黑龙江省哈尔滨某中学2022-2023学年高二年级上册学期开学考试数学试题含答案

哈师大附中2021级高二上学期开学数学试题

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.在复平面内，复数Z∕,Z2所对应的点关于虚轴对称，若Z]=l+2i,则复数Z2=（）

A.-1+21

B.-1-2i

C.1-2i

D.2+i

2.如图，水平放置的∕∖ABC的斜二测直观图为△/8'C,已知A6=B'0'=

CO'=1,则AABC的周长为（）

A.6

B.8

C.2+2/5

D.4/5

3.已知在△4笈中，a=x,b=2,B=3。，若三角形有两解，则X的取值范围是（）

A.x>2

B.O<x<2

C.2<x<3

D.2<x<4

4.为庆祝中国共产党成立IOO周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色

革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲

采用分层抽样法组建一个36人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（）

A.10人

B.12人

C.14人

D.16人

5.已知向量a,^b满足∖a∖=3,∣Λ∣=4,且N与I反向，则值+缶）.6=（）

A.36

B.48

C.57

D.64

6.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a",c,月.a=LB=45,其面积为2,

则448C的外接圆的直径为（）

A.4y[2

B.5/2

C.4

D.5

7.某圆锥的母线长为2,侧面积为2π,则其体积为（）

A,予

B.y[2π

V3

Cr・-7%r

D.y[3π

8.从2名男生和2名女生中选2人参加校庆汇报演出，则选到一男一女的概率为（）

9.已知四面体ABCD的所有棱长都相等，其外接球的体积等于y[6π,则下列结论正确的

个数为()

①四面体ABCD的棱长均为2:

②四面体ABCD的体积等于当;

③异面直线AC与BD所成角为60；

A.O

B.1

C.2

D.3

10.已知p是边长为2的正三角形ABC的边函上的一点，则AP-AB的取值范围是

()

A.[2,6\

B.[24

C.(2,4)

D.(0,4)

11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,必4分别是棱BC,CC1的中点，动点尸在正

方形BCC1B1(包括边界)内运动，若PA1//面AMN,则线段PA1的长度范围是()

ɔl

A.[2,<o∖

B.[2,3∖

ry∖3>[2Λ

12.在等腰XABC中，AB=AC,若4C边上的中线BD的长为3,则丛ABC的面积的

最大值是（）

A.6

B.12

C.18

D.24

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知平面向量在了满足同=/,朴=2,1∙G-Z）=0,则2,7的夹角

为.

14.已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：14,30,37,a,41,52,53,55,58,80-

乙组：17,22,32,b,45,47,51,59.若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则

a-b等于.

15.设△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,则下列命题正确的有.

①.若/+*-ab<c2,则0<c<5

②.若ab〉c2,则0<C<?

③.若a+b>2c,则0<C,<j

④.若a4+b4c4,则0<C<］

16.已知正三棱雉P-4%侧棱长为1,&QWIW3,底面边长为2,则P-ABC外

接球表面的最小值为.

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10分).

树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，

已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进

展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1

组［/5,25),第2组［25,35),第3组135,45)，第4组［45,55),第5组［55,65］,

得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求样本中第3组人数；

(2)根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的平均数；

(3)若从年龄在［/5,35)的人中随机抽取两位，求至少有一人的年龄在［15,25)内的概

率.

18.(本小题12分).

在Z∖47C中，内角A,qC所对的边分别是a,b,c,已知F+c2=a2+be.

(I)求角A的大小；

(II)若a=2,求26-c的取值范围.

19.(本小题12分).

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,△//C的面积为2y[2.

(1)求A到平面A1BC的距离；

(2)设〃为A1C的中点，AA1=AB,平面A1BCL平面ABB1Ah求二面角A-BD

-C的正弦值.20.(本小题12分).

甲、乙，丙三个同学做同一道数学题，且他们能否解答正确该题互不影响.已知甲解答正确

的概率为0,乙解答正确的概率为加，丙解答正确的概率为0.7,甲、乙二人中至少有一人解答

正确的概率为0.88.

(1)若P=〃瓦求甲，乙二人中至多有一人解答正确的概率；

(2)若R=勿，求甲，乙、丙三人中恰有两人解答正确的概率.

21.(本小题12分).

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2a∙cosB=2c-b.

(1)求角A的大小；

(2)若a=3y[3,求△面积的最大值.

22.(本小题12分).

如图，在平行四边形/6切中，AB=BC=2,/ABC=j四边形力侬'为矩形，平面

4

ACEFV平面ABCD,AF=1,点M在线段EF上运动.

(1)当4∙J,0V时，求点"的位置；

(2)在(1)的条件下，求平面.「监C与平面以力所成锐二面角的余弦值.

哈师大附中2021级高二上学期开学数学试题答案

题I23456789101112

号

答ACDCABCACBDA

案

二、13.y14.815.@@@16.ʃ

三、解答题（解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

17.解：（I）由频率分布直方图进行数据分析可得：

（O.OI+O.O15+σ+O.O3+O.OI）×I0=l,解得：a=0.035.

