统考版2024届高考数学一轮复习第二章2.4二次函数与幂函数学案理含解析20230423111

统考版2024届高考数学一轮复习第二章2.4二次函数与幂函数学案理含解析20230423111第四节二次函数与幂函数【知识重温】一、必记2个知识点1．幂函数(1)定义：形如①________________的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1.(2)性质(ⅰ)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；(ⅱ)当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；(ⅲ)当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式(ⅰ)一般式：f(x)＝②________________________；(ⅱ)顶点式：f(x)＝③________________________；(ⅲ)零点式：f(x)＝④________________________.(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在⑤____________上单调递减；在⑥____________上单调递增在⑦____________上单调递增；在⑧____________上单调递减奇偶性当⑨________时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数顶点eq\o(○,\s\up1(10))____________________对称性图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)成轴对称图形二、必明2个易误点1．研究函数f(x)＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况的讨论而盲目认为f(x)为二次函数．2．形如y＝xα(α∈R)才是幂函数，如y＝不是幂函数．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数y＝是幂函数．()(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．()(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq\f(4ac－b2,4a).()二、教材改编2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，eq\r(2))，则函数y＝f(x)的解析式为________．3．函数y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)，则a的值为()A．－1B．－eq\f(9,7)C．1D．2三、易错易混4．函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是()A．－1B．－2C．1D．25．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c四、走进高考6．[2020·江苏卷]已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝，则f(－8)的值是________．eq\x(考点一)幂函数的图象及性质[自主练透型]1．已知点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是()A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数2．幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为()A．－1B．0C．1D．23．[2021·江西九江联考]已知a＝0.40.3，b＝0.30.4，c＝0.3－0.2，则()A．b<a<cB．b<c<aC．c<b<aD．a<b<c4．若<，则实数a的取值范围是________．悟·技法幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.考点二二次函数的解析式[自主练透型]5．已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为____________________．6．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．悟·技法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：考点三二次函数的图象和性质[分层深化型]考向一：二次函数的图象问题[例1]如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的结论是()A．②④B．①④C．②③D．①③考向二：二次函数的单调性[例2][2021·河南中原名校联考]已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))

考向三：二次函数的最值[例3]已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，则a的值为()A.eq\f(5,4)B．1或eq\f(5,4)C．－1或eq\f(5,4)D．－5或eq\f(5,4)考向四：与二次函数有关的恒成立问题[例4]当x∈(1,3)时，若不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．听课笔记：悟·技法1.二次函数最值问题的类型及处理思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．2．由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.[变式练]——(着眼于举一反三)1．函数f(x)＝ax2－2x＋3在区间[1,3]上为增函数的充要条件是()A．a＝0B．a<0C．0<a≤eq\f(1,3)D．a≥12．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为________．3．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．第四节二次函数与幂函数【知识重温】①y＝xα(α∈R)②ax2＋bx＋c(a≠0)③a(x－m)2＋n(a≠0)④a(x－x1)(x－x2)(a≠0)⑤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))⑥eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))⑦eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))⑧eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))⑨b＝0⑩eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))【小题热身】1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×2．解析：设y＝xα，则eq\r(2)＝2α，即2eq\f(1,2)＝2α，∴α＝eq\f(1,2).∴f(x)＝xeq\f(1,2).答案：f(x)＝xeq\f(1,2)3．解析：由函数y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)知a>0，且eq\f(4a×7a－－62,4a)＝－2，即7a2－2a－9＝0，所以a＝1或a＝－eq\f(9,7)(舍去)．答案：C4．解析：函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝eq\f(3,2)>1，∴函数y＝2x2－6x＋3在x∈[－1,1]上为单调递减函数，∴ymin＝2－6＋3＝－1.答案：A5．解析：观察图象联想y＝x2，y＝xeq\f(1,2)，y＝x－1在第一象限内的图象，可知c<0，d<0,0<b<1<a.