卷04 2021年中考数学（四川达州专用）·4月卷（解析版）

卷42021年中考数学（四川达州专用）•4月卷

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.

考试时间120分钟，满分120分.

第I卷（选择题共30分）

一、单项选择题（每小题3分，共30分）

1.（2021•江西九年级其他模拟）|-3|的值是（）

11

A.-3B.3C.------D.一

33

【答案】B

【分析】

计算绝对值要根据绝对值的定义进行求解.

【详解】

口负数的绝对值等于它的相反数，

□-3的绝对值是3,

故选：B.

【点睛】

本题考查绝对值的求法，根据正数的绝对值是本身、负数的绝对值等于它的相反数求值

即可.

2.（2021•福建三明市•九年级一模）2021年1月1日起，三明市全面铺开市区生活垃圾

分类工作，分门别类打造适合三明实际的生活垃圾分类处置体系.将垃圾分为可回收物、

厨余垃圾（含餐厨垃圾）、有害垃圾、其他垃圾.以下图标是几类垃圾的标志，其中轴

对称图形的是（）

D.

【答案】A

【分析】

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】

解：A、是轴对称图形说法正确，符合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不合题意：

D、不是轴对称图形，故本选项不合题意.

故选：A.

【点睛】

本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后

可重合.

3.（2021・广东九年级一模）下列运算中，正确的是（）

A.2x-x=2B.WSZC.（-a2b3）4=一。叼2D3a刈k

6as

【答案】D

【分析】

根据整式的运算法则计算.

【详解】

解：A、2x-x=x,错误；

B、X6+X2=X（6-2）=X3错误；

C、（-a2b3）4=（-1）4a2*4b3*4=a8b12,错误;

D、3a4«2a=3x2xa4+l=6a5,正确；

故选D.

【点睛】

本题考查整式的运算，熟练掌握单项式的运算法则是解题关键.

4.（2019・当阳市王店初级中学九年级月考）用五块大小相同的小正方体搭成如下图所

示的几何体，这个几何体的主视图是（）

【答案】B

【分析】

试卷第2页，总28页

根据儿何体的三视图依次判断解答.

【详解】

解：该几何体的主视图为:&

左视图为:田

俯视图为:

故选：B.

【点睛】

此题考查几何体的三视图，正确观察图形，掌握三视图的视图角度及画法是解题的关键.

5.(2021•安徽亳州市•九年级一模)某数学兴趣小组为了了解本班学生一周课外阅读的

时间，随机调查5名学生，并将所得数据整理如表：

学生12345

一周课外阅

读时间(小754□8

时)

表中有一个数字被污染后而模糊不清，但曾计算得该组数据的平均数为6,则这组数据

的方差和中位数分别为()

A.2,6B.1.5,4C.2,4D.6,6

【答案】A

【分析】

先由平均数的公式计算出模糊不清的值，再根据中位数和方差的公式计算即可.

【详解】

解：1这组数据的平均数为6,

二模糊不清的数是：6x5-7-5-4-8=6,

将数据重新排列为4、5、6、7、8,

所以这组数据的中位数为6,

则这组数据的方差为,[(7-6)2+(5-6)2+(4-6)2+(6-6)2+(8-6)21

=2；

故选：A.

【点睛】

此题考查了平均数和方差，熟练平均数和方差的计算公式是解题的关键.

6.(2021•安徽合肥市•合肥38中九年级一模)下列计算正确的是()

A.夜+G=6B.屈.-柩=也C.72x712=672

D.用血」逐

4

【答案】B

【分析】

利用二次根式的运算法则进行判断即可.

【详解】

A.0+G，不是同类二次根式，不能合并，原答案错误；

B.瓦-栏=26-6=5正确；

C.yflX-\/i2=>/24=2\[6>原答案错误；

D.,原答案错误；

V22

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了二次根式的运算法则，熟悉相关运算法则是解题的关键.

