黑龙江省大庆市2021年中考数学真题卷（含答案与解析）

大庆市2021年初中毕业升学试题

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答

题卡指定位置。

2.答题时，选择题答案，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答案，用

0.5毫米黑色墨水签字笔，直接写在答题卡上对应的答题区域内。答案答在试题卷上无效。

3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请将正确选项的序母填涂在答题卡上）

1

1.在乃，：，-3,4—这四个数中，整数是（）

27

4

D.

7

3.北京故宫的占地面积约为720000m2,将720000用科学记数法表示为（）.

A.72x104B.7.2xl05C.7.2x106D.0.72x106

4.下列说法正确的是（）

A\x\＜xB.若|x—l|+2取最小值，则％=0

C.若则IxKlylD.若|x+l区0,则％=—1

则分式f与f里的大小关系是（）

5.已知〃＞。＞0,

bb+l

aa+1aa+1aa+\

A.—<------B.-=--C.—D.不能确定

bb+\b8+lbb+\

6.已知反比例函数〉=A，当x<0时，》随x的增大而减小，那么一次的数y=-依+Z的图像经过第（）

x

A.—,二，三象限B.—,二，四象限

C.一，三，四象限D.二，三，四象限

7.一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数

字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（）

8.如图，尸是线段CO上除端点外的一点，将AAOF■绕正方形A8CD的顶点A顺时针旋转90°,得到

△ABE.连接EF交AB于点，.下列结论正确的是（）

A.ZE4F=120°B.AE:EF=l：y/3C.AF1=EH-EFD.EB:AD=EH:HF

9.小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出2019年的总支出增加了2成，则下列

说法正确的是（）

2020年总支出情况

A.2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍；

B.2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%；

C.2020年总支出比2019年总支出增加了2%；

D.2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同.

10.已知函数丁=分2一则下列说法不正确的个数是（）

①若该函数图像与X轴只有一个交点，则4=1

②方程办2-（。+1）%+1=0至少有一个整数根

③若L<X<1,则>=公2-（。+1）%+1的函数值都是负数

④不存在实数。，使得公之一（a+1）x+1<0对任意实数x都成立

A.0B.1C.2D.3

二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填

写在答题卡相应位置上）

7（-2）4=--------

12.已知以，％0,则上=________

234yz

13.一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2.高是5c〃z.如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm的圆

锥，则这个圆锥的底面积是cm2

14.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20

条直线两两相交最多有个交点

15.三个数3,-2。在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则。的取值范

围为______

16.如图，作的任意一条直经FC,分别以KC为圆心，以F0的长为半径作弧，与相交于点EA

和B,顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,得到六边形ABCDEF,则Q0的面积与阴影区域的面积

的比值为______；

17.某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为:三人间150元/间，双人间140元/间.为

吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人

间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人

间普通客房和双人间普通客房共间；

18.已知，如图1,若AO是AAHC中N8AC的内角平分线，通过证明可得空=处，同理，若AE是

ACCD

△A8C中NfiAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质.请你根据上述信息，求解如下问题：如图2,

在AABC中，8。=2,。。=3,4。是446。的内角平分线，则△入、3c的8C边上的中线长/的取值范围

是

图1图2

三.解答题(本大题共10小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解有时应写出文字说

明，证明过程或演算步骤)

19.计算出一2|+2sin45o_(-l)2

20.先因式分解，再计算求值：21—8x，其中x=3.

x5

21.解方程:------1----=--4

2x—33—2x

22.小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45。方向行走到达B点测得C点在

3点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达。点，测得C点在。点的北偏东22.5°方向，求

AC两点之间的距离.(结果保留0.1km,参数数据力31.732)

23.如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中(圆柱形实心铁

块的下底面完全落在乙槽底面上)，现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度y(cm)与

注水时间x(min)之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：

（1）图②中折线E0C表示槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段AB表示

槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为.cm.

