江苏省扬州市2021年中考数学试题（含答案）

江苏省扬州市2021年中考数学试题

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.实数100的倒数是（）

11

A.100B.-100C.——D.

100100

【答案】C

【解析】

【分析】直接根据倒数的定义求解.

【详解】解：100的倒数为击，

故选C.

【点睛】本题考查了倒数的定义：a（a#0）的倒数为

a

2.把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几彳)

D.六棱柱

【答案】A

【解析】

【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题.

【详解】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，

则该几何体为五棱锥，

故选A.

【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键.

3.下列生活中的事件，属于不可能事件的是（）

A.3天内将下雨B.打开电视，正在播新闻

C.买一张电影票，座位号是偶数号D.没有水分，种子发芽

【答案】D

【解析】

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.

【详解】解：A、3天内将下雨，是随机事件；

B、打开电视，正在播新闻，是随机事件；

C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；

D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；

故选D.

【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的

事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可

能发生也可能不发生的事件.

4.不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（）

12

A.x+1B.—1C.----D.（x+1）

x+1''

【答案】C

【解析】

【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断.

【详解】解：A、当k-1时，x+\=0,故不合题意；

B、当了=±1时，N-1=O,故不合题意；

C、分子是1,而1邦，则一匚翔，故符合题意；

X+1

D、当4-1时，（x+l）~=O,故不合题意；

故选C.

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值.若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分

子为0;（2）分母不为0.这两个条件缺一不可.

5.如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若100°,则

Z4+ZB+ZD+ZE=（）

A.220°B.240°C.260°D.280°

【答案】D

【解析】

【分析】连接即，根据三角形内角和求出NCBQ+/CQB,再利用四边形内角和减去/CB。和/CQ8的和,

即可得到结果.

【详解】解：连接BO,VZBCD=100°,

ZCBD+ZCDB=180°-100°=80°,

ZA+ZABC+ZE+ZCD£=360°-ZCBD-ZCDB=360°-80°=280°,

故选D.

【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和,解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形.

6.如图，在4x4的正方形网格中有两个格点A、B,连接A3,在网格中再找一个格点C,使得ABC是

等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（)

B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①A3为等腰直角△ABC底边；②48为等腰直角AABC

其中的一条腰.

【详解】解：如图：分情况讨论:

①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有。个;

②A8为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.

故共有3个点,

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合

的思想是数学解题中很重要的解题思想.

7.如图，一次函数丁=》+及的图像与x轴、y轴分别交于点4、B,把直线A3绕点B顺时针旋转30。交

x轴于点C,则线段AC长为（）

C.2+V3D.6+应

【答案】A

【解析】

【分析】根据一次函数表达式求出点A和点8坐标，得到△0A8为等腰直角三角形和A8的长，过点C作

CDLAB,垂足为证明△AC。为等腰直角三角形，设C£>=A£>=x,结合旋转的度数，用两种方法表示出

BD,得到关于x的方程，解之即可.

【详解】解：；一次函数y=x+J5的图像与x轴、y轴分别交于点4、B,

令％=0,则产加，令y=O,则广-近，

则4(-V2，0),B(0,0),

则△OAB为等腰直角三角形，NABO=45。,

：.AB==2,

过点C作CDL43,垂足为。,

VZC4D=ZOAB=45°,

・・・△AC。为等腰直角三角形，设CD二

-'-AC=VAD2+CDr=V2^，

・・•旋转,

・・・ZABC=30°,

：.BC=2CD=2X9

：・BD=4BC2-CD2=£X,

又BD=AB-^AD=2+x,

2+X=G%,

解得：4G+i,

.'.AC=72^=72（6+1）=V6+V2，

故选A.

【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，

勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形.

k

8.如图，点P是函数）=；化>0,x>0）的图像上一点，过点尸分别作x轴和），轴的垂线，垂足分别为点

A、B,交函数y=^（%2>0,x>0）的图像于点C、D,连接OC、OD、CD、AB，其中左>心，下列

结论：①CO//A3；②5。°=心&；③5℃「=的大-，其中正确的是（）

℃D2lDCP2人

A.①②B.①③C.②③D.①

【答案】B

【解析】

kPDPC

【分析】设P（处）），分别求出A,B,C,。的坐标，得到P。，PC,PB,网的长，判断一和——的

mPBPA

关系，可判断①；利用三角形面积公式计・算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用

SAOCD=SQAPB一S&OBD—S&OCA-S&DPC计算△OCD的面积，口J判断②.

kk

【详解】解：轴，轴，点尸在y=」上，点C,。在y=二上,

XX

设P(ZH,—),

m

kk卜k

则C(tn,—),A(加，0),B(0,—),令」

mmmx

,knmk.mk,

则％=『，即。(『，」)，

k\k\m

:.PCJL—,尸氏时学=吗3,

mmm

N.M)"=£t=j,即四=生

•:PDk】k「k?