7.(2021•安徽阜阳市•九年级期中)某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇

环保建设的投入，计划从2018年起到2020年累计投入5250万元，已知2018年投入

1500万元，设投入经费的年平均增长率为X,根据题意，下列所列方程正确的是()

A.1500(1+x)2=5250

B.1500(l+2x)=5250

C.1500+1500x4-1500x2=5250

D.1500+1500(1+x)+1500(1+x)2=5250

【答案】D

【分析】

根据题意分别表示出2019年、2020年的投入进而得出等式；

【详解】

设投入经费的年平均增长率为x,根据题意得：

1500+1500(l+x)+1500(1+x)2=5250；

故选：D.

试卷第4页，总28页

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出每年的投入是解题关键.

8.(2021・武汉外国语学校九年级月考)把所有正奇数从小到大排序，按如下规律分组：

(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),…现有等式

4”=(i,力表示正奇数/„是第i组第j个数(从左往右数),如出=(2,3),则痴=()

A.(6,7)B.(7,8)C.(7,9)D.(6,9)

【答案】C

【分析】

先计算出89是第45个数，然后判断第45个数在第几组，再判断是这一组的第几个数

即可;

【详解】

089是第吃匕=45个数，

2

设89在第〃组，则

1+3+5+7+...+(2n-l)>45,

当”=6时，1+3+5+7+9+11=36；

当〃=7时，1+3+5+7+9+11+13=49；

故第45个数在第7组；；

第49个数为:2x49-1=97,

第7组的第一个数为：2x37-1=73,

第7组一共有：2x7-1=13个数，

(89-73、

贝U89是---+1=9个数，

故A89=(7,9),

故选：C.

【点睛】

本题考查了数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题；

9.(2021•广东九年级其他模拟)如图，在4C5中，」4C5=90。，匚5=30。，。是Z8

的中点，NC=4,动点〃从点N出发沿N5向终点8运动，动点N从点。出发沿折线

ZJC-C4向终点Z运动，两点速度均为每秒1个单位，两点同时出发，当其中一点到

达终点后，运动停止，设运动时间为f(s),的面积为S(平方单位)，则S与f

之间的图象大致为()

A

D

【分析】

在RtE148C中，。为斜边的中点，口8=30。，AC=4fnACB=90°f可得4Q=OC

=DB=AC=4fADC=60°,由M、N两点的速度均为\cm/s,分段列函数关系，当0。合4

无/+26即可.

时，s=—t2;当40S8,AN=8-t,s

44

【详解】

解：在RtD/BC中，。为斜边的中点，□8=30。，/C=4,2ACB=90°,

UAD-=DC=DB=AC=4,QADC^60°,

UM,N两点的速度均为lc〃?/s,

□当09W4时，

QAM=DN=t,过N作MEU/8于E,

S=-AM-NE=-t-tsinZNDE=—t2^

224

V|〉O,对称轴为y轴，开口向上抛物线部分,

=一彳

试卷第6页，总28页

AM

cB

当4EE8,AN=8-t,

S=-AM-NE=-t-(S-tysinZA=--t2+2y/3t

22''4

a=—@<0,开口向下的抛物线部分.

4

由图象可知力正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查抛物线图像，掌握列分段函数关系，根据函数的性质确定图像的形状是解题关

键.

10.（2021•山东省齐河县第三中学九年级月考）如图放置的两个正方形，大正方形N5C7）

边长为a,小正方形CEPG边长为6（＜?＞/＞）,“在5c边上，且及从连接NM,

MEM尸交CG于点P,将U/5M绕点4旋转至NON,将MEF绕点F旋转至NGF,

A2

给出以下五个结论：3｛：\MAD='JAND^QCP=b-—；DUABMQaNGF；匚5四边彩

a

AMFy^+h2；DA,M,P,。四点共圆，其中正确的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】

