湖南省株洲市荷塘区景炎学校2022年中考数学模拟试题（一）（含答案与解析）

株洲市荷塘区景炎学校2022年中考模拟试卷（一）

数学

（本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将个人信息填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.选择题需用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案标号。答案不能写在试卷上。

3.非选择题部分必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

4.答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改。不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.下列各数中，最小的数是（）

A.2B.-4C.-1D.0

2.下列计算正确的是（）

A.x2+x2=s4B.（a-1）2-a2-IC.-6x5D.x3?x2x5

3.下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A等腰三角形B.正三角形C.平行四边形D.正方形

4.如图，BC_LAE于点C,CD//AB,ZB=55°,则N1等于（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

5.如果点P（2x+6,x-4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为

3J

-34

6.如图，AB是。。的直径，AC、BC是。。的弦，直径QELAC于点P.若点。在优弧A8C上，AB=

8,BC=3,则OP的长为（）

D

A.4.5B.5C.5.5D.6

7.将抛物线），=？-2x+3向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的顶点坐标是（）

A.（-2,-1）B.（-2,1）C.（2,1）D.（2,-1）

8.如图，在平行四边形A8CQ中，AC是一条对角线，EF//BC,且后产与A8相交于点E,与AC相交于点

F,3AE=2EB,连接若S"M=4,贝的值为（）

A.6B.10C.15D.——

5

4

9.如图，。为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，=二，反比例函数

48

y=—在第一象限内的图象经过点A,与5c交于点F,则△AOF的面积等于（）

x

10.如图，抛物线y=ox2+/zx+c（。#0）过点（1,0）和点（0,-2）,且顶点在第三象限，设P=a-0+c,

则下列判断错误的是（）

A.a+b=2

B,方程o^+bx+cSR有两个不相等的实数根

C.0<b<2

D-1<P<O

二、填空题（每小题4分，共32分）

11.-8的立方根是.

12.甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是8.5环，方差分别是：s'=4,

si=4.5,则射击成绩较稳定的是（填''甲"或“乙”）.

13.因式分解：a2b-a—.

7x

14.分式-二与二---的和为4,则x的值为一

x—22—x

15.如图，四边形ABCD中，ZA=90°,AB=373，AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点（含

端点，但点M不与点B重合），点E,F分别为DM,MN的中点，则EF长度的最大值为.

16.如图，过。O外一点P引。。的两条切线出、PB,切点分别是A、B,OP交。。于点C,点。是优弧

ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接A。、CD,若NAPB=80。，则/AOC的度数是.

O

A

17.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在

BC边上的点F处，那么cos/EFC的值是.

18.如图，已知直线＞=%逮+人与x轴、y轴相交于尸、Q两点，与丁=石的图象相交于A（-2,m）、B

x

（1,〃）两点，则点P的坐标是.

三、解答题（本大题8小题，共78分）

19.计算：©—万）°一2tan60。+（—1）238+1.

n—22a—1

20.先化简，再求值：+-------）,其中〃是方程N-x-1=0根.

a—1a+1

21.课外阅读是提高学生素养的重要途径.某校为了了解学生课外阅读情况，随机抽查了50名学生，统计

他们平均每天课外阅读时间（，小时）.根据f的长短分为4,B,C,。四类，下面是根据所抽查的人数绘

制的两幅不完整的统计图表.请根据图中提供的信息，解答下面的问题：

50名学生平均每天课外阅读时间统计表

类别时间f（小时）人数

Ar<0.510

B0.5<r<120

C10V1.5a

Dr>1.5b

50名学生平均每天课外阅读时间条形统计图

(1)表格中的〃的值是,并在图中补全条形统计图；

(2)样本中的这组数据的中位数落在_____类别中.

(3)该校现有1300名学生，请你估计该校共有多少名学生课外阅读时间不少于1小时？

23.如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求

救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向25海里的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前

去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60。方向以每小时

40海里的速度航行半小时到达C处，再向南偏东53。方向航行.渔政船前去救援的同时，捕鱼船向正北方

向低速航行.若两船航速不变，并且在。处会合，求：

(1)两点距离.