（2）注入多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）

24.如图，在平行四边形A3CO中，他=3,点£为线段的三等分点（靠近点A）,点尸为线段CO的

三等分点（靠近点。，且CE_LA6.将ABCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G,且OC=OG.

（1）证明：四边形AEC尸为矩形；

（2）求四边形AECG的面积.

25.某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均

为整数，单位：分）如下：

甲：92,95,96,88,92,98,99,100

乙：100,87,92,93,9・，95,97,98

由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清,

(1)求甲成绩的平均数和中位数；

(2)求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；

(3)当甲成绩平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛.

4

26.如图，一次函数丫=依+6的图象与N轴的正半轴交于点A,与反比例函数y=—的图像交于P,。两

x

点.以为边作正方形ABC。，点5落在x轴的负半轴上，已知ABOD的面积与AAOB的面积之比为

1:4.

(1)求一次函数y=Ax+b表达式：

(2)求点尸的坐标及△CPD外接圆半径的长.

27.如图，已知AB是QO的直径.BC是OO的弦，弦皮)垂直AB于点F，交8C于点G.过点C作OO

的切线交EO的延长线于点P

(1)求证：PC=PG；

（2）判断PG2=PZ>PE是否成立？若成立，请证明该结论；

（3）若G为8C中点，0G=也,sinB=—.求OE的长.

5

28.如图,抛物线,=℃2+。彳+。与彳轴交于除原点。和点A,且其顶点8关于x轴对称点坐标为（2,1）.

到直线y=-2的距离总相等.

①证明上述结论并求出点F的坐标；

②过点F的直线/与抛物线y=or2+〃x+c交于M,N两点.证明：当直线/绕点尸旋转时，「一+「一是

MFNF

定值，并求出该定值；

（3）点。（3,加）是该抛物线上的一点，在X轴，y轴上分别找点P,Q,使四边形PQBC周长最小，直接

写出P,Q的坐标.

参考答案

一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请将正确选项的序母填涂在答题卡上）

14

1.在%，：，-3,—这四个数中，整数是（）

27

14

A.乃B.—C.-3D.-

27

【答案】C

【解析】

【分析】根据整数分为正整数、0、负整数，由此即可求解.

【详解】解：选项4%是无理数，不符合题意：

选项B：^是分数，不符合题意；

选项C-3是负整数，符合题意;

4

选项6一是分数，不符合题意；

7

故选：C.

【点睛】本题考查了有理数的定义，熟练掌握整数分为正整数、0、负整数是解决本题的关键.

2.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）

【答案】A

【解析】

【详解】分析：根据中心对称图形的定义旋转180。后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对

称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形,

这条直线叫做对称轴，即可判断出答案.

详解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；

B、此图形不中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误：

D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误.

故选A.

点睛：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴.

3.北京故宫的占地面积约为720000,序，将720000用科学记数法表示为（）.

A.72x104B.7.2x105C.7.2x106D.0.72x106

【答案】B

【解析】

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为axion,其中l<|a|<10,n为整数,据此判断即可.

【详解】解：将720000用科学记数法表示为7.2x105.

故选B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axl(r的形式，其中lW|a|<10,n为整

数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.下列说法正确的是()

A.|x|<xB.若—取最小值，则x=0

C.若x>l>y>-l,则D.若|x+l区0,则x=-l

【答案】D

【解析】

【分析】根据绝对值的定义和绝对值的非负性逐一分析判定即可.

【详解】解：A.当x=0时，|x|=x,故该项错误；

B.•.•上一1,0,.•.当x=l时|x—1|+2取最小值，故该项错误：

C.•.•xAlAy〉—1,•♦.国>1，2|<1，二以日川，故该项错误；

D.：|x+l区0且|x+l|20,.•.|x+l|=0,=故该项正确；

故选：D.

【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义和绝对值的非负性是解题的关键.