口根据正方形的性质得到BAD=QADC=B=90°,根据旋转的性质得到

□NAD=1BAM,「AND=「AMB,根据余角的性质得到

□DAM+DNAD=□AND+JNAD=90°,等量代换得至l」（JDAM=；JAND,故U正确；

口根据正方形的性质得到PC//EF,根据相似三角形的性质得到CP=b-—；故口正确；

a

口根据旋转的性质得到GN=ME,等量代换得到AB=ME=NG,根据全等三角形的判定

定理得到ElABMEiEINGF；故□正确；

口由旋转的性质得到AM=AN,NF=MF,根据全等三角形的性质得到AM=NF,推出四

边形AMFN是矩形，根据余角性质得出UNANlMgO。，推出四边形AMFN是正方形，于

是得到S四边彩AMFN=AM2=a2+b2；故口正确；

□根据正方形的性质得到口AMP：%。，□ADP=90。，得至ij匚ABP+E3ADP=18O。，于是推

出A,M,P,D四点共圆，故匚正确；

【详解】

□□四边形ABCD是正方形，

□□BAD=□ADC=CB=90°,

□□BAM+rDAM=90°,

□将EIABM绕点A旋转至EIAND,

□□NAD=DBAM,JAND=LAMB,

□□DAM+DNAD=nAND+aNAD=90°,

□□DAM=OAND,故□正确；

□□四边形CEFG是正方形，

□PCDEF,

□□MPC匚匚MFE,

PCCM

u—=-----，

EFME

试卷第8页，总28页

□大正方形ABCD边长为a,小正方形CEFG边长为b(a>b),BM=b,

□EF=b,CM=a-b,ME=(a-b)+b=a,

PCa-b

LJ——=---,

ba

OCP=h--,

a

故口正确；

□□将「【MEF绕点F旋转至NGF,

□GN=ME,

□AB=a,ME=a,

□AB=ME=NG,

在「ABM与「NGF中，

AB=NG=a

<NB=NNGF=90。,

GF=BM=b

□□ABMDDNGF；

故U正确；

□□将UABM绕点A旋转至LAND,

□AM=AN,

□将DMEF绕点F旋转至DNGF,

□NF=MF,

□□ABMQnNGF,

□AM=NF,

□四边形AMFN是矩形，

□□BAM=DNAD,

□□BAM+DDAM=nNAD+DDAN=90°,

□□NAM=90°,

□四边形AMFN是正方形，

□在Rt匚ABM中，a2+b2=AM2,

□S四边形AMFN=AM2=a2+b2；故U正确；

□□四边形AMFN是正方形，

□□AMP=90。，

□□ADP=90。,

□□ABP+ADP=180°,

□A,M,P,D四点共圆，故口正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了四点共圆，全等三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质，正方形的性

质旋转的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键.

第IJ卷（非选择题共90分）

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.（2021•河南九年级二模）据报道,郑州市私家车拥有量近4500000辆,将数据4500000

用科学记数法表示为.

【答案】4.5X106

【分析】

根据科学记数法的表示求解即可；

【详解】

4500000=4.5x106；

故答案是4.5x106.

【点睛】

本题主要考查了科学记数法的表示，准确计算是解题的关键.

12.（2021•山东济南市•九年级一模）分别标有数0,-2,1,3,-1的五张卡片，除数

字不同外其它均相同，从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率是.

【答案】|

【分析】

五张卡片上的数字有2个负数，3个非负数，根据概率公式解题即可.

【详解】

解：根据题意得，

抽到负数的概率是：

故答案为：—.

【点睛】

本题考查简单概率的计算，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

13.（2020•深圳市罗湖区翠园初级中学九年级一模）在平面直角坐标系中，点（a-3,

试卷第10页，总28页

2a+l）在第二象限内，则a的取值范围是.

【答案】—《<aV3.

【分析】

根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可.

【详解】

解：口点P（a-3,a+1）在第二象限，

a—3<0

，

2。+1>0

解不等式a—3<0得，a<3,

解不等式2a+l>0得，a>,

2

1

□--<a<3.

2

故答案为：<a<3.

2

【点睛】

本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符

号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）；第二象限（-,+）；

第三象限（-,-）；第四象限（+,-）.