(2)AD两点的距离和捕鱼船的速度.

434

(参考数据：J3~l,7,sin53°~—,cos53°~—,tan530~—)

553

25.如图，在正方形ABC。的边8c上取点E,边C。的延长线上取点尸，使得BE=DF.

(1)求证：

(2)若BE=2,tanZAFD=3,求AG的长.

27.如图，在RaABC中，ZC=90°,N4BC的平分线80交4c于点。，DE_LDB交AB于点E,设。O

是ABOE的外接圆.

(1)求证：4c是O。切线；

(2)求证：xADEsXABD；

(3)若£>E=2,BD=4,求AE的长.

k

29.已知反比例函数旷=——和一次函数y=2x+6,其中一次函数的图象经过点A(-1,-3)和B(l,

m).反比例函数图象经过点B.

(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；

1k

(2)若直线y=—x+］交x轴于C,交y轴于。，点P为反比例函数y=5-(x>0)的图象上一点，过

P作y轴的平行线交直线CQ于E,过P作x轴的平行线交直线CD于F,

①请问：在该反比例函数图像上是否存在点尸，使△PFE竺AOCD?若存在，求点P的坐标：若不存在,

请说明理由.

②求证：为定值.

31.如图，抛物线y=-N+bx+c与x轴相交于A、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3),顶点为£>,

抛物线的对称轴DF与8c相交于点E,与x轴相交于点F.

(1)求抛物线和直线AC的解析式；

(2)在抛物线上是否存在点P,使以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，且4P为斜边？若存在,

求出点尸的坐标：若不存在，说明理由.

(3)设过E的直线与抛物线相交于点M(xi,yi),N5,>2),求|xi-伺的最小值.

参考答案

一、选择题(每小题4分，共40分)

I.下列各数中，最小的数是()

A.2B.-4C.-lD.0

【1题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据有理数的大小比较法则，即可求解.

【详解】解：

最小的数是-4.

故选：B

【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握正数大于零，零大于负数是解题的关健.

2.下列计算正确的是()

A.x^+x2—^4B.--a2C.(2x2)3=6x5D.x3?x2x5

【2题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数基相乘法则，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、/+*2=2/，故本选项错误，不符合题意；

B、故本选项错误，不符合题意；

C、（2/丫=8/，故本选项错误，不符合题意；

D、%3?%2x5＞故本选项正确，符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数基相乘，熟练掌握相关运算法则

是解题的关键.

3.下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.等腰三角形B.正三角形C.平行四边形D.正方形

【3题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】在一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴

对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形与另一个图形重合，这样的图

形叫做中心对称图形.

【详解】根据定义可得A、B为轴对称图形；

C中心对称图形；

D既是轴对称图形，也是中心对称图形.

故选：D.

考点：轴对称图形与中心对称图形

4.如图，于点C,CD//AB,NB=55°,则N1等于（）

R

A.35°B.45°C.55°D.65°

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】利用“直角三角形的两个锐角互余''的性质求得/A=35。，然后利用平行线的性质得到/1=NA=35。.

【详解】解：如图，［BC_LAE,

ZACB=90°.

：.ZA+ZB=90°.

又•；/B=55°,

NA=35°.

又CDHAB,

；.N1=NA=35°.

故选A.

5.如果点P（2x+6,x-4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为

A.____W/..B.[

D.

-34-34-34-34

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限

（+,+）；第二象限（一，+）；第三象限（一，一）；第四象限（+,-）.

2x+6>0

【详解】由点P（2x+6,x-4）在平面直角坐标系的第四象限内，得〈，八.

x-4<0

解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同

大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）.因此，

2x+6>0x>-3

=>-3<x<4.

x-4<0=x<4

【点睛】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（>,N向右画；

<,S向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个

数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时2"，"W”要用实心圆点表示；

“<”，“>”要用空心圆点表示.故选C.

