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2023-2024学年江苏省南京市秦淮区八年级(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上)1.(2分)下列手机应用的图标是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.(2分)将下列长度的三根木棒首尾顺次连接,能组成直角三角形的是()A.1,2,3 B.2,3,4 C.4,5,6 D.5,12,133.(2分)点A(2,﹣1)关于x轴对称的点B的坐标为()A.(2,1) B.(﹣2,1) C.(2,﹣1) D.(﹣2,﹣1)4.(2分)如图,EC⊥BD,垂足为C,A是EC上一点,且AC=CD,AB=DE.若AC=3.5,BD=9,则AE的长为()A.2 B.2.5 C.3 D.5.55.(2分)如图,一次函数的图象与y=kx+b的图象相交于点P(﹣2,n),则关于x,y的方程组的解是()A. B. C. D.6.(2分)如图,用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体,沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中,最短路径的长是()A.5 B. C. D.二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.请把答案填写在答题卷相应位置上)7.(2分)=.8.(2分)在实数,,,3.1415,中,无理数有个.9.(2分)比较大小:﹣1(填“>”“<”或“=”).10.(2分)如图,∠1=∠2,要使△ABC≌△ADC,还需添加条件:.(填写一个你认为正确的即可)11.(2分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点,若x1>x2,则y1y2.(填“>”“<”或“=”)12.(2分)在等腰三角形ABC中,∠A=2∠B,则∠C的度数为.13.(2分)已知一次函数y=x﹣m+3(m为常数)的图象与y轴的交点在x轴的上方,则m的取值范围为.14.(2分)如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为.15.(2分)在课本上的“数学活动折纸与证明”中,我们曾经两次折叠正方形纸片(如图).若正方形纸片的边长为2cm,则EA'的长为cm.16.(2分)如图,一次函数的图象与x轴交于点A.将该函数图象绕点A逆时针旋转45°,则得到的新图象的函数表达式为.三、解答题(本大题共10小题,共68分,请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6分)计算:(1);(2).18.(6分)求下列各式中的x.(1)3x2﹣12=0(2)(x﹣1)3=﹣6419.(6分)已知:如图,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.求证:(1)△ABD≌△ACE;(2)∠ADE=∠AED.20.(7分)一次函数y=kx+b(k,b为常数)的图象经过点(2,﹣2),(0,2).(1)求该函数的表达式;(2)画出该函数的图象;(3)不等式kx+b<0的解集为.21.(8分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD.(1)若∠A=25°,求∠DBC的度数;(2)若BC=4,求BD的长.22.(6分)已知一次函数y=mx+2m﹣2(m为常数,m≠0).(1)若该函数的图象经过原点,求m的值;(2)当0<m<1时,该函数图象经过第象限.23.(6分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1),B(5,2),C(2,2).将点A,C分别向下平移3个单位长度得到点A′,C′.(1)点A′,C′的坐标分别为,;(2)求证:点A′,C′,B在一条直线上.24.(6分)如图,已知线段a,b,c.求作△ABC,使AB=a,BC=b,且分别满足下列条件:(1)AB上的中线为c.(2)AB上的高为c.(说明:①尺规作图,保留作图痕迹;②可以有必要的作图说明;③每小题作出满足条件的一个三角形即可.)25.(9分)甲、乙两家快递公司都要将货物从A地派送至B地.甲公司运输车要先在A地的集货中心拣货,然后直接发往B地.乙公司运输车从A地出发后,先到达位于A、B两地之间的C地休息,再以原速驶往B地.