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文档简介
大理州民族中学2023-2024学年上学期12月月考高一数学考试时间:120分钟一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设为实数,且,则下列不等式正确的是()A. B.C. D.2.函数的图像关于()A.轴对称 B.直线对称 C.坐标原点对称 D.直线对称3.下列角中,与角终边相同的角是()A. B. C. D.4.函数的零点所在区间为()A. B. C. D.5.已知集合,,则()A. B. C. D.6.已知函数,,的图象如图所示,则()A. B.C. D.7.扇子是引风用品,夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长,是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具,后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多,受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇,是用竹木做扇骨,用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形(如图2),若图2中,,分别在,上,,的长为,则该折扇的扇面的面积为()图1图2A. B. C. D.8.若,则实数的取值范围是()A B.或 C. D.或二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.9.下面说法正确的有()A.化成弧度是;B.终边在直线上的角的取值集合可表示为;C.角为第四象限角的充要条件是;D.若角的终边上一点的坐标为,则.10.已知正数满足,则下列选项正确的是()A.的最小值是2 B.的最大值是1C.的最小值是4 D.的最大值是11.下列说法正确的是()A.命题“,”的否定是“,”B.“”是“”的必要不充分条件C.“”是“”的充分不必要条件D.“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件12.已知函数,下列结论不正确的是(
)A.若,则B.C.若,则或D.若方程有两个不同实数根,则三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数的单调递增区间是__________14.若角的终边过点,则的值是______.15.已知是定义在上的奇函数,且时,,则___________.16.若函数在上只有一个零点,则实数的取值范围是__________.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算:(1);(2).18.已知函数是定义在上的偶函数,当时,.(1)求函数的解析式;(2)求方程的解集.19.已知对数函数的图象经过点.(1)求不等式解集;(2)已知函数的反函数为,,求在上的最大值和最小值.20.已知函数是定义在上的奇函数.(1)确定的解析式;(2)用定义证明:在区间上是减函数;(3)解不等式.21.塑料袋给我们生活带来了方便,但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量,为光解系数(与光照强度、湿度及氧气浓度有关),为塑料分子聚态结构系数.(参考数据:)(1)已知塑料分子聚态结构系数是光解系数90倍,若塑料自然降解到残留量为初始量的时,大约需要多少年?(2)为了缩短降解时间,该品牌改变了塑料分子聚态结构,其他条件不变.已知2年就可降解初始量的.要使残留量不超过初始量的5%,至少需要多少年?22.已知.(1)若的值域为,求实数的取值范围;(2)已知,当时,若对任意,总存在,使成立,求实数的取值范围.大理州民族中学2023-2024学年上学期12月月考高一数学考试时间:120分钟一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设为实数,且,则下列不等式正确的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】由题意可知,即A错误,B正确;若,即C、D错误.故选:B2.函数的图像关于()A.轴对称 B.直线对称 C.坐标原点对称 D.直线对称【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性,即可得解.【详解】因为定义域为,且,所以为奇函数,函数图象关于原点对称.故选:C3.下列角中,与角终边相同的角是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据终边相同的角的知识确定正确选项.【详解】与角终边相同的角是,令,得.故选:C4.函数的零点所在区间为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意,由零点存在定理,代入计算,即可判断.【详解】函数是定义域上的增函数,又,,所以,所以函数的零点所在区间为.故选:B.5.已知集合,,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据对数函数的真数取值范围和指数函数的单调性解出集合,再求结果即可.【详解】因为集合的代表元素是,由对数函数的意义可知,所以,而集合,所以,故选:D6.已知函数,,的图象如图所示,则()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数图象可确定大小关系,结合指数函数单调性可得结果.【详解】由图象可知:,.故选:C.7.扇子是引风用品,夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长,是中华文化一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具,后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多,受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇,是用竹木做扇骨,用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形(如图2),若图2中,,分别在,上,,的长为,则该折扇的扇面的面积为()图1图2A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得,再根据扇环的面积公式求得正确答案.【详解】依题意,,所以,所以该折扇的扇面的面积为.故选:D8.若,则实数的取值范围是()A. B.或 C. D.或【答案】B【解析】【分析】将不等式化成同底,即可得答案;【详解】,或解得:或,故选:B.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.9.下面说法正确的有()A.化成弧度是;B.终边在直线上的角的取值集合可表示为;C.角为第四象限角的充要条件是;D.