2)G(s)\s=j(o=G(jco)

KK-jKTco

方法二：解：将s=代入G(s)得:G(，0)=

jT(o+\l+T2®2

co

贝ij“⑹=—±--,v(<w)=-*7

''1+T2(y2''\+T2CD

A(0)=俨3)=/长,°((y)=arctan=-arctanT①

Vi+r2<y2u[co)

3)实验法：对实际系统求取频率特性的一种常用而重要的方法。如果在不知道系

统的传递函数或数学模型时，只有采用实验法。

4.1.3频率特性分析法的特点

(1)系统的频率特性是系统的单位脉冲响应函数的频谱(傅里叶变换)

拉氏变换：尸⑸=[/(，)*"力

傅里叶变换:F(ja))=rf(t)e-Joxdt

J-OC'

由于X0(s)=X,(s).G(s),则X。(松)=Xj(为.GO。)

当x/)=M)时，X,(s)=l

输出为单位脉冲响应x“(/)=「(G(s))=g(f)

而乂6。)=尸[即)]=1，X00(y)=F[g(f)]

那么G(jo)=xjj(o)=r[g(r)]

传递函数是单位脉冲响应函数的拉氏变换

频率特性是单位脉冲响应函数的傅里叶变换。

对频率特性的分析就是对单位脉冲响应的频谱分析。

(2)时域分析：线性系统的过渡过程以获得系统的动态性能。

频域分析：不同频率正弦输入下的稳态响应，以获得系统的动态性能。

(3)根据频率特性可选择系统工作的合适频率范围。

4.2频率特性的极坐标图（奈奎斯特图）

A3）、。（⑹都是输入信号频率o的函数。为了更直观地了解频率特性的变化

规律，可采用图示的方法，将频率特性绘制成曲线图形，常用方法有极坐标图和对

数坐标图。

5.2.1极坐标图的基本概念

又称奈奎斯特图，也称幅相频率特性图，表示了。从零变化至无穷大时，

oe[0,8）时，在极坐标上频率特性的幅值与相角的关系图。极坐标图实在复平面内

用不同频率的矢量之端点轨迹来表示系统的频率特性。

极轴：极坐标系中，横向正半轴射线

幅频特性A（。）：从原点出发的矢量长度

相频特性。（。）：矢量与极轴间的夹角，逆时针为正，顺时针为负，NG。。）

5.2.2典型环节的极坐标图

一般复杂的系统都是由典型环节组成，熟悉典型环节的频率特性后，可讨论一

般系统的频率特性。

[的喇

1、比例环节：G（s）=K

G（ja））=K=KeJ0,则6（汝）|=K,NG（%）=0。oRe

2、积分环节：G（5）=-

s

==-j—=—e%，

jCDCO（D

则2=-90°

0,V（69）=---

CO

当3=0foo时，=，应由-oofO,

CD

方向为自下而上。

3、微分环节：G（s）=s

.n_

G（jco）=j①=a）e2,则|G（，＜y）=0,ZG（j7w）—

当（y=Of8时，|G（J⑹|=口应由0-＞oo

注意：对比微分环节、积分环节的极坐标图，可看出

两者并不关于实轴对称（方向不对称）。

4、惯性环节：G（s）=—!—

Ts+1

所以

G（/&）=春"瑞-arctan77«

所以如心悬二ZG(jco)--arctanTct)

①当0=0-8时，ZG（j（y）=O^--y

②当勿=0时，起始点（1,川）

当＜ye（0,oo）时,»（＜y）＞0»v（＜y）＜0,故位于第四象限

当=■时，NG（J啰）=一?

当iy.8时，“（3）、u（＜y）、顺法］均趋向于0,NG（j初的极限为-5，即终结于

坐标原点;

③〃⑹=］+'，,则［〃3—g）］2+［V3）］2=；,可见，极坐标图

为圆心在化川］处，半径为L的一个半圆。

（2）2

5、一阶微分环节：G（s）=Ts+l

则G（j（y）=1+jTco=+TO

所以限/砌=JT%2+],ZG（jco）-arctanTco,

V{CO）-TG）

①当3=0时，起始点（1,川）；

②当3Tg时，“3）=1,V（6O）=0—>00,

NG（jco）=0—>—o

1

6、振荡环节：G（5）=

T2S2+2^TS+\s2+2&a）“s+冠

1

故G（j（y）=

一1+j2的（y+@；

—0+,后一0

J%

2^—

1

所以|G（"y]=NG（jco）=jarctan-------

分析:①当（w=0时，|G（j砌=|G（JO）=1,NG（汝）=0°,起始点Q,jO）；

②当《y=q时，|G（j⑹=',NG（/0）=9O°；

2g

③当g=8时，|G（/⑹=0,ZG（j<y）=-90°o

幅值：①当J较大时"之苧时，A(G)随口的增大而减小;