14.（2021•陕西西安市•九年级一模）如图，在平行四边形ABC。中，NABC=45。，

BC=8,其高AG=2,沿虚线EF将纸片剪成两个面积相等的部分，若NGEF=30°,

则AF的长为.

【答案】3-V3

【分析】

根据三角函数的知识得出BG,HE,进而利用梯形的性质解答即可.

【详解】

解：如图，过尸作切于，，

UFHUBC,□B£F=30°,

□EH=25

□沿虚线所将纸片剪成两个全等的梯形，

\^AF=CE,

口4G匚8C,FHQBC,

口4G匚尸”，

□AG=FH,

口四边形4G“/是矩形，

口4F=GH,

□BC=BG+GH+HE+CE=2+2AF+2g=8,

□A/=3-6，

故答案为：3—•

【点睛】

此题考查梯形的性质，关键是根据三角函数的知识得出BG,HE解答.

15.(2021•陕西西安市•九年级一模)如图，直线N5分别与反比例函数y=&(A#))

X

和7=2的图象交于4点和B点，与7轴交于尸点，且尸为线段45的中点，作/CUx

x

轴于。点，轴于。点，若四边形45OC的面积是8,则〃的值为.

【分析】

试卷第12页，总28页

k5

由已知条件得到力比尸。UB。，推出OC=OD,设%（-如——）,B（〃?，—）,得

mm

k5

至IJ%C=--,BD=工，CD=2m,根据梯形的面积公式即可得到结论.

tnm

【详解】

解：aJCQxtt,BDLJx轴,

□zcnpo匚5。，

□P为线段25的中点，

□OC=OD,

、.k5

设力（-加，---）,B3n,—）,

mm

k5

QAC=——,BD=—，CD=2m,

mm

ik5

口四边形为8DC的面积=—x2加x（——+—）=8,

2mm

Qk=-3,

故答案为：-3.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象与性质，解题关键是通过设点的坐标表示线段长，根据题意

列出方程.

16.（2021•安徽合肥市・合肥38中九年级一模）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直

线1分别与函数y=-f+4x+5的图象在x轴上方部分和函数y=-9+3的图象交于

N、B两点，与X轴交于点C,设点C的坐标为（/«,0）,若AB=5BC,则m的值为.

【答案】2

【分析】

根据C的坐标，根据题意表示出4、B的坐标，由AB=5BC即可得到关于m的方程，解

得即可.

【详解】

解：如图,

□点C的坐标为（〃?，0）,

□点Z(m,-m2+4m+5),点、B(m,--MI+3)；

4

当6点在x轴的上方时，

QAB=5BC,

3313

□（-w2+4/n+5H—w-3）=5（-—w+3）,解得加=2,mr=一（舍去）；

442

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标，根据题

意列出关于m的方程是解题的关键.

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72

分）

17.（5分）（2021•山东济南市•九年级一模）（-l）4+|x/l2-l|-tan60°+f->|.

【答案】V3+2

【分析】

利用乘方的性质、二次根式的化简、绝对值的性质、特殊角的三角函数值以及负指数基

分别化简得出答案.

【详解】

解:（-1）4+|V12-l|-r^60o+-

=1+273-1-73+2

=73+2

【点睛】

此题主要考查了乘方的性质、二次根式的化简、绝对值的性质、特殊角的三角函数值以

及负指数累的运算，正确化简各数是解题关键.

18.（7分）（2021•江西九年级一模）先化简，再求值：（一二十1幺）其

6Z-1\-aa-1

中”=夜-1

【答案】-（a+1）,-V2

【分析】

试卷第14页，总28页

首先根据分式的运算法则化简，再把字母的值代入即可得解.

【详解】

解：原式=竺1幺X巴二1

——a〉:（"l）（a+l）

a-1a

=-（a+l）,

□当a=0—1时，

原式=-、口.

【点睛】

本题考查分式的化简与求值，根据分式运算法则对分式进行正确化简是解题关键.