PAh&PBPA

PBmk、

m

又/DPO/BPA,

：.^PDC^APBAt

：.NPDC=NPBC,

：.CD//AB,故①正确：

/XPDC的面积=』xP。xPC=2x"，(,』)*［二k,故③正确；

22k、m2kl

S^OCD~S()APB~S/\OBD~%0C4S^DPC

(匕-

=k、­k)一4

2k1

2kl(ki-kj(&-&)2

2k^~

2k：2k[h-(k]/

2k1

k2-k2

=」一二，故②错误；

2kl

故选B.

【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，上的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是

表示出各点坐标，得到相应线段的长度.

二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接

填写在答题卡相应位置上)

9.2021年扬州世界园艺博览会以“绿色城市，健康生活”为主题，在某搜索引擎中输入“扬州世界园艺博

览会”约有3020000个相关结果，数据3020000用科学记数法表示为

【答案】3.02x106

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其中理同＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变

成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：将3020000用科学记数法表示为3.02x106.

故答案为:3.02x106.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其中1W间＜10,〃为整

数，表示时关键要正确确定。的值以及"的值.

10.计算：20212—202()2=

【答案】4041

【解析】

【分析】利用平方差公式进行简便运算即可.

【详解】解：202F-20202

=(2021+2020)x(2021-2020)

=4041x1

=4041

故答案为：4041.

【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序.

11.在平面直角坐标系中，若点P(1-〃2,5-2〃。在第二象限，则整数小的值为.

【答案】2

【解析】

【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0,纵坐标大于。列出不等式组，然后求解即可.

1—m<0

【详解】解：由题意得：Lc八，

5-2m>0

解得：1</〃<一,

2

二整数机的值为2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键.

12.已知一组数据：八4、5、6、7的平均数为5,则这组数据的中位数是.

【答案】5

【解析】

【分析】根据平均数的定义先算出«的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位

数.

【详解】解：；这组数据的平均数为5,

EQ+4+5+6+7

则-------------=5,

解得：4=3,

将这组数据从小到大重新排列为：3,4,5,6,7,

观察数据可知最中间的数是5,

则中位数是5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了平均数和中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，

最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.

13.扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数

学著作之一，书中记载一道问题：”今有良马日行二百四十里，弩马日行一百五十里，鸳马先行一十二日，

问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天

追上慢马？答：快马_______天追上慢马.

【答案】20

【解析】

【分析】设良马行X日追上鸳马，根据路程=速度X时间结合两马的路程相等，即可得出关于X的一元一次

方程，解之即可得出结论.

【详解】解：设快马行X天追上慢马，则此时慢马行了(X+12)日，

依题意，得：24O.v=150(x+12),

解得:x=20,

快马20天追上慢马，

故答案为：20.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

14.如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm的正方形，该果罐侧面积为cm2.

量

【答案】1007

【解析】

【分析】根据圆柱体的主视图为边长为10C77?的正方形，得到圆柱的底面直径和高，从而计算侧面积.

【详解】解：•••果罐的主视图是边长为1057的正方形，为圆柱体，

圆柱体的底面直径和高为10cm,

侧面积10^x10=100^>

故答案为：100万.

【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是根据三视图得到几何体的相关数据.

15.如图，在R/AABC中，NACB=90°,点。是A3的中点，过点。作OE_L8C,垂足为点E,连接8,

【答案】3

【解析】

【分析】根据直角三角形的性质得到A8=10,利用勾股定理求出AC,再说明Z)E〃AC,得至1］丝=绘=!，

ACAB2

即可求出DE.

【详解】解：・・・NAC3=90。，点。为A5中点,

：.AB=2CD=109

・・・BC=8,

；・AC7AB2_Bc?=6,

VDE_LBC9AC±BCf

：.DE//AC,

.DEBD\DEBD1

••==,Hnn|J==，

ACAB26AB2

：.DE=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比

例式.

16.如图，在,A3C。中，点E在A。上，且EC平分NBED，若NEBC=30。,BE=10,则ABCD

的面积为.

【答案】50

【解析】

【分析】过点E作EFLBC,垂足为F,利用直角三角形的性质求出EF,再根据平行线的性质和角平分线

的定义得到NBCE=/BEC,可得BE=BC=10,最后利用平行四边形的面积公式计算即可.