由图象可知2c>2d，所以c>d.综上知a>b>c>d.答案：B6．解析：由函数f(x)是奇函数得f(－8)＝－f(8)＝－＝－(23)＝－4.答案：－4课堂考点突破考点一1．解析：设f(x)＝xα，由已知得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))α＝eq\r(3)，解得α＝－1，因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．答案：A2．解析：从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3<0，即－1<m<3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4满足要求．故选C项．答案：C3．解析：因为1>a＝0.40.3>0.30.3>b＝0.30.4，c＝0.3－0.2>1，所以b<a<c.故选A项．答案：A4．解析：易知函数y＝xeq\f(1,2)的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥0，,3－2a≥0，,a＋1<3－2a，))解得－1≤a<eq\f(2,3).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))考点二5．解析：由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以eq\f(b,2)＝1，所以b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3.答案：f(x)＝x2－2x＋36．解析：解法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x＝eq\f(2＋－1,2)＝eq\f(1,2).所以m＝eq\f(1,2).又根据题意函数有最大值8，所以n＝8.所以f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8.因为f(2)＝－1，所以aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三(利用零点式)：由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即eq\f(4a－2a－1－a2,4a)＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.考点三例1解析：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a，又函数的图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a，即5a<b，④正确．答案：B例2解析：因为函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，当a≠0时，a须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a>0，,－\f(4a－3,2×2a)≥3，))解得0<a≤eq\f(3,4)；当a＝0时，f(x)＝－12x＋5在(－∞，3)上是减函数，综上可知，a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))).答案：D例3解析：f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2－4a，对称轴为直线x＝eq\f(a,2).①当eq\f(a,2)≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上递增，∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．②当0<eq\f(a,2)<1，即0<a<2时，f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝－4a.令－4a＝－5，得a＝eq\f(5,4).③当eq\f(a,2)≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上递减，∴f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.令－4a－a2＝－5，解得a＝－5或a＝1(舍去)．综上所述，a＝eq\f(5,4)或－5.故选D.答案：D例4解析：设f(x)＝x2＋mx＋4.因为x∈(1,3)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1≤0，,f3≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＋m≤0，,13＋3m≤0，))解得m≤－5，所以m的取值范围是(－∞，－5]．答案：(－∞，－5]变式练1．解析：当a＝0时，f(x)为减函数，不符合题意；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－2x＋3图象的对称轴为x＝eq\f(1,a)，要使f(x)在区间[1,3]上为增函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(1,a)≥3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(1,a)≤1，))解得a≥1.故选D.答案：D2．解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴x＝1，因为f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，所以当1≤a时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，解得a＝－1(舍去)或a＝3，当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，解得a＝1(舍去)或a＝－3，当a<1<a＋2，即－1<a<1时，f(x)min＝f(1)＝0≠4，故a的取值集合为{－3,3}．答案：{－3,3}3．解析：2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立，当x＝0时，－3<0，成立；当x≠0时，a<eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,3)))2－eq\f(1,6)，因为eq\f(1,x)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值eq\f(1,2)，∴a<eq\f(1,2).综上，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))第五节指数与指数函数【知识重温】一、必记4个知识点1．根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果①________，那么x叫做a的n次方根.n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次方根是一个②________，负数的n次方根是一个③________.eq\r(n,a)零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有④________________，它们互为⑤________________.±eq\r(n,a)负数没有偶次方根(2)两个重要公式(ⅰ)eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(⑥,|a|＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(⑦a≥0,⑧a<0))))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(n为奇数,,n为偶数))；(ⅱ)(eq\r(n,a))n＝⑨________(注意a必须使eq\r(n,a)有意义)．2．分数指数幂(1)正数的正分数指数幂是：＝⑩____________(a>0，m，n∈N*，n>1)．