19.（7分）（2021•江西九年级其他模拟）2020年中考阅卷期间，某教师对某省中考数

学试卷中一道概率题的得分情况进行了统计分析.他随机记录了部分学生的得分情况,

并绘制了两幅统计图表（表和图）.

试根据图表中的信息解答下列问题.

得分人数统计百分比/%

0a40

12

23

32b

410

58

6275C

（1）该次分析统计中，样本的总体个数是;

（2）上述人数统计表中，a的值为,〃的值为,c的值为;

（3）在扇形统计图中，圆心角a的度数为,的度数为;

（4）2020年中考，该省约有49万学生参加，试估计该省此题得6分的学生共有多少

人？

【答案】(1)500；(2)200,0.4,55；(3)144°,198°；(4)26.95万

【分析】

(1)先求出1-5分的总人数，再根据此种情况在扇形统计图中占18。即可得出总人数；

(2)根据得0分的人数占40%可得出。的值，再由3分的人数求出6的值，同理得出

c的值；

(3)根据得0分与得6分人数所占的百分比即可得出结论；

(4)根据得0分人数的百分比可得出结论.

【详解】

解：□2+3+2+10+8=25,

18°

□25-----=500.

360°

故答案为：500；

(2)口得0分的人数占40%,

□a=40%x500=200；

□得3分的人数有2人，

0ft%=-x100%==0.4%,即6=0.4；

500

□得6分的有275人，

275

□c=——xioo=55.

500

故答案为：200,0.4,55；

(3)a=40%x360°=144°,£=55%'360=198°.

故答案为：144。，198。；

(4)因为49*55%=26.95,

所以估计2020年中考全省概率题得0分的学生共有26.95万.

【点睛】

本题考查的是扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表

试卷第16页，总28页

示各部分数量占总数的百分数，通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量与总数

之间的关系，用整个圆的面积表示总数（单位1）,用圆的扇形面积表示各部分占总数

的百分数.

20.（7分）（2021•广东九年级一模）如图，已知口45（7,匚A4C=90。，

（1）尺规作图：作45c的平分线交NC于。点（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若U8=60。，求证：DC=DB.

【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解.

【分析】

（1）根据角平分线的作法求出角平分线80

（2）证明UC=UC8D=30。，问题得证.

【详解】

（1）解：如图，以8为圆心，以任意长为半径画弧，交AB、C8于点尸、E,分别以反

尸为半径，以大于gEF长为半径画弧，两弧交于点P,作射线8尸，交力C于点。，射

线8。即为所求角平分线；

(2)□□5=60°,8。平分E1/8C,

1

QUCBD=-UABC=30°,

2

LILJA4c=90。，□5=60°,

□□C=30。，

□□C=UCBD,

口DC=DB.

【点睛】

本题考查尺规作图-做已知角的平分线，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练

掌握基本作图，属于中考常考题型.

21.（8分）（2021•九龙坡区•重庆市育才中学九年级一模）某环保公司研发了甲、乙两

种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料.某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种

智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，

购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元.

（1）求甲、乙两种智能设备单价；

（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售.已知每吨燃料棒的成本为

100元.调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价

每降低1元，平均每天可多售出5吨.垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天

达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%,求每吨燃料棒售

价应为多少元？

【答案】（1）甲设备60万元/台，乙设备80万元/台；（2）188元

【分析】

（1）设甲智能设备单价x万元，则乙单价为（14-x）万元，利用购买的两种设备数量

相同，列出分式方程求解即可；

（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，根据题意列出方程，求解后根据降价幅

度不超过8%,即可得出售价.

【详解】

解：（1）设甲智能设备单价x万元，则乙单价为（14-x）万元，

360480

由题意得:

x-140-x

解得：x=60,

经检验x=60是方程的解，

Ux=60,140-x=80,

答：甲设备60万元/台，乙设备80万元/台；

（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，

由题意得：（200-y-\00）（350+5y）=36080,

解得：Ji—12,y2=18,

□y<200x8%,即y<16,

Qy=i2,200-^=188,

试卷第18页，总28页

答：每吨燃料棒售价应为188元.

