-真值表及其作用

第六节真值表及其作用

一、真值表及其画法真值表是以表格的直观形式表示与判定判断真值和推理有效性的一种逻辑方法。

【真值表：能显示一个复合判断在它的支判断的各种组合下的真假情况的图表。】

.

注意问题：

在二值逻辑中，判断的真值只限于判断取值为真、为假两种情况。

推理有效性即推理形式的正确性，包括推理有效和无效两种情况。

真值表的简单与复杂，主要取决于支判断和逻辑联结词的多少。

.1.列出各种真值组合:运用给定判断形式中的所有变项,列出这些判断的各种真值组合运用真值表方法的步骤.2.分解判断形式：根据判断形式的构成过程，从左至右由简而繁的列出所给定判断形式的各个组成部分（子公式）；被判定的公式（原公式）列在最后。.3.计算每个组成部分真值：根据已学过的联言判断、选言判断、假言判断、负判断的真值表，计算出每个组成部分的真值，依次给出表中所有公式的真值。4.得出需要判定的复合判断的真值并作出判定..

二、真值表的作用（一）定义复合判断逻辑联结词.（二）判定判断之间的逻辑关系

pq¬(p∨q)¬p∧¬q

TTFF

FTFFFFTT

TFFF

（p∨q）←→

p∧

q

.（二）判定判断之间的逻辑关系

pqp∨q¬p∧¬q

TTT

F

FTT

FFFF

T

TFT

F

（p∨q）与

p∧

q是矛盾关系.（三）判定推理形式是否为有效式若某推理形式的真值是恒真的，则它是有效的，否则它是无效的。推理有效式的真值总是真的(永真式).例1：下列ABC三个判断不同真，可否断言小金是否当选班长，小赵是否当选学习委员？

A:小金不当选班长或者小赵当选学习委员

B:小赵当选学习委员

C:小金当选班长或者小赵当选学习委员解：①令p表示“小金当选班长”，q表示“小赵当选学习委员”②把ABC符号化为：A:(┓p∨q)B:qC:(p∨q)③列真值表如下：.④由表第3、5行得知，ABC不同真⑤由此可断定p真或假，q假,即：能断定小赵没当选学习委员不能断定小金是否当选班长

A

C

BP:小金当选班长小赵当选学习委员q:.例2：甲、乙、丙三人争夺象棋比赛的前三名。小林预测，“只有甲第一，丙才第二”。小刘预测，“丙不是第二”。

事实证明两人中只有一人的预测为真，请回答甲、乙、丙三人的名次。解：①令p表示“甲第一”，q表示“丙第二”

②小林的预测:(p←q)

小刘的预测:┓q

③列真值表如下:.④由真值表第2行可得，当p、q均真时，判断┓q与(p←q)不同真。⑤由此可得：甲第一、丙第二、乙第三。P：甲第一，q：丙第二。小林预测小刘预测.

例3：用真值表判定下列推理是否有效。

或者逻辑难学，或者没有多少学生喜欢它。如果数学容易学，那么逻辑不难学。因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么学数学并不太容易。

解：令p表示“逻辑难学”，q表示“许多学生喜欢逻辑”，r表示“数学容易学”。则该推理的真值形式是：

((p∨┓q)∧(r→┓p))→(q→┓r).（（p∨┓q）∧（r→┓p））→（q→┓r）的真值由上述真值表可得该推理是有效的。.【练习题】一、填空题1.若p←q取值为假，则p∧q取值为（

）。2.由“p∧q”真能推出“p∨q”（）。3.已知p∧(q→r)与非r均真，则q取值为（）。4.若p为任意值，要使p←q为真，q应取（）值。5.“（p∧q）→p”这个推理是联言推理的（）式。答案：1.假；2.真；3.假；4.假；5.分解.6.与“并非做坏事而不受惩罚”这个判断等值的充分条件假言判断是（）。7.“只有通过考试，才能录取”转换为等值的充分条件的假言判断是（）；转换为等值的联言判断的负判断是（）。8.“并非小王既是大学生又是运动员”等值于选言判断（）；也等值于充分条件假言判断（）。答案：6.如果做坏事，那么要受惩罚。

7.如果要被录取，那么要通过考试；并非不通过考试而能被录取。

8.小王或者不是大学生，或者不是运动员；如果小王是大学生，那么他不是运动员。.9.负判断的支判断与负判断的等值判断之间是（

）关系。10.“并不是除非你让步，他才能签字”这一负判断的的等值判断是（）。11.以“如果p那么q”和“如果r那么s”为假言前提进行二难推理，则推出的结论可以是（）、（）。答案：9.矛盾。10.你不让步他也签字。