(2)正数的负分数指数幂是：＝⑪______________＝⑫______________(a>0，m，n∈N*，n>1)．(3)0的正分数指数幂是⑬________，0的负分数指数幂无意义．3．有理指数幂的运算性质(1)ar·as＝⑭________(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝⑮________(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝⑯________(a>0，b>0，r∈Q)．4．指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域⑰____________值域⑱____________性质(1)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1(2)在(－∞，＋∞)上是⑲________(2)在(－∞，＋∞)上是⑳________二、必明2个易误点1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1还是0<a<1.【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)eq\r(4,π－44)＝π－4.()(2)＝＝eq\r(－1).()(3)函数y＝a－x(a>0且a≠1)是R上的增函数．()(4)函数y＝ax(a>0且a≠1)与x轴有且只有一个交点．()(5)若am>an，则m>n.()(6)函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．()二、教材改编2．如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝6x，y＝(eq\f(1,2))x的一个是()A．①B．②C．③D．④3．已知函数f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1)(a∈R)为奇函数，则a＝________.三、易错易混4．式子aeq\r(－\f(1,a))化简得()A.eq\r(－a)B.eq\r(a)C．－eq\r(a)D．－eq\r(－a)5．若函数y＝ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为eq\f(a,2)，则a的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(2,3)或2D.eq\f(1,2)或eq\f(3,2)四、走进高考6．[2019·全国卷Ⅰ]已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3则()A．a<b<cB．a<c<bC．c<a<bD．b<c<aeq\x(考点一)指数幂的化简与求值[自主练透型]1．下列等式不成立的是()A．(－2)－2＝eq\f(1,4)B．2a－3＝eq\f(1,2a3)(a>0)C．(－2)0＝1D．(a－eq\f(1,4))4＝eq\f(1,a)(a>0)2．化简：(a2·eq\r(5,a3))÷(eq\r(a)·eq\r(10,a9))＝________(用分数指数幂表示)．3.eq\r(6\f(1,4))＋－10×(eq\r(5)－2)－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,9)))0＋的值为________．4．若＋＝3，则的值为________．悟·技法[注意]运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.考点二指数函数的图象及应用[互动讲练型][例1](1)[2021·贵阳监测]已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1,6)B．(1,5)C．(0,5)D．(5,0)(2)函数f(x)＝21－x的大致图象为()悟·技法有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断.[变式练]——(着眼于举一反三)1．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是()2．若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．考点三指数函数的性质及其应用[分层深化型]考向一：比较指数幂的大小[例2][2021·许昌四校联考]设a，b满足0<a<b<1，则下列不等式中正确的是()A．aa<abB．ba<bbC．aa<baD．bb<ab考向二：解指数不等式[例3]不等式>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋4的解集为__________．考向三：探究指数型函数的性质[例4](1)函数f(x)＝的单调递减区间为________．(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．悟·技法应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略题型求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致[提醒]在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论.[变式练]——(着眼于举一反三)3．已知a＝，b＝，c＝，则下列关系式中正确的是()A．c<a<bB．b<a<cC．a<c<bD．a<b<c4．若≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－2，则函数y＝2x的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8)))D．[2，＋∞)5．[2019·北京卷]设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．第五节指数与指数函数【知识重温】①xn＝a②正数③负数④两个⑤相反数⑥a⑦a⑧－a⑨a⑩eq\r(n,am)⑪⑫eq\f(1,\r(n,am))⑬0⑭ar＋s⑮ars⑯arbr⑰R⑱(0，＋∞)⑲增函数⑳减函数【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√2．解析：已知其中的三个函数都是指数函数，指数函数的图象一定过点(0,1)，图象②不过点(0,1)，故选B.答案：B3．解析：由f(－x)＝－f(x)，得：a－eq\f(2,2－x＋1)＝－a＋eq\f(2,2x＋1)，即2a＝eq\f(2,2x＋1)＋eq\f(2,2－x＋1)，∵eq\f(2,2x＋1)＋eq\f(2,2－x＋1)＝2，∴a＝1.答案：14．解析：由题意知a<0，∴aeq\r(－\f(1,a))＝aeq\r(－\f(a,a2))＝－eq\r(－a).故选D.答案：D5．解析：当a>1时，y＝ax在[1,2]上的最大值为a2，最小值为a，故有a2－a＝eq\f(a,2)，解得a＝eq\f(3,2)或a＝0(舍去)当0<a<1时，y＝ax在[1,2]上的最大值为a，最小值为a2，故有a－a2＝eq\f(a,2)，解得a＝eq\f(1,2)或a＝0(舍去)．综上a＝eq\f(3,2)或a＝eq\f(1,2).答案：D6．解析：∵a＝log20.2<log21＝0b＝20.2>20＝1,0<c＝0.20.3<0.20＝1，∴a<c<b.答案：B课堂考点突破考点一1．解析：对于A，(－2)－2＝eq\f(1,4)，故A正确；对于B,2a－3＝eq\f(2,a3)，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C正确；对于D，(a－eq\f(1,4))4＝eq\f(1,a)，故D正确．答案：B2．解析：(a2·eq\r(5,a3))÷(eq\r(a)·eq\r(10,a9))＝(a2·)÷(·)＝÷＝＝答案：3．解析：原式＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＋－10×(eq\r(5)＋2)－1＋＝eq\f(5,2)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20－1＋2－2＝2.5－21＋0.25＝－18.25.