②当自较小时(夕苧时)，谐振现象，A(0)随啰的

增大而增大，出现一个最大值，然后逐渐减小至0。

7.延时环节：G(s)=er

)

/.G{jco)=e~jTa=COSTCO-jsinTO)

u((v)=COSTCO,v(69)=sinTO),a(/)=1,

蚁cd)-arctanT(»,

分析：当0:0—>+8时，(/)(co):0->-oo；

当。=+oo时，。(/y)=-oo,终点无法确定

故延时环节的极坐标图并非一个圆，而是无穷多个单位圆循环而成。

补：开环传递函数表示成若干典型环节的串联，即G(S)=G|(S)G2(S)…G.(S)

G(〃y)=A(⑼/(⑼

所以系统的频率特性：=43)/"3)4(0)/屈明-4(。)0泌初

=A[(<y)A2(«)•••A"((y)/M⑺+鱼⑷+地，⑷]

A((w)=A,(<y)A2(a))••-An(⑼,。⑼=必(啰+我(口)+3)

可见，系统的极坐标图与各典型环节的极坐标图之间不存在明显关系即叠加关

系，故仍按一般系统进行处理。

5.2.3奈奎斯特图的一般画法

1、步骤：

①频率特性G("y)；

②A((y),。(⑼，w((y),v(ty)；

③分析A((y),。(⑼随。的变化趋势，注意关键点的处理;