所以样本中第3组人数为：0.035X10X20=7：

（2）由频率分布宜方图进行数据分析可得：

样本数据的平均数为20X0.01XI0+30×0,0l5×10+40×0.035×10+50×0.03×10+60×

0.01X10=41.5：

（3）记事件/：至少有一人的年龄在［15,25）内，

年龄在［15,25）的有2人，设为α,b：年龄在［25,35）的有3人，设为I、2、3：

从5人中任选2人，有：ab、al、。2、，3、bl、方2、63、12、13、23共10种情况.

至少有一人的年龄在口5,25）内包括：ab.a∖＞。2、。3、bl、62、63共7种情况.

故所求概率为：ɪ.

18.

(I)cosA=b2+c2~02∙∙∕w(0,").∙.∕=C

IbcIbc23

(II)V/I=ɪ,α=2,

bCa4

由正弦定理，-T=,~~~T=

sinBSinfCsinA√3

试卷第5页，共5页

44

b=忑SinB,C=耳SinC,

.∙.lb-c-2(2Sin8—SinC)=去(2Sin(4+C)-sinC),

=-^(2sin∕l∞sC+2cos∕lsinC-sinC}=4cosC:

又8+C=红，故0<C<红，.∙.--!-<cosC<l,

332

2b-ce(-2,4).

19.解：⑴由直三棱柱/8C-//6的体积为4,可得小-的=》”£-收=等,

OJ

设/1到平面4BC的距离为d,由FA1-AK=JZA-A1BC.

.∙.⅛∆A1BC.rf=-l,.∙l×2√2∙t∕=4.解得d=√5.

(2)连接力以交小8于点£∙.∙44∣=∕13,・•・四边形为正方形，

：,AB\A-A\B,又・・•平面/1/UL平面∕55p4∣,平面Crl平面/88Ml=小8,

平面小SC,Λ∕fβ∣±BC,

由直三棱柱力BC-小BQ知88∣J_平面480：.BBxLBC,又ABlCBBι=B∖,

・・・BC_L平面∕88∣4∣,工BCL4B,

以6为坐标原点，BC,BA,8场所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

•：AA\=AB,ΛBC×√2><β×--=2√2.又∙^∕8X5CX∕U∣=4,解得/8=5C=A4∣=2,

则8(0,0,0),/(0,2.0),C(2,0,0),A∖(0,2,2),D(1,1.1),

则面ζ二(0,2,0),BD=(1,1.I),BC=(2,0,0),

设平面480的一个法向量为；=(x,ʃ,二)，

πlfn∙BA=2y=0ʌ

则，T一，令X=L则y=0,r=-I,

(n∙BD=x÷y+z=0

・•・平面的一个法向量为W=(I.0.-1),

设平面BCO的一个法向量为，=(α,b,c),

试卷第6页，共5页

m∙BC=2a=0ʌ,,,C

T__»,令6=1,则rιlα=O,c=-l,

m∙BD=a+b+c=O

平面BCO的一个法向量为7=(0，1，7)，

一一11

ci介=不归=万，^________

二面角A-BD-C的正弦值为JI-(W∙)2=哼.

20.

⑴解：设A为“甲解答正确“，5为"乙解答正确"，C为"丙解答正确”,且A、B、C相互独

立，

“甲、乙二人都解答正确"为事件"43","甲、乙二人都解答错误”为事件":而"，

所以0.88=1-叩诟)=1-[1-尸⑷]∙[1-尸(叨,

即0.88=1-(1-0.5)(1-m)，解得机=0.76,

所以甲、乙二人中至多有一人解答正确的概率P=I-尸(彳B)=I-0∙5χ0.76=0∙62.

(2)

解：由(1)知l-(l-p)∙(l-⑼=0.88且m=2p,解得]；:：：，

即尸(4)=0.8、P(B)=O.4,XP(C)=0.7,

设甲、乙、丙三人中恰有两人解答正确为事件Q,

则P(Z))=O.8X0.4X(1-0.7)+0.7X0.4X(-0.8)+0.8χ0.7χ(-0.4)=0.488.

21.

⑴

在48C中，J+B+C=Λ∙,

由题意及正弦定理得2sin∕∙cos8=2sinC-sin8,

2sinJ∙∞sβ=2sin(J+B)-sinB,

试卷第7页，共5页

.*.2sinJ∙cosβ=2sinJ∙cosB+2cosJ∙sinB-sinB，

：.2cosJ∙sinB=sinB,

又VsinB≠0,・，.cos/=L

2

又∙.∙4W(0,Λ^),,/I=?.

(2)

'∙,a=3-73，月=9，

：・由余弦定理得cosA=b一"=ɪ，

2bc2

即6+c：-27=L化简/+/=bc+27≥2ftc,

2bc2

故6c≤27(当且仅当b=c=3√J时取号)，

：∙SAABC=LbC∙sin?l≤-×27×--=”式.

A皿2224

---4BC面积的最大值为2姐.

4

22.

22

(A)解：；AB=丘，AD=BC=2,ZJBC=?".Ac=JAB+BC-2ABBCcosΛABC'=yfl»

ʌAB-+AC2=BC2，，^BAC=90o,.∙.AB_L4C,又力尸_L4C,又平面ACEFJ_平面ABCD,

平面力。EFn平面/BCD=/C,/歹U平面力。£/，.∙.//J,平面4