答案：－18.254．解析：由＋＝3，得x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.因为＋＝(＋)3－3(＋)＝27－9＝18，所以原式＝eq\f(18＋2,47＋3)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)考点二例1解析：(1)由x－1＝0得x＝1，f(1)＝4＋2a0＝6.所以函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点(1,6)．(2)函数f(x)＝21－x在R上是减函数，其图象过点(0,2)，故选A.答案：(1)A(2)A变式练1．解析：函数y＝ax－a的图象过点(1,0)，排除A，B，D.答案：C2．解析：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．答案：(－∞，0]考点三例2解析：指数函数y＝ax(0<a<1)为减函数，因为a<b，所以aa>ab，A错误；指数函数y＝bx(0<b<1)为减函数，因为a<b，所以ba>bb，B错误；幂函数y＝xa(0<a<1)在(0，＋∞)上为增函数，又a<b，所以aa<ba，C正确；由幂函数y＝xb(0<b<1)在(0，＋∞)上为增函数，又a<b，所以bb>ab，D错误．答案：C例3解析：∵>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋4，∴>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋4，∴x2－2x<x＋4，∴x2－3x－4<0，解得－1<x<4.答案：{x|－1<x<4}例4解析：(1)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))u为减函数，所以函数y＝的减区间，即函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，所以所求减区间为(－∞，1]．(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上单调递增，在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．答案：(1)(－∞，1](2)(－∞，4]变式练3．解析：把b化简为b＝，而函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上为减函数，又eq\f(4,3)>eq\f(2,3)>eq\f(1,3)，所以<<，即b＜a＜c.答案：B4．解析：因为≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－2＝24－2x，则x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，所以－3≤x≤1，所以eq\f(1,8)≤y≤2.答案：B5．解析：∵f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R，∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.∵f(x)＝ex＋ae－x，∴f′(x)＝ex－ae－x＝ex－eq\f(a,ex).∵f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，即ex≥eq\f(a,ex)在R上恒成立，∴a≤e2x在R上恒成立．又e2x>0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]．答案：－1(－∞，0]第六节对数与对数函数【知识重温】一、必记4个知识点1．对数的概念(1)对数的定义如果①________________________，那么数x叫做以a为底N的对数，记作②________，其中③________叫做对数的底数，④________叫做真数．(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)⑤________常用对数底数为⑥________⑦________自然对数底数为⑧________⑨________2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质(ⅰ)alogaN＝⑩________(a>0且a≠1)；(ⅱ)logaaN＝⑪________(a>0且a≠1)．(2)对数的重要公式(ⅰ)换底公式：⑫________________(a，b均大于零且不等于1)；(ⅱ)logab＝eq\f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝⑬________.(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么(ⅰ)loga(MN)＝⑭________________；(ⅱ)logaeq\f(M,N)＝⑮________________；(ⅲ)logaMn＝⑯________________(n∈R)；(ⅳ)logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R)．3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：⑰________(2)值域：⑱________(3)过点⑲________，即x＝⑳________时，y＝eq\o(○,\s\up1(21))________(4)当x>1时，eq\o(○,\s\up1(22))________当0<x<1时，eq\o(○,\s\up1(23))________(4)当x>1时，eq\o(○,\s\up1(24))________当0<x<1时，eq\o(○,\s\up1(25))________(5)是(0，＋∞)上的eq\o(○,\s\up1(26))________(5)是(0，＋∞)上的eq\o(○,\s\up1(27))________4.反函数指数函数y＝ax与对数函数eq\o(○,\s\up1(28))________互为反函数，它们的图象关于直线eq\o(○,\s\up1(29))________对称．二、必明2个易误点1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，易忽视M>0.2．在解决与对数函数有关的问题时易漏两点：(1)函数的定义域；(2)对数底数的取值范围．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．()(2)log2x2＝2log2x.()(3)当x>1时，logax>0.()(4)函数y＝lneq\f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．()二、教材改编2．使式子log(2x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是()A．x>2B．x<2C.eq\f(1,2)<x<2D.eq\f(1,2)<x<2且x≠13．已知f(x)＝|lgx|，若a＝f(eq\f(1,4))，b＝f(eq\f(1,3))，c＝f(2)，则()A．a<b<cB．b<c<aC．c<a<bD．c<b<a三、易错易混4．已知函数f(x)＝lg(x2＋2ax－5a)在[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围为________．5．函数y＝3＋loga(x＋3)的图象必经过定点的坐标为()A．(－2,3)B．(－1,4)C．(0,3)D．(－2,2)四、走进高考6．[2020·天津卷]设a＝30.7，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<beq\x(考点一)对数式的化简与求值[自主练透型]1．[2020·全国卷Ⅰ]设alog34＝2，则4－a＝()A.eq\f(1,16)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,6)2．