5.已知。>”。，则分式/警的大小关系是,)

a。+1aQ+1a。+1

A.~b<~MB.-=------C.一〉----D.不能确定

bb+1b"1

【答案】A

【解析】

【分析】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解.

a。+1力+1)-b(a+l)a—b

【详解】解：石-商火1+1)—力9+1)

<。>Q>0,

a。+1a—b

--------=I-----r<0

bZ?+l/?(/?+1)

.a。+1

••一〈----，

bb+1

故选：A.

【点睛】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键.

6.已知反比例函数〉=工，当x<o时，y随x的增大而减小，那么一次的数y=一辰+%的图像经过第（）

X

A.一，二，三象限B.一，二，四象限

C.一，三，四象限D.三，四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根据反比例函数的增减性得到攵>0,再利用一次函数的图象与性质即可求解.

【详解】解：反比例函数y=v,当x<0时，y随X的增大而减小，

x

.•.女>0,

丁=一乙+攵的图像经过第一，二，四象限，

故选：B.

【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题

的关键.

7.一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数

字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形的数目为俯视图中该列小正方数字中最大数

字，从而可得出结论.

【详解】由已知条件可知：主视图有3歹U，每列小正方形的数目分别为4,2,3,根据此可画出图形如下:

故选：B.

【点睛】本题考查了从不同方向观察物体和几何图像，是培养学生观察能力.

8.如图，尸是线段CO上除端点外的一点，将/绕正方形A8CD的顶点A顺时针旋转90°,得到

△ABE.连接E尸交A3于点”.下列结论正确的是（）

AD

E

8题图

A.ZEAF=120°B.AE:EF=1：CC.AF2EH-EFD.EB：AD=EH：HF

【答案】D

【解析】

【分析】根据旋转的性质可以得到是等腰直角三角形，然后根据相似三角形的判定和性质，以及平

行线分线段成比例定理即可作出判断.

【详解】解：根据旋转的性质知：NEAF=90。，故A选项错误；

根据旋转的性质知：ZE4F=90°,EA=AF,则是等腰直角三角形，

：.EF=y[2AE,即AE：EF=\：拉，故8选项错误；

FAEF

若C选项正确，则人尸2=4炉即=,

EHEA

・・,ZAEF=ZHEA=45°f

・•・△£4'△EH4,

：.ZEAH=ZEFAf

而NE欣=45°,/E4〃H45°,

：.ZEAH^ZEFA,

•••假设不成立，故C选项错误；

•.•四边形48s是正方形，

：.CD//AB,BPBH//CF,AD=BC,

：.EB：BC=EH：HF,即EB：AD=EH：HF,故。选项正确；

故选：D

【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，

正确运用反证法是解题的关键.

9.小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出2019年的总支出增加了2成，则下列

说法正确的是()

娱乐/、

15%教育

年总支出情况

20192020年总支出情况

A.2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍；

B.2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%；

C.2020年总支出比2019年总支出增加了2%；

D.2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同.

【答案】A

【解析】

【分析】设2019年总支出为。元，则2020年总支出为1.2〃元，根据扇形统计图中的信息逐项分析即可.

【详解】解：设2019年总支出为a元，则2020年总支出为1.2a元，

A.2019年教育总支出为0.3a,2020年教育总支出为1.2ax35%=0.42a,0.42a0.3a=1.4,故该项正确；

B.2019年衣食方面总支出为0.3a,2020年衣食方面总支出为1.2ax40%=0.48”,(0.48a-0.3a)+0.3a»53%,

故该项错误；

C.2020年总支出比2019年总支出增加了20%,故该项错误;

D.2020年其他方面的支出为1.2ax15%=0.1&7,2019年娱乐方面的支出为0.15m故该项错误；

故选：A.

【点睛】本题考查扇形统计图，能够从扇形统计图中获取相关信息是解题的关键.

10.已知函数丁=公2-(。+1)%+1,则下列说法不正确的个数是()

①若该函数图像与X轴只有一个交点，则

②方程"2-(。+1)%+1=0至少有一个整数根

③若:<X<1,则>=公2—(Q+1)X+1函数值都是负数

④不存在实数a,使得以2一(a+1)尤+1<0对任意实数X都成立

A.0B.IC.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】对于①：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解；

对于②：分情况讨论a=0和。加时方程的根即可；

对于③：已知条件中限定〃翔且”>1或a<0,分情况讨论或a<0时的函数值即可；

对于④：分情况讨论a=0和。加时函数的最大值是否小于等于0即可.