④连线。

例4.3绘制系统G（s）="的极坐标图。

r（词①T%2+

解系统的频率特性为：=

1+Jitt）1+/co

，/、Ta>,、T2CO2,、Ta>..、1

,〃（⑼=----厂干,v（d>）=----丁一=arctan——

扪+72疗l+T2®21+T2（y2Teo

rr

分析：当G：Of8时，族（⑼：耳->0

〃3）〉0,v⑼〉0,故位于第一象限

且有［〃（0—g）］2+［y（（y）『=；,故为半圆。

4.3频率特性的对数坐标图（波特图）

极坐标图在一张图上表示出整个频域中随口变化的系统的频率特性，为了更好

地研究频率特性在不同频段的特点，以及与。间

的关系，可采用对数坐标图。产03归。砌

60

4.3.1对数坐标图的基本概念40

on

又称伯德图（Bode图），所采用的坐标称为对o

o.oio.iiiolooloooiosa

数坐标系，由对数幅频特性图和对数相频特性图3

组成。前者的纵坐标为20闻G0g],单位时分贝，

用dB表示；后者的纵坐标为度或弧度，两者的纵2K

坐标均按线性分度，而横坐标是角速度0,采用f_

,o.oid.i,1ioido1600,16s«

1g。分度（这样在同一张图上同时能展出频率特性音

的低频和高频部分，可在较宽的频率范围内研究

系统的频率特性），故坐标点。不得为0。1到10的距离等于10到100的距离，这

个距离表示10倍频程，用dec表示。

对数幅频特性图纵坐标单位定义为IdB=201g|G（j。）

当|G（j⑹=1时，201g|G（j⑹=048；当|G（j⑹=10时，201g|G（_/（y）|=2048

优点：

①可将串联环节频率特性的乘除运算，转化为Bode图的加减运算；

②系统的Bode图可由各环节的Bode图叠加而成；

③对系统进行近似分析时，只需画出对数幅频特性曲线的渐近线，大大简化了图

形的绘制；

④拓宽了图形所能表示的频率范围；

⑤两系统的频率特性互为倒数时，其对数幅频/相频特性曲线关于横坐标轴对称。

几点说明：

①在波形图中，由于横坐标采用了对数分度，因此。=0不可能在横坐标中表示出

来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定，横坐标一般只标注口的

自然数值；

②在对数频率特性图中，角频率。变化的倍数往往比其变化的数值更有意义。为

此通常采用频率比德概念：频率变化十倍的区间称为一个十倍频程，记为dec；频

率变化两倍的区间称为一个二倍频程，记为。以；

注意到：频率变化十倍时，在对数坐标上时等距的，等于一个单位。

③用L3)=201g|G(汝)|,0(0)=NG(j0)。

4.3.2典型环节的对数坐标图

1、比例环节：

j0

G（ja））=K=Ke」加]gW叫

/GQM

/.A（6J）=K,0⑹=0201gWH

20

201g|G（ico\=20加K..0,0

曰一6,三八,Q0101110100100010sa0.010.1iioi6oi6ooib5七

-20

NG0（y）=0-jr

当改变K时，导致对数幅频曲线升高或降低相应的常值，但不影响相位角。

2、积分环节：G(/<y)=——=-j—=—e]

jo)CDCD

A(69)=—，。(访=——

CD2

・•・201g|G(J^=—20Igo,NG(%)=—90°

当g=1时，L(a))=0；

当6y=10时，L((y)=—20；

当0=100时，L(o)=—40

可看出，积分环节的对数幅频图为一条直线，此

直线的斜率为-20d6/dec,对数相频图为等于

-色的一条直线。

2

若系统中两个积分环节串联，则L3)=T01g/,NG（j0）=-180°

.工

3、微分环节：G(ja))=ja)=/5

/.A(⑼=co,。⑹=-

201g|G（j<y^=201g«y,ZG（jw）=90°

若系统中两个微分环节串联，则L（o）=401go,

ZG（j（p）=180°

可看出，微分环节与积分环节的波特图关于横坐标

对称。

注意：当横纵坐标交叉点变换时，两者数值一定要

与对数幅频特性对应。

4、惯性环节：

((1="订①_1_jarctanT(o

G/y)=/丁⑦+广"苏飞+『"

低频201g|G询

渐近线

A(a>)-i=-arctanTco

yJl+T2a>2

201g|G(j^=-201g71+(y2T2

ZG（j69）=-arctanTeo

。

理论上，此时可采用描点法。当啰：Of8时,一

匹

计算出相应的数值来画图，但工程上常采用近4

匹2

似法画幅频曲线。令叫=L

①低频段：co«（oT,略去To,则20咽6（/。）|2-2031=018,为与横轴重合的

直线，即近似为OdB的水平线，称为低频渐近线；

②高频段：（o»coT,略去1,则201g|G（j3）a—201gT。

当=与—lOcoT时，L（69）=—20；

当/•时，L[a>）-0；

T

当0=华时，L（（y）=-40

即高频段可近似为斜率为-20〃/dec的直线，称为高频渐近线，低频渐近线和高频

渐近线的相交处的频率点物=，，称为转折频率（截止频率），该处

-201g|G（jfyJ=-201gVT+T®—3.0316,ZG（j（y）=-45°□

相频特性；相0）=-arctanTco

当g:0—8时，NG（j①）:0->一］

当0="时，ZG（j（y）=-^

5、一阶微分环节：G（jg）=1+jTco=Vl+T2（y2e>arctanr,B

201g|G（j<yl=201g71+<y2T21,2噢的同

NG（，67）=arctanTa>

分析与惯性环节类似

另注意到一阶微分环节的频率特性与惯

性环节的频率特性互为倒数，根据对数频率特

“NG询

性图的特点，两者的对数幅频曲线关于OdB

匹2

线对称，相频特性曲线关于零度线对称。匹

4

0

由幅频特性曲线可见，一阶微分环节对高

01）110CUT100100010000a）

频信号有较大的放大作用，这意味着系统抑制

噪声能力的下降。

例5.5试证明：若两系统的传递函数满足倒数关系，它们的Bode图关于横坐标轴

对称。

证明：.9（s）=看/（加=册

G（词•…如=卬词:二（词

.•・G(汝)=木,9(起=-/次。)