6.如图，AB是。0的直径，AC.BC是。。的弦，直径OELAC于点P.若点。在优弧ABC上，AB=

8,BC=3,则。P的长为（）

【6题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据垂径定理求出AP=BP,根据圆周角定理求出/C=90。，根据勾股定理求出AC,求出4P根据

勾股定理求出OP,再求出答案即可.

【详解】解：；直径。ELAC,

：.AP=CP,

是。O的直径，

ZC=90°,

在RfZ\ABC中，AB=8,BC=3,

•*-AC=y/AB2-BC2=旧厅=V55，

AO=DO-BO——AB=工x8=4,

22

•••OP=>JAO2-AP2=业一（学了=|，

3

DP=DO+OP=4+-=5.5.

2

故选：C

【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识点，能根据垂直定理得出4P=8尸和根据圆

周角定理得出/C=90。是解此题的关键.

7.将抛物线），=/-2x+3向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的顶点坐标是（）

A.（-2,-1）B.（-2,1）C.（2,1）D.（2,-1）

【7题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】先得到抛物线产?一级+3的顶点坐标为（1,2）,则把点（1,2）向右平移1个单位，再向下平

移1个单位即可求得答案.

【详解】解：；抛物线y=%2—2x+3=（x—1J+2,

；•顶点坐标为（1,2）,

二则把点（1,2）向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到（2,1）.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是将抛物线产a（x—平移的问题转化为抛

物线的顶点（k,h）平移问题进行解决.

8.如图，在平行四边形ABC。中，AC是一条对角线，EF//BC,且EF与相交于点E,与AC相交于点

F,3AE=2E8,连接力凡若SAA"=4,则的值为（）

4D

一

BC

c26

A.6B.10C.15D.——

5

【8题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质可得SAABC=SAADC,再由EF//BC,可得△AEFs/viBC,再由相似三角形

的性质可得黑组=（空］=—,即可求解.

SABC{AB25

【详解】解:在平行四边形ABCD中,SAABC=SAAOC,

,JEF//BC,

・・・△AEFS"8C,

,町,

'：3AE=2EB,

.AF_AE_2

*'AC-Afi_5'

...S_AM_（丝［=A,。如=2,

S4ABeIAB）25S^ACD5

VSAAE?'=4,

•■SHADC=SAABC=25»

2,,、

.*.SAAO尸25X—=10.

故选：B

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，相

似三角形的判定和性质是解题的关键.

4

9.如图，。为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，s加/AOB=g,反比例函数

48

y=—在第一象限内的图象经过点A,与交于点F,则AAOF的面积等于（）

x

【9题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】解：过点A作AMJ_x轴于点M,如图所示

设OA=a,BF=b,

4

•・•在RSOAM中，ZAMO=90°,0A=a,sinZA0B=y,

/4_________3

AM=OAsinZAOB=-a,0M=sj/OA2-AM2=a,

34

・■•点A的坐标为（-a,—a）

55

48

・・,点A在反比例函数y二—的图象上，

x

.3412

・•一ax—a=—2ci=48,

5525

解得:a=10,或a=・10（舍去）,

AAM=8,OM=6

・・•四边形OACB是菱形,

.\OA=OB=10,

/.SAAOF=12S菱形AOBC=12OBAM=12x10x8=40

故选：D

【点睛】解反比例函数图象与几何图形的面积问题一般分为两类：一类是根据面积求一次函数或反比例函

数解析式，另一类是由已知的解析式求几何图形的面积，而求面积时，有时可利用反比例函数比例系数k

的绝对值，有时则利用几个几何图形面积的和差来求得.

10.如图，抛物线y=ox：2+bx+c（存0）过点（1,0）和点（0,-2）,且顶点在第三象限，设P=〃-b+c,

则下列判断错误的是（）

A.a+b=2

B.方程以2+bx+c-3=0有两个不相等的实数根

C.0<b<2

D.-1<P<O

【10题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】把点（1,0）和点（0,-2）,分别代入抛物线的解析式即可判断选项A、D,结合图象利用判别式

即可选项B;利用抛物线的对称轴变形换算即可判断选项C.