11.q或s，非p或非r。.二、下列判断是何种判断？写出它们的结构式。1.在掌握好专业知识的同时，还必须学好逻辑。

联言判断；p∧q2.只要改正了错误，就表明已经认识了错误。

充分条件假言判断；p→q3.并非旅游团明天去纽约，或者去旧金山。

相容选言判断的负判断；

(p∨q)4.如果事故不是机械故障，那么就一定有人破坏，这种说法不对。

充分条件假言判断的负判断；

(p→q)5.除非有效地治理污染，否则不能保护环境。

必要条件假言判断；p←q.三、指出下列判断中哪些具有等值关系，并写出它们的等值式。1.如果甲公司不中标，则乙公司一定中标。2.并非甲公司中标并且乙公司中标。3.或者甲公司不能中标，或者乙公司不能中标。4.或者甲公司中标，或者乙公司中标。1与4等值;“如果非p,那么q”等值于“或者p,或者q”2与3等值;“并非(p并且q)”等值于“或者非p,或者非q”.四、写出下列判断的等值判断和矛盾判断。1.如果某化合物具有很强的毒性，那么就要严格限制生产。

等值判断：“只有严格限制它生产，某化合物才具有很强的毒性。”

矛盾判断：“某化合物具有很强的毒性，但并非严格限制生产它”。2.只有不喜欢吃川菜的人，才喜欢吃粤菜。

等值判断:“如果是喜欢吃粤菜的人,那么他不喜欢吃川菜。”

矛盾判断:“喜欢吃川菜的人,并且也喜欢吃粤菜”。.3.旗杆上飘扬的是一面红旗,并且是五星红旗。

等值判断：“并非旗杆上飘扬的或者不是红旗，或者不是五星红旗。”

矛盾判断：“如果旗杆上飘扬的是红旗，那么它不是五星红旗。”4.并非小王是特种兵，或者是专业运动员。

等值判断:“小王不是特种兵,并且不是运动员。”

矛盾判断:“小王或者是特种兵,或者不是运动员。”.

五、写出下列符号公式的真值表(p∨

p)→∧(

q∧q).

六、指出下列推理的种类，写出结构式，并分析是否正确。

1.如果李楠去参加辩论赛，她就不能来上课；李楠没来上课；所以，他准备去参加辩论比赛了。

充分条件假言推理肯定后件式；推理不正确。

2.票房收益好的新影片，或者由于艺术性高，或者不是由于艺术性高而有其他原因；上周新片排行榜第一的影片是由于艺术性高；可见，不是因为别的原因。

不相容选言推理的肯定否定式；推理正确。.3.只有海平面明显地加速上涨，才说明极地冰山融化将会给人类的生存带来威胁；海平面近十年来并未明显上涨；因此，极地冰山融化短期内不会给人类的生存带来威胁。

必要条件假言推理的否定前件式；推理正确。4.和平而安宁地生存是绝大多数人的愿望，所以，绝大多数人渴望和平或者反对恐怖主义和战争。

相容选言推理的肯定肯定式；推理正确。

.七、以下列各组判断作前提能否必然推出结论？如果能，可推出什么结论？

1.只有经过严格考试和体验,才能成为飞行员;飞行学校的毕业生都经过了严格的考试和体验;所以:

不能。必要条件假言推理，由肯定前件不能必然推出结论。

2.大学生乐于上互联网,或者是喜欢聊天,或者是迷恋游戏,或者是查找资料;小陈整天泡在网上既不聊天,也不查资料;所以:

能。结论为：小陈乐于上网是迷恋游戏。

(相容选言推理的否定肯定式).3.如果李刚去参加联欢会，则王亮、孙凯和黄平都会去；王亮没去参加联欢会；所以：

能。结论为：李刚没去参加联欢会。

(充分条件假言判断的否定后件式)4.并非午夜天上最亮的星星，或者是牛郎星，或者是织女星；所以：

能。结论为：午夜天上最亮的星不是牛郎星，也不是织女星。(相容选言判断负判断的等值判断)5.如果所有的鸟都会飞，并且鸵鸟是鸟，则鸵鸟会飞；鸵鸟是鸟，但鸵鸟不会飞；因此：