【点睛】

本题考查了分式方程、一元二次方程的实际应用；根据题意列出方程是本题的关键.

22.(8分)(2021•陕西西安市•九年级一模)如图，N8是口。的直径，点C是口。上一

点，过点C作口。的切线交45的延长线于点〃，过点。作OELX。交ZC的延长线于

点E.

(1)求证：DC=DE；

(2)若BD=1,DE=3,求口0的半径.

【答案】(1)见解析；(2)4

【分析】

(1)根据切线的性质和三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质即可得到结论;

(2)证明「8。。口口。。，由相似三角形的性质得出?=孕，则可得出答案.

【详解】

(1)证明：连接8C,OC,

□CO是口。的切线，

nocucD,

QQOCB+aDCB=90°,

U/8是L。的直径，

□□/CB=90。，

UUACO+QOCB=90°,

QQACO=QDCB,

QOA=OC,

UDA=LACOf

□□4=匚。。5,

UDE\JAD9

□□%+□£1=□%+UABC=90°,

□□48C=匚M

□V\ABC=□CDB+QDCB,□OCE=EM+DC09

QQDCE=nABC9

□□OCE=」E,

GCD=DE；

（2）解：□匚5CQ=EM,QCDB=UADC,

n^BCDJUCAD,

CDBD

------------,

ADCD

口BD=1,DC=DE=3,

31

I_1-----——,

AD3

□40=9,

QAB=AD-BD=Sf

□□O的半径为4.

【点睛】

本题考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质，解题关键是恰当连接辅助线，通过

导角和证明相似解决问题.

23.（8分）（2020•四川眉山市•九年级期中）四川移动为了提升新型冠状肺炎“停课不停

学''期间某片区网络信号，保证广大师生网络授课、听课的质量，临时在坡度为/=1：

2.4的山坡上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9

米.同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌

MN.当太阳光线与水平线成53。角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长

为3米，求信号塔PQ的高.（结果精确到十分位，参考数据：sin53ro.8,cos53K

0.6,tan53%1.3,i=l：2.4=5：12）

试卷第20页，总28页

【答案】信号塔尸0的高为11.9米

【分析】

直接根据己知构造直角三角形利用坡度的定义得出0G的长，再利用锐角三角函数关系

得出PF的长，进而得出答案.

【详解】

解：过点E作E尸□尸0于点F,延长产。交瓦I于点G,可得0G口胡，

□0/=3.9"?,QG：AG=1：2.4,

U设。G=x,则NG=2.4x,

□x2+(2.4x)2=3.92,

解得：x=1.5,

则NG=2.4x=3.6,

□EF=NG=3.6+4.4=8(〃？)，

PFPF

故tan53°=-----,------=1.3,

EF8

解得：PF=10.4(w),

UFQ=EN-QG=3-1.5=1.5(〃?)，

OP0=10.4+1.5=11.9(m).

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出EF的长是解题关键.

24.(10分)(2021•江西九年级一模)定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和

等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”.

（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是.

（2）如图1,在“完美四边形中，AB=AD=CD=2,BC=~,AC=3,求线

2

段BD的长.

（3）如图2,口。内接四边形EFGv,GE为n0的直径.

U求证：四边形EFG”为"完美四边形”.

口若E尸=6,尸G=8,尸//是否存在一个值使四边形EFG”的面积最大？若存在，求出

M的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）正方形、矩形：（2）3；（3）存在，7啦.

【分析】

（1）依次判断正方形、矩形、菱形是否满足定义条件即可；

（2）根据“完美四边形”的定义，得到边和对角线之间的关系式，代入数据运算即可求

解；

（3）□做辅助线构造出两组相似三角形，得到四边形的边和对角线之间的关系，再利

用等式的性质代换即可得到所需条件，进而得以求证；

口将四边形分成两部分，一部分是AGEF,得到它的面积为定值，另一部分为AGE”,

它的面积随H点位置的变化而变化，当H点到GE的垂线段就是半径时为最大，此时

\GEH的面积也最大，从而整个四边形的面积就最大：再利用勾股定理和“完美四边形”

的定义等进行求解即可.