【详解】解：..•抛物线y=or2+/>x+c（存0）过点（1,0）和点（0,-2）,

6z+Z?+c-0>c=-2，

：.a+b=2,故选项A正确，不符合题意；

•..抛物线的开口向上，且与x轴有两个不同的交点，

«>0>b1-4<zc>0>

对于方程ax2+hx+c-3=O,A=Z?2-4a（c—3）=从-4ac+12a>0,

方程ax2+bx+c-3=0有两个不相等的实数根，故选项B不符合题意；

a+b=2,

b=2-a,a=2-b

又•..抛物线的顶点在第三象限，

.•___-<0,即-上葭。，

2a2a

：.2-a>0,解得aV2,...OVaVZ

0—2—b,

：.Q<2-b<2,

解得0VK2,故选项C正确，不符合题意；

"：P=a-b+c,c=-2,a+b=2,

P-a-b+c--^+2a>-4,P—-2Z?<0.

；.-4<pV0,故选项D不正确，

故选：D

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，熟知二次函数的图象和系数的关系是解题的关键.

二、填空题（每小题4分，共32分）

II.-8的立方根是.

[11题答案】

【答案】-2

【解析】

【分析】根据立方根的定义进行求解即可得.

【详解】解：•••(-2)3=-8,

-8的立方根是-2,

故答案为-2.

【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键.

12.甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是8.5环，方差分别是：扁=4,

5之=4.5,则射击成绩较稳定的是一(填“甲”或“乙”).

【12题答案】

【答案】甲

【解析】

【分析】根据方差的性质即可求解.

【详解1•••《＜sl，：.成绩较稳定的是甲

【点睛】此题主要考查利用方差判断稳定性，解题的关键是熟知方差的性质.

13.因式分解：a2b-a=.

【13题答案】

【答案】a(ah-1)

【解析】

【分析】提出公因式“，即可求解.

【详解】解：c^b-a—aCab-l).

故答案为：aCab-1).

【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键.

7r

14.分式——与^的和为4,则x的值为_________.

x—22—x

【14题答案】

【答案】3

【解析】

7x

【详解】解：首先根据分式一^与三匚的和为4,

x-22-x

〜口7x

可得：----+-----=4,

x—22—x

去分母，可得：7-x=4x-8,

解得：x=3,经检验x=3是原方程的解，

故答案为3.

15.如图，四边形ABCD中，ZA=90°,AB=3石，AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点（含

端点，但点M不与点B重合），点E,F分别为DM,MN的中点，则EF长度的最大值为.

【15题答案】

【答案】3

【解析】

【详解】解：VED=EM,MF=FN,

.\EF=—DN,

2

；.DN最大时，EF最大，

与B重合时DN最大，

此时DN=DB=^AD2+AB-=6，

，EF的最大值为3.

故答案为：3.

16.如图，过。。外一点尸引。。的两条切线附、PB,切点分别是A、B,0P交。。于点C,点力是优弧

ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接40、CD,若/AP8=80。，则NAOC的度数是.

O

A

【16题答案】

【答案】25°##25度

【解析】

【分析】连接Q4,利用切线的性质得到ZAPO=-AAPB=40°,再利用直角三角形的两

2

锐角互余求得NAOP,最后利用圆周角定理即可求得NAQC的度数.

【详解】解：连接。4，

'：PA.PB是。。的两条切线，ZAPB=80°,

J.OALPA,ZAP0=-ZAPB=4Q°,

2

...在Rt/VlOP中，ZAOP=9()0-ZAPO=50°,

ZA0C」ZAOP=25。,

2

故答案为：25°

【点睛】本题考查了切线的性质及圆周角定理，作出适当的辅助线是解题的关键.

17.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在

BC边上的点F处，那么cosNEFC的值是.

【17题答案】

3

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：根据翻转变换的性质得到/AFE=ND=90。，AF=AD=5,根据矩形的性质得到

ZEFC=ZBAF,根据余弦的概念计算即可.