计算：eq\f(lg2＋lg5－lg8,lg50－lg40)＝________.3．设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m＝________.4．已知log189＝a,18b＝5，则用a，b表示log3645＝________.悟·技法对数运算的一般思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算．(3)利用式子lg2＋lg5＝1进行化简.考点二对数函数的图象及其应用[互动讲练型][例1](1)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()(2)当0<x≤eq\f(1,2)时，4x<logax，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．(1，eq\r(2))D．(eq\r(2)，2)悟·技法对数型函数图象的考查类型及解题思路(1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解．(2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法.[变式练]——(着眼于举一反三)1．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是()2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．考点三对数函数的性质及应用[分层深化型]考向一：比较对数值的大小[例2][2020·全国卷Ⅲ]设a＝log32，b＝log53，c＝eq\f(2,3)，则()A．a<c<bB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b考向二：解简单的对数不等式或方程[例3]已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)))，则f(2x－1)>0的解集为()A．(0,1)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)考向三：与对数函数有关的函数性质问题[例4](1)函数y＝loga(2－ax)在区间[0,1]上是减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(0,2)C．(1,2)D．(2，＋∞)(2)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x>2))(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．悟·技法比较对数值大小的方法若底数相同，真数不同若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较若底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较2.求解对数不等式的两种类型及方法类型方法形如logax>logab借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论形如logax>b需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解3.解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．(2)底数与1的大小关系．(分类讨论)(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.[同类练]——(着眼于触类旁通)3．已知a＝，b＝log2eq\f(1,3)，c＝，则()A．a>b>cB．a>c>bC．c>b>aD．c>a>b4．函数f(x)＝log2eq\r(x)·logeq\r(2)(2x)的最小值为________．[变式练]——(着眼于举一反三)5．[2019·天津卷]已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A．a<c<bB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b6．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)________f(a＋1)．(填“<”“＝”或“>”)[拓展练]——(着眼于迁移应用)7．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\f(1,2)－x，x<0，))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)第六节对数与对数函数【知识重温】①ax＝N(a>0且a≠1)②x＝logaN③a④N⑤logaN⑥10⑦lgN⑧e⑨lnN⑩N⑪N⑫logbN＝eq\f(logaN,logab)⑬logad⑭logaM＋logaN⑮logaM－logaN⑯nlogaM⑰(0，＋∞)⑱R⑲(1,0)⑳1eq\o(○,\s\up1(21))0eq\o(○,\s\up1(22))y>0eq\o(○,\s\up1(23))y<0eq\o(○,\s\up1(24))y<0eq\o(○,\s\up1(25))y>0eq\o(○,\s\up1(26))增函数eq\o(○,\s\up1(27))减函数eq\o(○,\s\up1(28))y＝logaxeq\o(○,\s\up1(29))y＝x【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：要使log(2x－1)(2－x)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x>0,2x－1>0,2x－1≠1))，解得eq\f(1,2)<x<2且x≠1.故选D.答案：D3．解析：f(x)＝|lgx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x≥1，,－lgx，0<x<1.))作出f(x)的图象如图．f(x)在(0,1)上为减函数．∵0<eq\f(1,4)<eq\f(1,3)<1，∴f(eq\f(1,4))>f(eq\f(1,3))即a>b.又∵b＝f(eq\f(1,3))＝|lgeq\f(1,3)|＝lg3>|lg2|＝f(2)＝c，∴a>b>c.答案：D4．解析：函数f(x)＝lg(x2＋2ax－5a)在[2，＋∞)上是增函数，则函数t＝x2＋2ax－5a在[2，＋∞)上是增函数，并且t＝x2＋2ax－5a在区间[2，＋∞)上的最小值大于0，因此可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a≤2，,4＋4a－5a>0，))解得－2≤a<4.答案：[－2,4)5．解析：因为当x＝－2时，y＝3＋0＝3，所以该函数的图象必过定点(－2,3)．答案：A6．解析：由题知c＝log0.70.8<1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.8＝30.8，易知函数y＝3x在R上单调递增，所以b＝30.8>30.7＝a>1，所以c<a<b，故选D.答案：D课堂考点突破考点一1．解析：解法一因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝eq\f(1,4a)＝eq\f(1,9).故选B.解法二因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝eq\f(1,32)＝eq\f(1,9)，故选B.答案：B2．解析：原式＝eq\f(lg\f(2×5,8),lg\f(50,40))＝eq\f(lg\f(5,4),lg\f(5,4))＝1.答案：13．解析：因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝eq\r(10).答案：eq\r(10)4．解析：因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log189×5,1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