【详解】解：过点E作EF_LBC,垂足为F,

*/Z£fiC=30°,BE=10,

;.EF=LBE=5,

2

•••四边形A8C。是平行四边形，

.,.AD//BC,

ZDEC=ZBCE,

又EC平分NBED,即ZBEC=ZDEC,

：.NBCE=/BEC,

：.BE=BC=\O,

四边形ABC。的面积=BCx£F=1()x5=50,

故答案为：50.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识

点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键.

17.如图，在,A8C中，AC=BC,矩形DEFG的顶点力、E在4B上，点F、G分别在8C、AC上,

若CF=4,BF=3,且DE=2EF，则即的长为.

【解析】

7r

【分析】根据矩形的性质得到G尸〃A8,证明aCGbs/XCAB,可得A3=k,证明△AOG且△8ER得到

2

3

AD=BE=-xf在△3EF中，利用勾股定理求出尤值即可.

4

【详解】解：:DE=2EF,设则DE=2X,

・・,四边形OEFG是矩形，

:.GF//AB,

：./\CGF^ACABf

.GFCF44目“2x4

..==----=一,即=—,

ABCB4+37AB7

AB=—,

AD+BE—AB-DE-...2x——x)

22

：AC=BC,

又DG=EF,ZADG=ZBEF=90°,

：.AADG^ABEF(AAS),

,133

■•AD=BE=—x—x=—x，

224

在△BEF中，BE2+EF2^BF2)

即臣）+x2=32,

解得：X=y"或——（舍），

12

：.EF=—,

5

故答案为：—.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边

对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到AB的长.

18.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1,3,6,10,....将其中所

有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为一

①②③④

【答案】1275

【解析】

【分析】首先得到前〃个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第〃个图形中的黑色圆点的个数为

，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3

2

整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可.

【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1,

第②个图形中的黑色圆点的个数为：（"2）X2=3,

2

第③个图形中的黑色圆点的个数为：（1+3）><3=6,

2

第④个图形中的黑色圆点的个数为：（l+4）x4=]o,

2

第〃个图形中的黑色圆点的个数为也5,

2

则这列数为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,

其中每3个数中，都有2个能被3整除，

33:2=16...1,

16x3+2=50,

则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即竺>=1275,

故答案为：1275.

【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律.

三、解答题（本大题共有10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤）

19.计算或化简：

（1）（一3）+1-31+tan60。；（2）（a+/?）+（H-.

【答案】（1）4；（2）ab

【解析】

【分析】（1）分别化简各数，再作加减法；

（2）先通分，计算加法，再将除法转化为乘法，最后约分计算.

【详解】解：（1）一一+|V3-3|+tan60°

<3）

=1+3-百+6

=4；

(2)(a+b)+

=(6Z+Z?)Xab

a+b

=ab

【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数嘉，分式的混合运算，解题的关键是

熟练掌握运算法则.

2x+y-7

20.已知方程组《，的解也是关于x、y的方程"+>=4的一个解，求。的值.

x=y-l

【答案】a=-

2

【解析】

【分析】求出方程组的解得到尤与y的值，代入方程计算即可求出。的值.

2x+y=7①

【详解】解:方程组<

y-l②

把②代入①得：2(>-l)+y=7,

解得：y=3,代入①中，

解得：x-2,

把X=2,y=3代入方程"+y=4得，攵+3=4,

解得：a=-.

2

【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程

成立的未知数的值.

21.为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操”

活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表：

抽样调查各类喜欢程度人数分布扇形统计图

A.非常喜欢B.比较喜欢C.无所谓D.不喜欢

抽样调查各类喜欢程度人数统计表

喜欢程度人数

A.非常喜欢50人

B.比较喜欢加人

C.无所谓n人

D.不喜欢16人

根据以上信息，回答下列问题：

(1)本次调查的样本容量是;

(2)扇形统计图中表示A程度的扇形圆心角为°,统计表中〃?=；

(3)根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动(包

含非常喜欢和比较喜欢).

【答案】(1)200；(2)90,94；(3)1440名

【解析】

【分析】(1)用。程度人数除以对应百分比即可；

(2)用A程度的人数与样本人数的比值乘以360。即可得到对应圆心角，算出8等级对应百分比，乘以样本

容量可得值；

(3)用样本中A、B程度的人数之和所占样本的比例，乘以全校总人数即可.

【详解】解：⑴16+8%=200,

则样本容量是200；

50

(2)——x360°=90°,

200

则表示A程度的扇形圆心角为90°；

50

200x(1-8%-20%----X100%)=94,

200

则机=94；

50+94

(3)------x2OOO=]440名，

200

该校2000名学生中大约有1440名学生喜欢“每日健身操”活动.