【详解】解：对于①：当。=0时，函数变为与X只有一个交点，

当今0时，D=(a+1)2-4a=(a-I)2=0>a=1,

故图像与x轴只有一个交点时，a=l或。=0,①错误；

对于②：当a=0时，方程变为一%+1=0,有一个整数根为1=1,

当今0时，方程依2-(。+1)*+1=0因式分解得到：(ax—l)(x—1)=0,其中有一个根为x=l,故此时

方程至少有一个整数根，故②正确；

对于③：由已知条件1<x<l得到"0,且a>l或。<0

a

当“>1时，y=以2-(a+i)x+i开口向上，对称轴为％=丝1=2+_L,自变量离对称轴越远，其对应

2a21a

的函数值越大，

J+111

•-a-----_-十1—.1,

222a

.•.X=—,x=l离对称轴的距离一样，将x=l代入得到y=o,此时函数最大值小于0；

a

当4<0时，丁="2-（4+1）%+1开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，

11____laI/-tAi4a—（a+1）—-ci~+2a一1（a—1）-

..x=一+—时，函数取z得最大值为y=-----———=----------=--———，

22a4a4a4a

最大值_（4_］）-〉0,即有一部分实数x,其对应的函数值y>o,故③错误；

4a

对于④：”=0时・，原不等式变形为：一X+1W0对任意实数》不一定成立，故。=0不符合；

a#0时，对于函数y=izx2-（a+l）x+l,

当。>0时开口向上，总有对应的函数值y>0,此时不存在〃对g?-g+i）尤+1wo对任意实数了都成立;

当a<0时开口向下，此时函数的最大值为4"一（"1）：=-4+2。-1=_（”1）2,

4a4a4a

V«<0,

最大值-g二上>0,即有一部分实数X,其对应的函数值y>0,

4a

此时不存在a对ax2-{a+l）x+1<0对任意实数x都成立；故④正确：

综上所述，②④正确，

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大,

熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键.

填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填

写在答题卡相应位置上）

ILJ（-2?=一———

【答案】4

【解析】

【分析】先算（—2）4,再开根即可.

【详解】解：正亓

=J2x2x2x2

=V16

=4

故答案是：4.

【点睛】本题考查了求一个数的4次方和对一个实数开根号，解题的关键是：掌握相关的运算法则.

2

12,已知以2=00,则=_

234yz

【答案】I

6

【解析】

【分析】设再将x，yz分别用上的代数式表示，再代入约去上即可求解.

234

【详解】解：设'=2=三=攵H0,

234

则x=2k,y—3k,z=4k,

x2+xyQk）、2kx3k4/+6/}Qk25

故-------=---------------=----------=-----=一,

yz3kx4k12k212k26

故答案为：—.

6

【点睛】本题考查了比例性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键.

13.一个圆柱形橡皮泥，底面积是高是5cm.如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm的圆

锥，则这个圆锥的底面积是cm?

【答案】18

【解析】

【分析】首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出

方程，即可求出圆锥的底面积.

【详解】匕州£=S〃=12?560cm2，

1,

这个橡皮泥的一半体积为：V=-?603Qcm2,

2

把它捏成高为5CT?Z的圆锥，则圆锥的高为5cm,

故30,

3

即gsQ=30,

解得S=18(cm2),

故填：18.

【点睛】本题考查了圆柱的体积和圆锥的体积计算公式，解题关键是理解题意，熟练掌握圆柱体积和圆锥

体积计算公式.

14.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20

条直线两两相交最多有个交点

【解析】

【分析】根据题目中的交点个数，找出〃条直线相交最多有的交点个数公式：-n(n-l).