由翻转变换的性质可知，/AFE=ND=90。，AF=AD=5,

.\ZEFC+ZAFB=90°,VZB=90°,

AZBAF+ZAFB=90°,/.ZEFC=ZBAF,cosZBAF=—=-,

BF5

33

.,.cosZEFC=|,故答案为

考点：轴对称的性质，矩形的性质，余弦的概念.

18.如图，已知直线与x轴、y轴相交于P、。两点，与丁=&的图象相交于A(-2,m)、B

X

(1,〃)两点，则点尸的坐标是.

【18题答案】

【答案】(-1,0)

【解析】

【分析】根据反比例函数的性质可得-2〃?=%再把点A(-2,〃力、B(1,〃)代入丫=切+方可得勺=匕，再

h

由当产0时，x=~~jT»即可求解.

k

【详解】解：；直线产Hc+b与x轴、y轴相交于尸、。两点，与y的图象相交于A(-2,山)、B(1,

X

九)两点，

^,k2=-2m=nt

-2k,+b=m2匕+b=m

：.<，即I7，

&+b=n的+b=-2m

解得：k、=b,

b

对于》=心工+6,当)=0时，X=~~T

k、

当产0时，尸T,

.••点尸的坐标为（T,0）.

故答案为：（T,0）.

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象和性

质是解题的关键.

三、解答题（本大题8小题，共78分）

19.计算：（3—7）°一2121160。+（—1）238+|一行］.

【19题答案】

【答案】2

【解析】

【分析】先根据零指数幕、特殊角三角函数值、乘方，二次根式的性质化简，再合并，即可求解.

【详解】解：（3-7）°一2121160°+（-1）2°|8+|-尼|

=1—2省+1+2百

=2

【点睛】本题主要考查了零指数累、特殊角三角函数值、乘方，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则

是解题的关键.

?7—22〃一1

20.先化简，再求值：=一一3-1--匕一），其中a是方程/7-1=0的根.

矿—1a+1

【20题答案】

【答案】一一，1

a~-a

【解析】

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒

数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，由a是方程/-X-1=0的根，将4a代入方程得到解一

。=1,代入化简后的式子中计算，即可求出值.

a—2

【详解】解：原式=

+—1)+1。+1)

a—2"—2Q

(a+l)(a—1)a+1

。-2a+1

-------------------x-------------

+Q(Q-2)

是方程N-x-1=0的根，

.*•42—a一]—0,

.".472—iZ=1>

二原式=1.

【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解、分式的化简求值.解答此题时，采用了“整体代入”思想是

解题的关键，避免了求〃的值的繁琐过程，而是直接将“2—〃=1整体代入化简后的代数式.

21.课外阅读是提高学生素养的重要途径.某校为了了解学生课外阅读情况，随机抽查了50名学生，统计

他们平均每天课外阅读时间（f小时）.根据r的长短分为A,B,C,。四类，下面是根据所抽查的人数绘

制的两幅不完整的统计图表.请根据图中提供的信息，解答下面的问题：

50名学生平均每天课外阅读时间统计表

类别时间f（小时）人数

Ar<0.510

B0.53VI20

Ca

D之1.5b

50名学生平均每天课外阅读时间条形统计图

（1）表格中“的值是，并在图中补全条形统计图；

（2）样本中的这组数据的中位数落在______类别中.

（3）该校现有1300名学生，请你估计该校共有多少名学生课外阅读时间不少于I小时？

【21题答案】

【答案】（1）15；（2）B；

（3）520（名）,见解析.

【解析】

【分析】（1）有条形统计图可知4=15,由抽查总人数减去A、B、C三类的人数，可知。类人数，即方值,

即可补全统计图；

（2）根据中位数的定义解答即可；

（3）先算出课外阅读时间不少于1小时的学生占比，再乘以1300即可.