【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，样本估计总体等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必

要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

22.一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2

个座位上.

宣）

（1）甲坐在①号座位的概率是;

（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率.

12

【答案】（1）—;（2）—

33

【解析】

【分析】（1）直接根据概率公式计算即可；

（2）画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可.

【详解】解：（1）••・丙坐了一张座位，

，甲坐在①号座位的概率是g；

（2）画树状图如图:

开始

①②③

八/X八

②③①③①②

共有6种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有4种，

42

，甲与乙相邻而坐的概率为一=一.

63

【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%,现在

生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫

苗？

【答案】40万

【解析】

【分析】设原先每天生产x万剂疫苗，根据现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用

的时间少0.5天可得方程，解之即可.

【详解】解：设原先每天生产x万剂疫苗，

由题意可得：

解得：440,

经检验：x=40是原方程的解，

，原先每天生产40万剂疫苗.

【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、歹U、解、验、答.必须

严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性.

24.如图，在中，N54c的角平分线交8C于点DE//AB,DF//AC.

（1）试判断四边形AEDE的形状，并说明理由；

（2）若NBAC=90°,且AO=25/5,求四边形4尸OE的面积.

【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4

【解析】

【分析】（1）根据。E〃4B,。尸〃AC判定四边形4FDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的

定义得到/EDA=NEA。,可得AE=Z）E,即可证明；

（2）根据NBAC=90。得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AZ）求出边长，再根据面积公式计算即可.

【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：

VDE//AB,DF//AC,

，四边形AFDE是平行四边形，

•；A。平分NBAC,

，ZFAD=ZEAD,

'CDE//AB,

：.AEDA=ZFAD,

NEDA=NEAD,

：.AE=DE,

平行四边形AFDE是菱形；

(2)VZBAC=90°,

...四边形AFDE是正方形,

•：AD=2y[2'

:.AF=DF=DE=AE=*=2,

V2

四边形AFDE的面积为2x2=4.

【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是

掌握特殊四边形的判定方法.

25.如图，四边形ABC。中，AD//BC,ABAD=90°,CB=CD,连接50，以点8为圆心，84长

为半径作交BD于点E.

（1）试判断8与C，B的位置关系，并说明理由；

（2）若A3=28，4c0=60°,求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）相切，理由见解析；（2）2G-）

【解析】

【分析】（1）过点8作证明△480名△尸8。得至lj8尸=BA,即可证明CD与圆B相切；

（2）先证明△BC。是等边三角形，根据三线合一得到乙48。=30。，求出A。，再利用用杉ABE求出阴

影部分面积.

【详解】解：（1）过点8作BFLCD,

'JAD//BC,

：.ZADB^ZCBD,

•：CB=CD,

：.NCBD=NCDB,

：.ZADB=ZCDB,又BD=BD,NBAD=NBFD=90°,

.♦.△ABO空△尸8。（AAS）,

：.BF=BA,则点尸在圆8上,

・・・CO与圆8相切;

•••△3CO是等边三角形,

・・・ZCBD=60°

VBF±CD,

・・・ZABD=ZDBF=ZCBF=30°,

・・・ZABF=60°,

■:AB=BF=?6

：.AD=DF=ABtm300=29

阴影部分的面积=5.8£)~5塌形ABE

30x^x

-x2^x2-

2360

=2>/3—71•

【点睛】本题考查了切线的判定,全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角

函数的定义，题目的综合性较强,难度不小，解题的关键是正确做出辅助线.

26.如图，在平面直角坐标系中,二次函数、=/+云+。的图像与x轴交于点.A(-l,0),8(3,0),与

y轴交于点C.

（1）h=，c=；

（2）若点。在该二次函数的图像上，且SABD=2SABC，求点。的坐标；

（3）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且SAPC=SAM，直接写出点P的坐标.

【答案】（1）-2,-3；（2）（1+痴，6）或（1一屈，6）；（3）（4,5）

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）先求出△ABC的面积，设点。（小，m2-2m-3）.再根据S=2S从麻，得到方程求出加值，即

可求出点。的坐标；

（3）分点P在点A左侧和点P在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解.

【详解】解：（1）•.•点A和点8在二次函数y=V+云图像上，

0=1—Z?+cb=-2

则《。=9+3"。’解得

c=-3

故答案为：-2,・3；

（2）连接3C,由题意可得:

A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),y=x2-2x-3,

SAABC=-x4x3=6,

2

,•*S&ABD=2SMBC,设点。(m，m2—2m—3)，

/.gx=2x6,即:x4x1??

—2m—3—2x6，

解得：x=l+V10BRI-VTO，代入y=x2-2x-3.