2

【详解】解：2条直线相交有1个交点；

3条直线相交最多有1+2=3=；X3X2个交点；

4条直线相交最多有1+2+3=6=：X4X3个交点；

5条直线相交最多有l+2+3+4=10=1x5x4个交点；

2

20条直线相交最多有:x20x19=190.

2

故答案为：190.

【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即〃条直线相交最多有

1.八

5〃(〃-1).

15.三个数3,1--2。在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则。的取值范

围为

【答案】一3＜。＜一2

【解析】

【分析】根据三个数在数轴上的位置得到3<1-a<l-2a,再根据三角形的三边关系得到

1—a+3>l—2a,求解不等式组即可.

【详解】解：：3,1—a,l—2a在数轴上从左到右依次排列，

3<\—a<\—2a,解得a<—2,

；这三个数为边长能构成三角形，

1—。+3>1—2a,解得ci>—3»

综上所述，。的取值范围为一3<。<一2,

故答案为：—3<tz<—2.

【点睛】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键.

16.如图，作的任意一条直经FC,分别以EC为圆心，以尸。的长为半径作弧，与。。相交于点EA

和。、8,顺次连接AB,BC,CD,DE,EF,FA,得到六边形ABCDEF,则Q0的面积与阴影区域的面积

的比值为；

【答案］您三

3

【解析】

【分析】可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设。0的半径与等边三角形的边长

为“，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解

【详解】连接0E,OD,OB,OA,

由题可得：EF=OF=OE=FA=OA=AB=OB=BC=OC=CD=OD

.■.△EF(9,A(9/^,AOA5,AC>BC,AOC£>,AODE为边长相等的等边三角形

•••可将图中阴影部分的面积转化为AQDE和的面积之和，如图所示:

FD

C

设。o的半径与等边三角形的边长为。,

*,*OO的面积为S=Tur2-7icf

•/等边AOED与等边△OLB的边长为a

.e_e—陵

,•OA0ED一0△OAB—一\一

一S阴—S4OED+S公OAB

2

S_nar_兀

■■OO的面积与阴影部分的面积比为厮=7彳=W-

2

故答案为：迪L.

3

【点睛】本题考查了图形的面积转换，等边三角形面积以及圆面积的求法，将不规则图形的面积转换成规

则图形的面积是解题关键.

17.某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为:三人间150元/间，双人间140元/间.为

吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人

间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人

间普通客房和双人间普通客房共_______间；

【答案】18.

【解析】

【分析】根据客房数x相应的收费标准=1310元列出方程并解答.

【详解】解：设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房4空6一-3竺x间，由题意，得：

2

150x0.5x+140x0.5x上46-』3%=1310,

2

解得：A-10,

所以，这个旅游团住了三人间普通客房10间，住了两人间普通客房8间，共18间.

故答案为：18.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知得出等式方程是解

题关键.

AORD

18.已知，如图1,若AO是△ABC中N54c的内角平分线，通过证明可得——=——，同理，若AE是

ACCD

△ABC中NB4c的外角平分线，通过探究也有类似的性质.请你根据上述信息，求解如下问题：如图2,

在AAHC中，8。=2,。。=3,4。是443。的内角平分线，则AABC的3C边上的中线长/的取值范围

是________

图1图2

【答案】—<1<—

22

【解析】

AR2

【分析】根据题意得到一=—，反向延长中线AE至尸，使得A£=EF，连接CF,最后根据三角形三

AC3

边关系解题.

【详解】如图，反向延长中线AE至尸，使得AE=EF，连接CF，

•.•80=2,。。=3,4。是448。的内角平分线，

•AB_2

,AC-3

DE=EC

v<ZAEB=NCEF

AE=EF

:aABE秘AFEC(SAS)

：.AB=CF

由三角形三边关系可知，

AC-CF<AF<AC+CF

,-.1<AF<5

故答案为：一</<一.

22

【点睛】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是

重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.