即20闻GO⑹=-20坨应0⑹

故结论成立。

6、振荡环节：

①低频段：0《以时，略去式中色项，得：20国60砌。-209=0,即低频渐

以

近线为OdB水平线；

②高频段：>>q时，略去式中1和2g2项，得：

以

(\2

201g|G(/(y]«-201g—=-401gty+401g«„

I®J

高频渐近线为斜率为-40〃/dec的直线，两条渐近线的交点为(q,0),即为转折频

实际，当=，时，201g|G（j®^-201g2^

可看出此时精确值与J的大小有关，即J越小，201g|G0sJ越大（0〈约）。

2^—

相频特性：NG（，。）=一arctan-----统方

1-f—

\an）

当0—0时，NG（/（y）-0；

当<y->oo时，NG（/（y）->一乃；

当6y=0时，NG（j<y）=—（■。

同样与J的大小有关，即J越小，曲线斜率变化越明显；J越大，曲线过度频率范

围越宽。

7、延时环节：G（jco）=e-Jm

4.3.3对数坐标图的一般画法

例4.6试证明：若系统的传递函数等于若干环节的传递函数的乘积，其Bode图可

由各环节的Bode图叠加得到。

证明：G（s）=G］（5）-G2（.?）••••Gn（.V）

有G（ja））=G［0访.G?（四）•…Gn（jco）

|G（j叫e5切）=|G（J叫产仙）.陶（J叫产山⑹|G„（同.e，匈的）

可得|G（词=G0叫@（j叫…\G„（㈤,

NG（jG=ZG,（加）+ZG2（/0）+•••+NG”（而

即201g|G(j^=201g|G,(j^+20闻G2M+…+即lg|G“(j⑹

可见系统的对数幅频/相频特性图为各环节对数幅频特性图之叠加。

手工绘制步骤：

1）将传递函数表示为典型环节的串联，各传递函数（常数项化为1）相乘;

2）确定各环节的转折频率，并由小到大标示在对数频率轴上；

3）分别画出各环节的对数幅频特性图、相频曲线；

4）进行叠加。

例4.7绘制系统G（s）=y--------、/60（，+：。）-------^的Bode图。

'）（5+0.2X0.025.V2+5+1000）

解：（1）将传递函数化为尾1形式，求出各转折频率

Js,

3——+1

110

G(s)=

岛+1)(0.0052s2+2xO.lx0.0055+1)

由此看出转折频率分别为0.2,10和200；

2）将频率范围划分为（0,0.2］、［0.2,10］、［10,200］、［200,8）,各频率段的近似对数

幅频曲线方程为：

(0,0.2]：L(«)=201g3«9.54

5.斜率要发生变化，变化的范围取决于典型环节的类型。如遇到惯性环节，斜率

改变一20dB/dec；

最小相位系统和非最小相位系统

有些系统中幅频特性完全相同，但相频特性却不同，则可分为最小相位系统和

非最小相位系统。

1、定义：在复平面右半平面没有零点和极点的传递函数称为最小相位传递函数，

具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统；反之，对应非最小相位系统。

特点：

①不稳定系统均为非最小相位系统；

②稳定系统中包括最小相位系统和非最小相位系统；

③幅频特性相同的稳定系统中，最小相位系统的相位变化范围最小。

例4.8试比较系统G（s）=受n与G,（s）=工土，（0＜刀＜7,）的幅频特性与相频

心5+17^5+1

特性。

解系统G.Q的极点为-工，零

1

G|（J&）=

1+凡0

G2^j（o）=

1+jT2a）

两系统的幅频特性相同：|G。砌=寓（加）Y岩事

两系统的相频特性分别为：ZG）（=arctanTxco-arctanT2co

ZG,（j（y）=-arctanTxa>-arctanT2co

可以看出，系统G/s）的相位变化范围小于系统Gz（s）；且对于任意。值，系统G/s）

的滞后总小于系统G2（s）的滞后。

结论：G（S）="电塔（H>,H）

Vis+-+1）…（小+1）

故相频特性：ZG（j69）=arctanr.arctanTkco

i=lk=\

稳定系统满足（工，…Z>0,最小相位系统满足.,弓…/“>o

有limZG（y\y）=-—,

©->oo2

K，/严

lim201g|G（j69）|=lim201g--------=lim[201gK-20（〃一〃2）但如

<v->a><v->oo（y-xx）"

非最小相位系统：零点中有正有负，设有4个零点分布在复平面右半平面，q个值

为负，有：

limZG（j6J）=—[m—q）--q--n=-—（n-m+2q）

3782222

lim201g|G0（yl=lim[201g/C,-20（n-w）lg（y]

3->811<W->oo

可看出当0