【详解】

解：（1）正方形、矩形

理由如下：口如图，设正方形边长为防

□对角线长为斯了=疡=缶，

所以对角线的积为（夜=2a2,

22

因为两组对边的积的和为/+a=2a，

□正方形为'‘完美四边形

试卷第22页，总28页

□如图，设矩形的两邻边长分别为b和c,

口矩形的对角线长为后y,

口矩形的对角线长相等，

口矩形对角线的积为从=b2+C2,

又□矩形对边的积分别为从和,2,

则对边积的和为。2+

口矩形为“完美四边形

□如图，设菱形的两条对角线长的一半分别为m和n,

口菱形的边长为47工F，

□菱形的四条边相等，

口菱形的对边的积的和为+(J/+〃2)一=2^2+2〃2,

□菱形的对角线的积为2m•2n=4mn,

令2m2+2n2=4mn，

LIm=n

口只有当相=〃时，该菱形才为“完美四边形”，

当机片〃时，则它不是“完美四边形”，

□菱形不是“完美四边形

综上可知：只有正方形和矩形是“完美四边形

D

(2)由“完美四边形”的定义可知：2x2+2x3=38。,

2

UBD=3.

(3)」如图，在GE上取一点M,使UGFM=LJHFE,

□□FGM=FHE(同弧所对的圆周角相等)，

0\FGM匚XFHE

FGGM

--------------

FHHE

QFGHE^FHGM,

□□GFM=：HFE,

□□GFH=CMFE,

XOUGHF=UMEF,

□\GHFU\MEF,

GHHF

----=----，

MEFE

□GHFE=FHME,

□GH•FE+FG-HE=FH-ME+FH•GM=FH(ME+GM)=FH•GE

□四边形EFGH为“完美四边形”.

口存在；

理由：如下面图口，DGE是直径，

□□EFG=90°,

°GE=>/62+82=101AGEF的面积为gx6x8=24

□要使四边形GFEH面积最大，则只需AGE”面积最大，

作HNDGE,垂足为N,

则HN的值最大时，AGE”面积就最大，

因为H点到直径DE的垂线段的长最大为半径，即垂足N点在原点时最大;

如下面图U,当。点与N点重合时，

由GE是直径，

□□GHE=90°,

□HN垂直平分GE,

UHG=HE,

DGE2=GH2+HE2

试卷第24页，总28页

□HG=HE=枭=5立;

由它是“完美四边形”,

□10/7/=6x572+8x572

口FH=7叵，

口存在，当FH=7尬忖,面积最大.

【点睛】

本题为新定义型试题，综合考查了圆、相似、勾股定理、四边形等内容，考查了学生对

相关概念的理解与应用，本题属于压轴题，其中作辅助线是一个难点，对学生的综合分

析与知识点运用的能力有着十分高的要求，本题蕴含了数形结合等思想.

25.（12分）（2021•佛山市南海区桂城街道映月中学九年级月考）已知，如图抛物线

丁=口？+3以+《。＞0）与y轴交于点C,与X轴交于A,B两点,点A在点3左

侧.点3的坐标为（1,0）,OC=3OB.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点。是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形A8CO面积的最大值;

(3)若点E在x轴上，点尸在抛物线上.是否存在以A,C,E,尸为顶点且以AC

为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)抛物线的解析式为尸|^2+**3.(2)?.⑶尸(3,-3),上(,

3),尸3(-3+1,3).

2

【分析】

(1)根据0c=308,8(1,0),求出C点坐标(0,-3),把点B,C的坐标代入尸aN+2〃x+c,

求出a点坐标即可求出函数解析式；

39

(2)过点。作。EDy轴分别交线段/C于点E.设。(°,-a2+-a-3),然后求出。E

44

的表达式，把SIWLCO分解为S"C+S“C0,转化