两车离B地的距离s(km)与乙公司运输车所用时间t(h)的关系如图所示.已知两车均沿同一道路匀速行驶,且同时到达B地.(1)A地与B地之间的距离为km.(2)求线段MN对应的函数表达式.(3)已知C地距离A地160km,当t为何值时,甲、乙两公司运输车相距80km?26.(8分)回顾旧知(1)如图①,已知点A,B和直线l,如何在直线l上确定一点P,使PA+PB最小?将下面解决问题的思路补充完整.解决问题的思路可以构造全等三角形,将两条线段集中到一个三角形中!据此,在l上任取一点P',作点A关于l的对称点A',AA'与直线l相交于点C.连接P'A',易知△AP'C≌,从而有P'A=P'A'.这样,在△A'P'B中,根据“”可知A'B与l的交点P即为所求.解决问题(2)如图②,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,E,F为AB上的两个动点,且AE=BF,求CE+CF的最小值.变式研究(3)如图③,在△ABC中,∠ABC=60°,AC=5,BC=4,点D,E分别为AB,AC上的动点,且AD=CE,请直接写出CD+BE的最小值.
2023-2024学年江苏省南京市秦淮区八年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上)1.(2分)下列手机应用的图标是轴对称图形的是()A. B. C. D.【解答】解:A,B,D选项中的图形都不能找到一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形;C选项中的图形能找到一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形;故选:C.2.(2分)将下列长度的三根木棒首尾顺次连接,能组成直角三角形的是()A.1,2,3 B.2,3,4 C.4,5,6 D.5,12,13【解答】解:A、12+22=5≠32,故不能组成直角三角形,不符合题意;B、22+32=13≠42,故不能组成直角三角形,不符合题意;C、42+52=41≠62,故不能组成直角三角形,不符合题意;D、52+122=169=132,故能组成直角三角形,符合题意.故选:D.3.(2分)点A(2,﹣1)关于x轴对称的点B的坐标为()A.(2,1) B.(﹣2,1) C.(2,﹣1) D.(﹣2,﹣1)【解答】解:点A(2,﹣1)关于x轴对称的点B的坐标为:(2,1).故选:A.4.(2分)如图,EC⊥BD,垂足为C,A是EC上一点,且AC=CD,AB=DE.若AC=3.5,BD=9,则AE的长为()A.2 B.2.5 C.3 D.5.5【解答】解:∵EC⊥BD,∴∠ACB=∠DCE=90°,在Rt△ABC和Rt△DEC中,,∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL),∴CB=CE,AC=CD=3.5,∵BD=CB+CD=9,∴CB=5.5,∴CE=5.5,∴AE=CE﹣AC=5.5﹣3.5=2,故选:A.5.(2分)如图,一次函数的图象与y=kx+b的图象相交于点P(﹣2,n),则关于x,y的方程组的解是()A. B. C. D.【解答】解:把点P(﹣2,n)代入得,n=×(﹣2)+=3,∴P(﹣2,3),∵一次函数的图象与y=kx+b的图象相交于点P(﹣2,3),∴关于x,y的方程组的解是,故选:B.6.(2分)如图,用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体,沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中,最短路径的长是()A.5 B. C. D.【解答】解:将第一层小正方形的顶面和正面,以及第二层小正方形的顶面和正面展开,如图,连接MN,则MN==5,故选:A.二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.请把答案填写在答题卷相应位置上)7.(2分)=5.【解答】解:=5,故答案为:5.8.(2分)在实数,,,3.1415,中,无理数有2个.【解答】解:=3,在实数,,,3.1415,中,无理数有,,共2个.故答案为:2.9.(2分)比较大小:>﹣1(填“>”“<”或“=”).【解答】解:∵≈1.414,≈2.236,∴﹣1≈2.236﹣1=1.236,∴>﹣1,故答案为:>.10.(2分)如图,∠1=∠2,要使△ABC≌△ADC,还需添加条件:AB=AC.