三.解答题（本大题共10小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解有时应写出文字说

明，证明过程或演算步骤）

19.计算出一2|+25m45。一（一1）2

【答案】1

【解析】

【分析】直接利用去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算计算出结果即可.

【详解】解：|8-2]+2sin45O-（—Ip

=2-V2+2x--1

2

=1

故答案是：1.

【点睛】本题考查了去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算法则，解题的关键是：掌

握相关的运算法则.

20.先因式分解，再计算求值：2/一8%，其中x=3.

【答案】2x(%+2)(x-2),30

【解析】

【分析】先利用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入x的值即可.

【详解】解：2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2),

当x=3时，原式=2x3x5x1=30.

【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键.

【答案】x=l

【解析】

【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【详解】方程两边乘2x—3,得：x—5=4(2x—3),

解得：x=1,

检验：当x=l时，2%-3。0.

=l是原分式方程的解.

【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

22.小明在A点测得C点在A点的北偏西75。方向，并由A点向南偏西45。方向行走到达B点测得C点在

3点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达。点，测得。点在。点的北偏东22.5°方向，求

AC两点之间的距离.(结果保留0.1km,参数数据百a1.732)

【答案】2.3km

【解析】

【分析】根据题中给出的角度证明△CCB为等腰三角形，得到CB=3B=2,再证明△CBA为30。，60。，

90°直角三角形，最后根据sin?CABsin60'=0=且即可求出AC的长.

AC2

【详解】解：如下图所示,

由题意可知：ZE4c=75。，ZFAB=ZNBA=45°,NCBN=45。,DB=2km,NMDC=22.5。,

在4BCD中，ZCDB=90°-ZA/DC=90o-22.5o=67.5°,

ZCBD=90°-ZCBN=90°-45°=45°,

ZDCB=180°-ZCDB-ZCBD=180o-67.5°-45°=67.5°,

NDCB=NCDB,△CDB为等腰三角形，

：.CB=DB=2,

在^CBA中，NCBA=NC8N+NN84=45°+45°=90°,

；.△CBA为直角三角形，

又NCAB=/C4G+/G4B=(90°-/E4C)+/GAB=(90°-75°)+45°=60°,

...△C84为30°,60°,90°直角三角形，

sin?CABsin60=>代入CB=2,

AC2

4J3

/.AC=—?23(km),

3

故AC两点之间的距离为23km.

【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形，读懂题意，将题中信息转化成已知条件，本题中得出△CQB

为等腰三角形是解题的关键.

23.如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁

块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度y（cm）与

注水时间x（min）之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题:

（1）图②中折线EDC表示槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段表示

槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为cm.

（2）注入多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）

【答案】（1）乙，甲，16；（2）2分钟

【解析】

【分析】（1）根据图象分析可知水深减少的图象为甲槽的，水深增加的为乙槽的，并水深16cm之后增加的

变慢，即可得到铁块的高度；

（2）利用待定系数法求出两个水槽中水深与时间的解析式，即可求解.

【详解】解：（1）图②中折线EOC表示乙槽中水的深度与注入时间之间的关系；

线段AB表示甲槽中水的深度与放出时间之间的关系；

铁块的高度为16cm.

（2）设甲槽中水的深度为凹=攵/+4，把A（0,14）,8（7,0）代入，可得

匕=-2

4=14

甲槽中水的深度为M=-2X+14,

根据图象可知乙槽和甲槽水深相同时，在。E段,

设乙槽OE段水的深度为必=心》+打，把石（。,4）,。（4,16）代入，可得

a=4依=3

",,，解得［一,，

4乂+4=16也,=4

•••甲槽中水的深度为为=3x+4,

...甲、乙两个水槽中水的深度相同时，-2*+I4=3x+4,解得x=2,

故注入2分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相同.

【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据题意理解每段函数对应的实际情况是解题的关键.

24.如图，在平行四边形ABCZ）中，4?=3,点£为线段AB的三等分点（靠近点A）,点尸为线段。。的

三等分点（靠近点C,且CE_LAB.将ABCE沿CE对折，8C边与AO边交于点G,且OC=0G.