【小问1详解】

解：由条形统计图可知，”=15,则〃=50-10-20-15=5,

即％的值为5,补充条形统计图如图所示，

50名学生平均每天课外阅读时间条形统计图

【小问2详解】

由于总人数为50人，故中位数为第25、26名同学，即B类，

故答案为：B；

【小问3详解】

由题意可知：抽查的50名学生中课外阅读时间不少于1小时的学生占比为：^^xl00%=40%,

.，•1300x40%=520（名），

答：该校共有520名学生课外阅读时间不少于1小时.

【点睛】本题主要考查样本的条形图的知识和分析问题以及解决问题的能力.

23.如图，我南海某海域4处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求

救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向25海里的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前

去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60。方向以每小时

40海里的速度航行半小时到达C处，再向南偏东53。方向航行.渔政船前去救援的同时，捕鱼船向正北方

向低速航行.若两船航速不变，并且在。处会合，求：

（1）co两点的距离.

（2）A。两点的距离和捕鱼船的速度.

434

（参考数据：6=1.7,sin53°~—,cos53°~—,tan530~—）

553

【23题答案】

【答案】（1）CD两点距离约为10海里；

（2）A。两点的距离为4海里，捕鱼船的速度为冷海里/时.

【解析】

【分析】（1）过点C作CGLA8于点G,过点。作CG于点F,在R2BCG中，解直角三角形求得CG

和8G的长，易得四边形ADFG是矩形，在RtACD尸中，ZCFD=90Q,NDCF=53°,求得CD的长；

（2）在RtaC。尸中，解直角三角形求得C凡易得A3,进而即可求解.

【小问1详解】

解：如图，过点C作CGLAB于点G,过点。作。尸，CG于点F,

在RIABCG中，

根据题意得：ZCBG=30°,BC=-x40=20（海里）

2

ACG=-BC=-x20=10（海里），

22

BG=2BC=2x20=10^«17（海里）,

22

VZCGA=90°,

...四边形AOFG是矩形，

OE=AG=AB-3G=25—17=8（海里），

白△CO尸中，ZCFZ>90o,

VZDCF=53°,

DF5

ACD=-------®8x-=10（海里），

sin5304

答：C£>两点的距离约为10海里;

【小问2详解】

在RSCQF中，ZCFD=90°,

♦；NDCF=53°，

DF3

CF=------®8x-=6（海里）,

相〃53°4

：.AD=FG=CG-CF=10-6=4（海里）,

•••渔政船航行时间为：（小时）,

2404

...捕鱼船的速度为：4--=—（海里/时）

43

答：4。两点的距离为4海里，捕鱼船的速度为日海里/时.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，结合航海中实际问题与解直角三角形的有关知识，解

题的关键是作辅助线构造直角三角形.

25.如图，在正方形ABC。的边8c上取点E,边CQ的延长线上取点F,使得BE=DF.

（2）若BE=2,tan/AF£>=3,求AG的长.

[25题答案】

【答案】（1）见解析（2）5

【解析】

【分析】⑴根据正方形的性质可得AB=AO,NB=/AQF=90。，即可求证;

(2)根据BE=2,BE=OF.tan/4尸。=3,可得AO=6,再根据正方形的性质可证得△OFGs/XCFE,从

T~\口

而得到——=­~,，进而得到。G=l,即可求解.

CECF

【小问1详解】

证明：在正方形ABCO中，AB=AD,/8=/AOC=90°,

AZB=ZADF=90°,

,/BE=DF,

：./\ABE^/\ADF；

【小问2详解】

解：'：BE=2,BE=DF.

：.。尸=2,

；tan/AFD=3,即'——=3,

DF

解得：AD=6,

在正方形ABC。中，AD=BC=CD=6,AD//BC,

：./\DFG^/\CFE,C尸=8,CE=4,

.DGDF

・•-，

CECF

----,解得：DG=\,

4---8

：.AG=AD-DG=5.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三

角形，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键.

27.如图，在R/ABC中，ZC=90°,NA8C的平分线BO交AC于点。，£>E_L£>8交A8于点E,设。O

是ABOE的外接圆.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)求证：&ADEs△ABD：

(3)若£>E=2,BO=4,求AE的长.