(填写一个你认为正确的即可)【解答】解:由已知可得,∠1=∠2,AC=AC,∴若添加条件AB=AC,则△ABC≌△ADC(SAS);若添加条件∠ACB=∠ACD,则△ABC≌△ADC(ASA);若添加条件∠ABC=∠ADC,则△ABC≌△ADC(AAS);故答案为:AB=AC.11.(2分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点,若x1>x2,则y1<y2.(填“>”“<”或“=”)【解答】解:∵一次函数y=﹣2x+1中,k=﹣2<0,∴y随x的增大而减小,∵x1>x2,∴y1<y2.故答案为:<.12.(2分)在等腰三角形ABC中,∠A=2∠B,则∠C的度数为45°或72°.【解答】解:设∠B=x°,则∠A=2x°,当∠A是顶角时,∠A+2∠B=180°,即:4x=180,解得:x=45,此时∠C=∠B=45°;当∠A是底角时,2∠A+∠B=180°,即5x=180,解得:x=36°,此时∠C=2∠B=72°,故答案为:45°或72°.13.(2分)已知一次函数y=x﹣m+3(m为常数)的图象与y轴的交点在x轴的上方,则m的取值范围为m<3.【解答】解:∵一次函数y=x﹣m+3(m为常数)的图象与y轴的交点在x轴的上方,∴﹣m+3>0,解得m<3.故答案为:m<3.14.(2分)如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为14.【解答】解:∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=8,∴AD⊥BC,CD=BD=BC=4,∵点E为AC的中点,∴DE=CE=AC=5,∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.故答案为14.15.(2分)在课本上的“数学活动折纸与证明”中,我们曾经两次折叠正方形纸片(如图).若正方形纸片的边长为2cm,则EA'的长为2﹣cm.【解答】解:由折叠的性质可得:AE=DE=1,AB=A'B=2,BF=CF=1,EF=AB=2,∴A'F==,∴A'E=2﹣,故答案为:2﹣.16.(2分)如图,一次函数的图象与x轴交于点A.将该函数图象绕点A逆时针旋转45°,则得到的新图象的函数表达式为y=3x+12.【解答】解:∵一次函数的图象与x轴交于点A.∴A(﹣4,0),设一次函数的图象与y轴交于点B.则B(0,2),设旋转45°后的直线为L,过点B作BD⊥L,垂足为点D,过点D作DN⊥y轴,DM⊥x轴,△ABD为等腰直角三角形,∴AD=BD,在△AMD和△BND中,,∴△AMD≌△BND(AAS),∴DM=DN,∵2+NB=4﹣NB,∴NB=1,∴D(﹣3,3),设直线L的解析式为y=kx+b,代入点A(﹣4,0),D(﹣3,3)得:,解得,∴直线L的解析式为:y=3x+12.故答案为:y=3x+12.三、解答题(本大题共10小题,共68分,请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6分)计算:(1);(2).【解答】解:(1)=3+2﹣3=2.(2)=﹣﹣(2﹣)=﹣﹣2+=﹣2.18.(6分)求下列各式中的x.(1)3x2﹣12=0(2)(x﹣1)3=﹣64【解答】解:(1)3x2﹣12=0,3x2=12,x2=4,x=±2;∴x1=2,x2=﹣2.(2)(x﹣1)3=﹣64,x﹣1=﹣4,x=﹣3.19.(6分)已知:如图,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.求证:(1)△ABD≌△ACE;(2)∠ADE=∠AED.【解答】证明:(1)∵AB⊥AC,AD⊥AE,∴∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE,∴∠BAD=∠CAE,在△ABD与△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(ASA);(2)由(1)知△ABD≌△ACE,∴AD=AE,∴∠ADE=∠AED.20.(7分)一次函数y=kx+b(k,b为常数)的图象经过点(2,﹣2),(0,2).(1)求该函数的表达式;(2)画出该函数的图象;(3)不等式kx+b<0的解集为x>1.【解答】解:(1)把(2,﹣2),(0,2)分别代入y=kx+b得,解得,∴一次函数解析式为y=﹣2x+2;(2)如图,(3)观察函数图象,不等式kx+b<0的解集为x>1.故答案为:x>1.21.(8分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD.(1)若∠A=25°,求∠DBC的度数;(2)若BC=4,求BD的长.