（1）证明：四边形AECb为矩形;

（2）求四边形AECG的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）

4

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB〃CD,A5=C£）,根据题意三等分点可得A£=CF，根据

对边平行且相等得到四边形AECE为平行四边形，再根据一个角为90。的平行四边形是矩形即可得证；

（2）根据角度关系可得AQAG是等边三角形，△夕3c是等边三角形，利用割补法即可求出面积.

【详解】解：（1）•••四边形ABCO是平行四边形，

AB//CD,AB=CD,

•••点£为线段AB三等分点（靠近点A）,点尸为线段CD的三等分点（靠近点C）,

AAE=-AB,CF=-CD,

33

AE=CF,

四边形AECT为平行四边形,

：CELAB,

四边形AEC尸为矩形；

(2)•••4?=3,点E为线段AB的三等分点(靠近点A),

AAE=\，BE=2,

•.•将ABCE沿CE对折，8c边与A£>边交于点G,

:.BB,=2BE=4,NB=/B：

'：DC=DG,

：.ZDGC=ZDCG,

AB//CD,

NB'=NDCG,NB'AG=ND=NB=NB',

：.ZB'AG=ZB'=ZB'GA,

AB'AG是等边三角形，3c是等边三角形，

作BH_LAG于H,

B,H=—AB'=—,CE=—BC=2>/3,

222

•c_cc_116._7\/1

-rHr

*"SAECG=\CEB'S.GAB，=5、2\/3*2-]X—x1=■

D

【点睛】本题考查矩形的判定、割补法求面积、解直角三角形，掌握上述性质定理是解题的关键.

25.某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩(成绩均

为整数，单位：分)如下：

甲：92,95,96,88,92,98,99,100

乙：100,87,92,93,9，，95,97,98

由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，

(1)求甲成绩的平均数和中位数；

(2)求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；

(3)当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛.

4

【答案】（1）平均数95分，中位数为95.5分；（2）y；（3）甲

【解析】

【分析】（1）根据平均数和中位数的定义求解即可；

（2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为m求出乙成绩的平均数，解不等式得到。的范围，利用概率公式

即可求解;

（3）利用方差公式求出甲和乙的方差，选方差较小的即可.

92+95+96+88+92+98+99+100

【详解】解：（1）甲成绩的平均数为:-----------------二----------------二处；

8

甲成绩从小到大排列为：88,92,92,95,96,98,99,100,

95+96

甲成绩的中位数为：%~^=95.5；

2

（2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为（。为0-9的整数）

.,,.阳“100+87+92+93+90+a+95+97+98752+a

则乙成v绩的平均数为：----------------------------------------------

88

o।

当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，即:一-<95,

8

解得Q<8,

•..a的值可以为0~7这8个整数

84

•••P（甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数）=£•=—；

105

（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，出±@=95,解得a=8,

8

此时乙的平均数也为95,

甲的方差为:

=:(9+0+1+49+9+9+16+25)=14.75；

乙的方差为:

或=([(100-95)2+(87-95)2+(92-95)2+(93-95)2+(98-95)2+(95-95)2+(97-95)2+(98-95)2]

=((25+64+9+4+9+1+4+9)=15.5,

<

甲的成绩更稳定，故应选甲参加数学竞赛.

【点睛】本题考查求平均数、中位数和方差，以及概率公式，掌握求平均数、中位数和方差的公式是解题

的关键.

4

26.如图，一次函数丫=丘+人的图象与>轴的正半轴交于点A,与反比例函数y=—的图像交于P,。两

尤

点.以为边作正方形ABC。，点8落在x轴的负半轴上，已知ABOD的面积与AAOB的面积之比为

1:4.

(1)求一次函数y="+力的表达式：

(2)求点P的坐标及△CPD外接圆半径的长.

【答案】(i)y=-1x+4；(2)点户的坐标为(。,3)；△<?「£>外接圆半径的长为独3

4