若角的终边上一点的坐标为,则.【答案】AD【解析】【分析】根据角度制与弧度制的转化可判定A,由终边相同的角的概念可判定B,由象限角的三角函数值符号可判定C,由三角函数的定义可判定D.【详解】根据角度制与弧度制的转化得,即A正确;易知终边在直线上的角与的角的终边相同,故其取值集合可表示为,即B错误;易知第四象限角余弦为正数,故C错误;由三角函数的定义可知角的终边上一点的坐标为,则,即D正确.故选:AD10.已知正数满足,则下列选项正确的是()A.的最小值是2 B.的最大值是1C.的最小值是4 D.的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】根据题中条件及基本不等式,逐项分析即可.【详解】因为,所以,则,当且仅当时,等号成立,即的最小值是2,故A正确;因为,所以,当且仅当时,等号成立,即的最大值是1,故B正确;,当且仅当时,等号成立,即的最小值是,故C错误;因为,当且仅当,即时等号成立,即的最大值是,故D正确,故选:ABD.11.下列说法正确的是()A.命题“,”的否定是“,”B.“”是“”的必要不充分条件C.“”是“”的充分不必要条件D.“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件【答案】CD【解析】【分析】写出全称量词命题的否定判断A;利用充分条件、必要条件的定义判断BCD.【详解】对于A,命题“,”是全称量词命题,其否定为:,,A错误;对于B,显然成立,必有成立,即是的充分条件,B错误;对于C,当时,成立,反之,当时,不一定成立,如,因此“”是“”的充分不必要条件,C正确;对于D,当时,方程中,,方程有两个不等实根,有,因此一正一负,反之,方程两根一正一负,则,此时,因此“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件,D正确.故选:CD12.已知函数,下列结论不正确的是(
)A.若,则B.C.若,则或D.若方程有两个不同的实数根,则【答案】ABC【解析】【分析】选项A分情况代入的值讨论即可;选项B直接把代入分段函数求值;选项C分情况讨论;选项D利用函数单调性求分段函数图像与直线的交点分析即可.【详解】对于:当时,,解得;当时,,解得,则或,故选项不正确;对于:,,故选项不正确;对于:当时,,即,解得;当时,,解得,则或,故选项不正确;对于:函数在上单调递增,值域为,则时,,函数在上单调递减,值域为,则时,,因此,方程有两个不同的实数根,则,故选项正确.故选:ABC三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数的单调递增区间是__________【答案】【解析】【分析】根据二次函数与指数函数的单调性,结合复合函数的单调的判定方法,即可求解.【详解】设,即,可得函数的图象表示开口向下,对称轴为的抛物线,所以在上单调递增,在上单调递减,又由函数在定义域上为单调递减函数,结合复合函数的单调性的判定方法,可得函数单调递增区间为.故答案为:.14.若角的终边过点,则的值是______.【答案】##【解析】【分析】根据题意,由三角函数的定义,代入计算,即可得到结果.【详解】因为角的终边过点,则.故答案为:15.已知是定义在上的奇函数,且时,,则___________.【答案】【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求出.【详解】因为是定义在上的奇函数,所以,即有.故答案为:.16.若函数在上只有一个零点,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据题意,将函数零点问题转化为方程根的问题,然后分离参数,构造函数,即可得到结果.【详解】,设,,令在上单调递减,故.故答案为:四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算:(1);(2).【答案】17.318.4【解析】【分析】(1)按照指数幂的运算性质及对数运算性质进行运算即可;(2)按照对数运算性质及换底公式进行运算即可.【小问1详解】原式【小问2详解】原式..18.已知函数是定义在上的偶函数,当时,.(1)求函数的解析式;(2)求方程的解集.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)当,则,利用题中条件即可求得的表达式,最后写成分段函数的形式;(2)令,则,利用建立方程解出后,再解关于的方程即可.【小问1详解】设,则因为是定义在上的偶函数,则所以【小问2详解】令,则因为是定义在上的偶函数,所以所以或(不合题意,舍去)∴或∴或所以方程的解集为.19.已知对数函数的图象经过点.(1)求不等式的解集;(2)已知函数的反函数为,,求在上的最大值和最小值.【答案】(1)(2),【解析】【分析】(1)由待定系数法求出,解对数不等式即可.(2)运用换元法将问题转化为求,的最值即可.【小问1详解】设(且),则,所以,所以,由可得,即,即,解得.所以不等式的解集为.【小问2详解】依题知,,故,令,则,又因为,所以,所以,即,,所以当时,;当时,.所以在上的最大值为3,最小值为.20.已知函数是定义在上的奇函数.(1)确定的解析式;(2)用定义证明:在区间上是减函数;(3)解不等式.【答案】(1);(2)详见解析;(3)【解析】【分析】(1)本题可根据求出的解析式;(2)本题可在上任取、且,然后通过转化得出,即,即可证得结论;(3)本题首先可根据奇函数性质将转化为,然后根据减函数性质转化为,最后通过计算即可得出结果.【详解】(1)因为,所以,因为函数是奇函数,所以,即,解得,(2)在上任取、,且,则,因为,,,,所以,,在区间上是减函数.(3)因为是定义在上的奇函数和减函数,所以即,,则,解得,不等式的解集为.【点睛】关键点点睛:本题考查利用函数奇偶性求函数解析式、定义法判断函数单调性以及利用函数性质解不等式,偶函数满足,奇函数满足,考查计算能力,考查化归与转化思想,是中档题.21.塑料袋给我们生活带来了方便,但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量,为光解系数(与光照强度、湿度及氧气浓度有关),为塑料分子聚态结构系数.(参考数据:)(1)已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍,若塑料自然降解到残留量为初始量的时,大约需要多少年?(2)为了缩短降解时间,该品牌改变了塑料分子聚态结构,其他条件不变.已知2年就可降解初始量的.要使残留量不超过初始量的5%,至少需要多少年?【答案】(1)144年(2)26年【解析】【分析】(1)由题意代入条件式运算得解;(2)由题意得,可求出,然后解不等式可得结果.【小问1详解】由题可知,所以,所以,解得,所以残留量为初始量的,大约需要144年.【小问2详解】根据题意当时,,,,若残留量不超过初始量的,则,即两边取常用对数,解得,所以至少需要26年.22.已知.(1)若值域为,求实数的取值范围;(2)已知,当时,若对任意的,总存在,使成立,求
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