【解答】解:(1)∵MN垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠DBA=∠A=25°,∵∠C=90°,∴∠ABC=90°﹣25°=65°,∴∠DBC=∠ABC﹣∠DBA=65°﹣25°=40°;(2)设BD=x,则DA=x,∴CD=8﹣x,由勾股定理得:BD2=CD2+BC2,∴x2=(8﹣x)2+42,∴x=5,∴BD=5.22.(6分)已知一次函数y=mx+2m﹣2(m为常数,m≠0).(1)若该函数的图象经过原点,求m的值;(2)当0<m<1时,该函数图象经过第一、三、四象限.【解答】解:(1)∵该函数的图象经过原点,∴m≠0且2m﹣2=0,解得m=1;(2)∵0<m<1,∴0<2m<2,∴2m﹣2<0,∴该函数图象经过第一、三、四象限.故答案为:一、三、四.23.(6分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1),B(5,2),C(2,2).将点A,C分别向下平移3个单位长度得到点A′,C′.(1)点A′,C′的坐标分别为(1,﹣2),(2,﹣1);(2)求证:点A′,C′,B在一条直线上.【解答】(1)解:∵A(1,1),C(2,2),将点A,C分别向下平移3个单位长度得到点A′,C′.∴A′(1,﹣2),C′(2,﹣1);故答案为:(1,﹣2),(2,﹣1);(2)证明:设直线A′C′的解析式为y=kx+b,∴,解得,∴直线A′C′的解析式为y=x﹣3,当x=5时,y=5﹣3=2,∴点A′,C′,B在一条直线上.24.(6分)如图,已知线段a,b,c.求作△ABC,使AB=a,BC=b,且分别满足下列条件:(1)AB上的中线为c.(2)AB上的高为c.(说明:①尺规作图,保留作图痕迹;②可以有必要的作图说明;③每小题作出满足条件的一个三角形即可.)【解答】解:(1)如图1中,△ABC即为所求;(2)如图2中,△ABC即为所求.25.(9分)甲、乙两家快递公司都要将货物从A地派送至B地.甲公司运输车要先在A地的集货中心拣货,然后直接发往B地.乙公司运输车从A地出发后,先到达位于A、B两地之间的C地休息,再以原速驶往B地.两车离B地的距离s(km)与乙公司运输车所用时间t(h)的关系如图所示.已知两车均沿同一道路匀速行驶,且同时到达B地.(1)A地与B地之间的距离为360km.(2)求线段MN对应的函数表达式.(3)已知C地距离A地160km,当t为何值时,甲、乙两公司运输车相距80km?【解答】解:(1)由图象可知,A地与B地之间的距离为360km,故答案为:360.(2)设线段MN对应的函数表达式为s=k1t+b1(k1、b1为常数,且k1≠0),∵当t=2时,s=360;当t=8时,s=0,∴,解得,∴线段MN对应的函数表达式为s=﹣60t+480(2≤t≤8).(3)由(2)可知,甲公司运输车s与t的函数关系式为s=.∵C地距离A地160km,∴C地距离B地为360﹣160=200(km).∵乙公司运输车的速度为=80(km/h),∴乙公司运输车从C地驶往B地用时=(h),∴当t=8﹣=时,乙公司运输车从C地出发驶往B地.设当0≤t<2时,乙公司运输车s与t的函数关系式为s=k2t+b2(k2、b2为常数,且k2≠0),∵当t=0时,s=360;当t=2时,s=200,∴,解得,∴s=﹣80t+360(0≤t<2);设当≤t≤8时,乙公司运输车s与t的函数关系式为s=k3t+b3(k3、b3为常数,且k3≠0),∵当t=时,s=200;当t=8时,s=0,∴,解得,∴s=﹣80t+640(≤t≤8);综上,当0≤t≤8时,乙公司运输车s与t的函数关系式为s=.①当0≤t<2时,|﹣80t+360﹣360|=80,经整理,得80t=80,解得t=1;②当2≤t<时,|﹣60t+480﹣200|=80,经整理,得280﹣60t=80或60t﹣280=80,解得t=或6(不符合题意,舍去);③当≤t≤8时,|﹣60t+480﹣(﹣80t+640)|=80,经整理,得20t﹣160=80或160﹣20t=80,解得t=12(不符合题意,舍去)或4;综上,当t=1、或4时,甲、乙两公司运输车相距80km.26.(8分)回顾旧知(1)如图①,已知点A,B和直线l,如何在直线l上确定一点P,使PA+PB最小?将下面解决问题的思路补充完整.解决问题的思路可以构造全等三角形,将两条线段集中到一个三角形中!据此,在l上任取一点P',作点A关于l的对称点A',AA'与直
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