【27题答案】

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析（3）正

3

【解析】

【分析】（1）连接0。,根据DELDB,得BE是直径，再利用角平分线的定义和等腰三角形可证/OOC=90°,

从而证明结论；

（2）利用同角的余角相等可得从而证明结论；

AEED2

（3）由（2）知△AOEs/viB。，得——=——=一，则4）=2AE，在Rf/VlO。中，利用勾股定理可得

ADDB4

方程.

【小问1详解】

证明：连接。£>,

'JDELDB,

...BE是直径，点。是BE的中点,

,/ZC=90°,

；.NDBC+NBDC=90°,

又为NA8C的平分线，

，ZABD=ZDBC,

'：OB=OD,

：.ZABD=ZODB,

：.ZODB+ZBDC=90°,

g|JZODC=90°,

又「。。是。。的半径,

；.AC是。。的切线；

【小问2详解】

证明：：8。为/ABC的平分线，

ZABD=ZCBD,

ZCBD+ZBDC=90°,ZBDC+ZADE=90°,

：.NABD=NADE,

又；/A=/4,

，AADf^AABD；

【小问3详解】

VDELDB,DE=2,BD=4,

:•BE=2逐,0E=5

由（2）得：△AQES/XAB。，

,AEED2

••茄一花―"

；•AD=2AE,

在町△AOO中，由勾股定理得：（石+AE『=（石了+（2AE）2,

解得：AE=-^AE^0（舍去）

3

；•AE=­

3

【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性

质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质得出AQ=24E是解题的关键.

29.已知反比例函数丁=上和一次函数y=2x+6,其中一次函数的图象经过点A(-1,-3)和B(1,

2x

m).反比例函数图象经过点B.

(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式;

1k

(2)若直线y=-x+-交X轴于C,交y轴于力，点P为反比例函数y=—(x>0)的图象上一点，过

22x

P作y轴的平行线交直线CD于E,过P作x轴的平行线交直线CO于F,

①请问：在该反比例函数图像上是否存在点P,使△PFEgAOCD?若存在，求点尸的坐标；若不存在，

请说明理由.

②求证：为定值.

【29题答案】

【答案】(1)y=‘；y=2x-l

X

(2)①不存在，理由见解析；证明见解析

【解析】

【分析】(1)A(-1,-3)和B(1,机)分别代入y=2x+b,转化为关于加，”的方程组解答即可；

(2)①设P点的坐标为：(。，-),得到-),E(<Z,-a+~),由题意得，当

a2aa2

P/7=PE=OC=』时，△PFE四△0C£>,即PFu。——\=a---1—=—,化为一般方程为：

2(2a)2a2

4a2_。+4=0，由于AV。，得到4/一。+4=0没有实数根，即可证明结论;②作轴

于M,EMLy轴于M构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，将DE・CF转化为反比例函数系

数的倍数解答.

【小问1详解】

解：：y=2x+b的图像经过A(-1,-3)和B(1,M两点，

-2+b=-3

?.<

2+b=m

'-2+b=-3

解得:

2+b=m

：.B(1,1)

•反比例函数y=K的图像经过点以

2x

1=-,

2

解得：k=2

反比例函数的解析式为：y=~,一次函数的解析式为：y=2x-l；

X

【小问2详解】

解：①不存在.

理由如下：当y=0时，-x+-=0,

2

1

・・X=一，

2

当x=0时，＞=；，

OC=OD=-,

2

AOCD是等腰直角三角形，

设P点的坐标为：("，-).

a

把)'=一代入y=~xH—,得：x-------,

a22a

把x=a代入y=-x+鼻，得：y—a+—,

：.F(---,-),E(a,-a+-),

2aa2

由题意得，PE〃y轴，PF〃x轴，

PE//OC,ZFPE=ZCOD=90°,

ZPFE=ZOCD,

当尸尸=依=。。='时，APFE冬/XOCD,

2

化为一般方程为：