能。结论为：并非所有的鸟都会飞(或者:有些鸟不会飞)(反三段论).八、选择题1.两个假言判断形式相同，其相同的是A.前件和后件B.前件和联结词C.前件和后件D.联结词答案：D2.若“如果某甲掌握了两门外语，那么它精通逻辑”为假，则下列为真的是A.某甲掌握了两门外语并且精通逻辑B.某甲掌握了两门外语但不精通逻辑C.某甲没掌握两门外语但精通逻辑D.某甲没掌握两门外语也不精通逻辑答案：B.3.“如果张红是教师，那她一定学过心理学。”上述判断是从下面哪个判断中推论出来的？A一个好教师应该学习心理学。B.只有学过心理学的人才可以做教师。C.有些教师真的不懂心理学。D.心理学知识有助于提高教学效果。答案：B4.在下列判断中与“非p或者非q”等值的判断是A.并非(非p并且非q)B.并非(p并且q)C.如果p，那么非qD.如果非q，那么pE.如果非p，那么q答案：BC.5.“不是在保守中落后，就是在改革中进步”与“不是在保守中落后，而是在改革中进步”这两个判断A.都是选言判断B.前者为选言判断，后者为联言判断C.都是联言判断D.前者为联言判断，后者为选言判断答案：B6.“只有触犯刑律，才能构成犯罪”作为假言前提进行假言推理，另一前提可以是A.触犯刑律B.没有构成犯罪C.构成了犯罪D.没有触犯刑律E.未构成犯罪答案：CD.7.以（1）非q、（2）p∨q、（3）p→r为前提的集合，推出结论r，所用的推理形式有A.选言推理肯否定式B.联言推理分解式C.选言推理否定肯定式D.充分条件假言推理肯定前件式E.充分条件假言推理否定后件式答案：CD8.以(1)p→q(2)r→q(3)s→p∨r(4)s为前提进行推理，结论为A.pB.非pC.qD.非q答案：C.9.命题“S不是刑警，也不是交警”与“如果S不是刑警，则他是交警”，在真值上的情况是:A.可同真，可同假B.可同真，不同假C.不同真，可同假D.不同真，不同假答案：D。.九、表解题1.甲、乙、丙三位领导发表了下列意见。请用真值表解答：是否有一种方案可同时满足甲、乙、丙的意见。甲:如果小张去黄山,那么小刘也去黄山。乙:只有小张去黄山,小刘才去黄山。丙:或者小张去黄山,或者小刘去黄山。答案：小张与小刘都去黄山。.

解：设p为小张去黄山，q为小刘去黄山。则将题中条件符号化为：甲:p→q乙:p←q丙:p∨q

列真值表得：

甲乙丙由以上真值表可知当小张和小刘都去黄山时，可以同时满足甲乙丙三位领导的意见。.2.列出A、B、C三判断的真值表，并回答A、B、C中恰有两假时，能否断定甲村所有人家有彩电、能否断定乙村有些人家没有彩电？A:只有甲村有些人家没彩电,乙村所有人家才有彩电B:甲村所有人家有彩电并且乙村所有人家有彩电C:或者甲村所有人家有彩电或者乙村所有人家有彩电请问当A、B、C恰有两假时，不能断定甲村所有人家有才电；可以断定乙村有些人家没有彩电。答案：当A、B、C恰有两假时，不能断定甲村所有人家有才电；可以断定乙村有些人家没有彩电。

.十、综合题1.某部侦察连长接到一项紧急任务,要它在代为A、B、C、D、E的五个侦察员中挑选两人深入敌区了解敌情,人选的配备要注意以下几点：(1)如果B不去，则A也不能去；(2)只有C去，B才能跟着去；(3)若D去，则E也去；(4)或A去，或D去；(5)因某种原因C不能去执行任务。请问：侦察连长应挑选哪两个人深入敌区？写出推理过程答案：挑选DE深入敌区.2.某案的两名凶手在A、B、C、D、E五人之中,在下列条件下凶手是谁？请写出推理过程。(1)只有A是凶手，B才是凶手。(2)只要D不是凶手，C就不是凶手。(3)或B是凶手，或C是凶手。(4)D没有E为帮凶，就不会作案。(5)E没有作案时间。答案：凶手是A、B.3.(1)A真包含于B。

(2)有C不是B。

(3)若C不是真包含A，则C真包含于A。试确定A、B、C三者的外延关系，并用欧拉图表示出来。解析：由(1)(2)得(4)“有C不是A”(三段论推理)；由(3)(4)得(5)“C真包含A”(充分条件假言推理否定后件式)。欧拉图略。.4.设(1)有P是S；

(2)如果有S不是M，则有S是M；

(3)有P不是S(4)M都不是P

这四句话中只有一句是真的。请问：哪一句是真的？S与P是何种外延关系？解析:由(1)(3)为下反对关系可知二者必有一真,则(2)(4)必假。由(2)假得“有S不是M,且所有S不是M”；由(4)假得“有的M是P”。由“所有S不是M”与“有的M是P”，组成三段论推理得:“有P不是S。即(3)真,(1)假,所以S与P的外延是全异关系。.