可得：y值都为6,

：.D（1+VJo.6）或（1一痴，6）；

:点P在抛物线位于x轴上方的部分，

...“<-1或〃>3,

当点P在点A左侧时，即

可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离,

,•S&APC<^AAPB,不成乂；

当点P点B右侧时，即〃>3,

•••△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，

则点B和点C到AP的距离相等,即BC//AP,

设直线BC的解析式为广kx+p,

0=3Z+p[k=1

则〈。，解得：〈，

I-3=p[p=-3

则设直线AP的解析式为产x+q,将点A（-1,0）代入，

则-l+q=0,解得：q=l,

则直线AP的解析式为尸+1,将P（〃，〃2一2〃一3）代入,

即/一2〃-3=〃+1，

解得：〃=4或〃=-1（舍），

/?2—2/?—3=5'

.••点尸的坐标为（4,5）.

【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，

一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离.

27.在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

己知线段3c=2,使用作图工具作N6AC=30°,尝试操作后思考：

（1）这样的点A唯一吗？

（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以6C为弦的圆弧上（点B、C

除外），…….小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）.

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决.

①该弧所在圆的半径长为；

②..ABC面积的最大值为；

（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们

记为A',请你利用图1证明ZBAC>30°；

（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2,已知矩形ABCO的边长AB=2,BC=3,

4

点P在直线8的左侧，且tanZDPC=-.

3

①线段PB长的最小值为;

2

②若SPC。=]SPAD，则线段PD长为.

【答案】(1)①2；(2)73+2；(2)见解析；(3)①亚0；②速

44

【解析】

【分析】(1)①设。为圆心，连接BO,C0,根据圆周角定理得到/BOC=60。，证明△02C是等边三角形，

可得半径；

②过点。作BC的垂线，垂足为E,延长E。，交圆于。，以BC为底，则当A与。重合时，△ABC的面积

最大，求出0E,根据三角形面积公式计算即可；

(2)延长B4,交圆于点£),连接CD,利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；

41

(3)①根据tan/Z)PC=一，连接P。，设点。为P。中点，以点。为圆心，孑尸。为半径画圆，可得点P

在优弧CP力上，连接8Q,与圆。交于严，可得8户即为BP的最小值，再计算出BQ和圆。的半径，相减

即可得到BP'；

2

②根据AO,CO和Spa,=§S小。推出点尸在NAOC的平分线上，从而找到点P的位置，过点C作CKLPC,

垂足为F,解直角三角形即可求出。尸.

【详解】解：(1)①设。为圆心，连接BO,CO,

,/ZBAC=30°,

二/BOC=60。，XOB=OC,

.♦.△OBC是等边三角形，

：.0B=0C=BC=2,即半径为2；

②•.,△4BC以BC为底边，BC=2,

当点A到BC的距离最大时，△A8C的面积最大，

如图，过点。作BC的垂线，垂足为E,延长E0,交圆于。，

：.BE=CE=1,00=80=2,

0E=^BO2-BE2=G，

DE=5/3+2，

,△ABC的最大面积为:X2X(6+2)=6+2;

D

(2)如图，延长34,交圆于点。，连接CQ,

・・•点。在圆上,

JZBDC=ZBACf

■:NBAC=/BDC+/ACD,

:.NBAONBDC,

：.N34OZBAC,即/R4'C>30。；

F>

3

(3)①如图，当点P在5c上，且PC二一时，

2

VZPCD=90°,AB=CD=2fAD=BC=3,

CD4

tanNDPC—二§，为定值，

连接P。，设点。为尸。中点，以点。为圆心，为半径画圆，

4

当点尸在优弧CP。上时，S“NOPC=］，连接8Q,与圆。交于产,

此时8P即为8P的最小值，过点。作QELBE,垂足为E,

•••点。是尸。中点，

113

.•.点E为PC中点，BPQE=—CD=\,PE=CE=—PC=—,

224

39

；.BE=BC-CE=3--=-,

44

/.BQ={BE?+QE2=,

,-------------5

,-PD=^CD2+PC2=-'

.•.圆Q的半径为Lx*=2,

224

：.BP'=BQ-P'Q=^~5,即8P最小值为历一5:

△南。中AO边上的中CO边上的高,

即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等,

则点P到A。和8的距离相等，即点P在/AQC的平分线上，如图,

过点C作CFLPD,垂足F,

:/3。平分NAOC,

NADP=/CDP=45。,

.•.△CQF为等腰直角三角形，又8=2,

2

:.CF=DF=R^=y/2,

CF4

VtanZDPC=一=-

PF3

：.PF=^2L,

4

PD=DF+PF=72+—=22^

44

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，

解直角三角形，三角形