5.请根据下列已知条件，推出B与C、A与B、D与C的外延关系，将推导过程写出来，并分别用欧拉图表示出来。（1）只有A与B交叉，B与C才全同；（2）如果A与B相容，那么D与C全异；（3）B是C并且C是B。

答案：B与C是全同关系，A与B是交叉关系，D与B、C是全异关系，D与A

是交叉或全异关系。.6.在某案件中，已确认的事实如下：①只有破获317号案件，才能确认甲、乙、丙三人都是罪犯；②317号案件没有破获；③如果甲不是罪犯，则甲的供词是真的，而甲说乙不是罪犯；④如果乙不是罪犯，则乙的供词是真的，而乙说自己和丙是好朋友；⑤经查，丙根本不认识乙。上述陈述可逻辑地推出何种结论？（请写出推理过程及推理依据）结论：甲乙是罪犯，丙不是罪犯。.

解:由①②得⑥：或者甲不是罪犯，或者乙不是罪犯，或者丙不是罪犯(必要条件假言推理否定前件式)；由④⑤得⑦：乙是罪犯(充分条件假言推理否定后件式)；由③⑦得⑧：甲是罪犯(充分条件假言推理否定后件式)；由⑥⑦⑧得⑨：丙不是罪犯(选言推理否定肯定式)。

所以，甲乙是罪犯，丙不是罪犯。.7.已知命题：(1)甲与乙只有一人能进入复试；(2)如果甲没有进入复试，则乙就进入复试；(3)如果丙没进入复试，那么甲就进入复试；(4)只有丁进入复试，丙才进入复试。上列命题中，(1)、(2)假，(3)、(4)真，由之可必然得出何结论？

结论：丙与丁进入了复试。.

8.在某地的新农村建设规划中，农民的意见主要集中为如下三点：

①医院、学校至少有一样；

②如果学校、商店都有，那么必须有医院；

③医院、商店至多有一样。请问，如果完全尊重上述意见，那么是否要建商店？请写出推导过程及推理依据。

答案：不建商店。.解：假设要建商店。由③得：“不建医院”④（不相容选言推理的肯定否定式）；由①④得：“要建学校”⑤（相容选言推理的否定肯定式）；由②⑤得：“必须建医院”⑥（充分条件假言推理肯定前件式）。此与假设要建商店相矛盾，所以假设不成立，因此，如果完全尊重农民的意见就不要建商店。.9.在某一案件中，对四个嫌疑人中到底哪一个是作案人，刑警们的预测是：A：作案人或者是甲，或者是乙。B：如果丙不是作案人，丁也不是作案人。C：甲不是作案人。破案后发现，刑警们的预测中，只有一句是对的。作案者到底是谁呢？

答案：作案者是丁。.10.用自然推理的方法证明下列推理的有效性。（1）E→（F∨G）（2）（F∨G）→H，（3）E/∴H11.写出由下列前提出发，推出“C”的推理过程。（1）（A∨B）（2）（B→┐D）（3）（D←┐C）（4）（┐A∧E）.

教材130页第11题解析：

1.“老张比教授个子高”，“工人不是老赵就老李”，意味着老张不是教授，也不是工人。

2.“医生比教授个子矮”,意味着教授比医生高,而“老张比教授高”,所以老张一定比医生高,故老张也不是医生。综合1,可知老张只能是司机。

3.“工人不是老赵就老李”，假如工人是老李，那么依“工人比司机（老张）高”与“老张高于教授与医生”，可得出工人老李个子最高，与（2）“老李比老王个子矮”矛盾。所以工人不能是老李，只能是老赵。

4.再依据“老王高于老李”与“教授高于医生”，可知老王是教授，老李是医生。.关于模态判断

1.模态判断的定义

模态判断就是断定事物情况的必然性或者可能性的判断。

(1)任何人都可能犯错误。

(2)他可能不知道山理工的地址。

(3)商品房的价格必然会继续上涨。

(4)明天必然不会下雨。.2.模态判断的基本形式从形式上看，模态判断的特点就是在句中包含了模态词，常见的模态词主要有两种：一种表示必然，常见的词语有：一定，必定，肯定，必然等。一种表示可能，常见的词语有：可能，或许，有可能等。.

模态词与判断的肯定、否定相结合则构成了模态判断的四种基本形式，即：必然肯定判断：必然p

例如：今天必然会下雨。必然否定判断：必然非p

例如：成功必然不会是等来的。可能肯定判断：

例如：中国在2030年经济可能超过美国。可能非p

例如：他可能不适合做这件事。.3.模态判断各形式之间的关系必然非p可能p可能非p反对关系下反对关系矛盾关

系矛盾关系从属关系从属关系必然p.