江苏省常州市三河口2023年高考临考冲刺数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在区间［T/上随机取一个实数Z,使直线＞=%（x+3）与圆f+y2=l相交的概率为（）

2.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫

法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如

图正方形45。，在点E,尸处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E,F

处的目标球，最后停在点C处，若AE=50cm.EF=4Qcm.FC=30cm,ZAEF=ZCFE=60°,则该正方形的边长为（）

A.50^/2cmB.405/2cmC.50c2076cm

3.已知a为锐角，且J^sin2a=2sina,则cos2a等于（）

4.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

5.正项等比数列也｝中的为、。4039是函数/（力=；1-4/+6》-3的极值点，贝！Jlog、R%）20=（）

c.V2D.2

3万57r

6.关于函数/(x)=|cosX+cos|21,有下列三个结论:①"是八，）的一个周期；②在彳,彳上单调递增;

③f(x)的值域为[-2,2].则上述结论中，正确的个数为()

A.0B.1C.2D.3

7.若集合A={x|x(x—2)>0},B={x|x-l>0},则4nB=

A.{x|x>lMx<0}B.1x|l<%<21C,{x|x>2}D.{x|x>l}

kInv1

8.已知函数/'(》)=—(ZeNJ,g(x)=——,若对任意的c>l,存在实数。力满足0<。<匕<c,使得

XX-1

g(a)=/S)=g(c),则攵的最大值是()

A.3B.2C.4D.5

9.设。={-1,0,1,2},集合A=<1,XGU},则(7储=()

A.{0,1,2}B.{-1,1,2}C.{-1,0,2}D.{-1,0,1)

10.在AABC中，角A,&C的对边分别为a,4c,C=y,若加=卜一而4叫，〃=(a-dc+")，且联〃：，

则AABC的面积为()

R96「36

A.315.---------L•--------D.3#)

22

11.已知向量"=(一机,4),b-(m,1)（其中加为实数），贝！1“加=2”是“小户的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

⑵已鸣

=5-2i（i为虚数单位,N为二的共轲复数），则复数z在复平面内对应的点在（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.点外是曲线y=31n%+x+攵（ZwR）图象上的一个定点，过点6的切线方程为4x—y—l=0,则实数4的值

为.

x〉0

y>0

14.设x，y满足约束条件，x-y+l〉o,则Z=2x—y的取值范围为.

x+y-3<0

15.在AABC中，AB=2亚,AC=5ZBAC=90°,则AABC绕8c所在直线旋转一周所形成的几何体的表

面积为.

16.现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有一种.（用数字作答）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花

卉.方案是：先建造一条直道将AABC分成面积之比为2:1的两部分（点。，E分别在边AB,AC上）；再取OE

的中点M,建造直道AM（如图）.设AD=x,DE=弘,AM=y2（单位：百米）.

（D分别求%，%关于x的函数关系式：

（2）试确定点。的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.

fx=3cos（p

18.（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为.’（<p为参数），在以O为极点，x轴的正

[y=simp

半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为（2,37T）,半径为1的圆.

（1）求曲线Ci的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）设M为曲线G上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围.

19.（12分）如图，在四棱锥A3CD中，底面ABC。是直角梯形且AO〃8C,ABLBC,AB=BC=2AD=2,

侧面Q钻为等边三角形，且平面Q43,平面ABCD.

0'

（1）求平面RS与平面PQC所成的锐二面角的大小;

(2)若说=义。网嘀此1),且直线8Q与平面POC所成角为求4的值.

「-1「1

10-0

20.(12分)试求曲线7=5配工在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M=N=2

1_。2」0】

21.(12分)如图，在四棱柱C—ABE/7中，平面平面ABC,△49C是边长为2的等边三角形，AB//EF,

ZABE=90°,BE=EF=1，点M为8C的中点.

(I)求证："〃平面Ab；

(H)求二面角£—3。一厂的余弦值.

(山)在线段EF上是否存在一点N,使直线CN与平面8CE所成的角正弦值为立I,若存在求出EN的长，若不

21

存在说明理由.

1

x=—m

(〃?为参数)，以坐标原点为极点，轴

22.(10分)已知在平面直角坐标系x。),中，直线/的参数方程为〈2X

垂＞

y=——m

2

2V152,

非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2-22cose-2=0,点A的极坐标为

3K

/

(1)求直线/的极坐标方程;

(2)若直线/与曲线。交于3,C两点，求AABC的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

利用直线y=k(x+3)与圆f+>2=］相交求出实数人的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的

概率.

【详解】

由于直线丁=左(％+3)与圆Y+y2=l相交，则普L<1,解得一直<k(也.

“r+144

因此，所求概率为0_2'彳_&.

24

故选：D.

【点睛】

本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题.

2.D

【解析】

过点E,尸做正方形边的垂线，如图，设利用直线三角形中的边角关系，将AB,8c用a表示出来，根

据AB=3C,列方程求出a,进而可得正方形的边长.

【详解】

过点瓦F做正方形边的垂线，如图，

设ZA£M=a,则NCEQ=a,NMEF=NQFE=60—a,

则AB=AAY+何N+N8=AEsina+EFsin（60—a）+FCsina

J3.g、

50sina+40sin（60"-a）+30sina40—sina+——cosa

22

\7

CB=BP+PC=AEcosa+FCcosa-EFcos（60

3V3.、

50cosa+30cosa-40cos（60,-a）=40—cosa------sina

227

f3.3

因为A8=C3,则40一smad-----cos。40—cosa------sina

227（227

整理化简得丝巴=2—6,又sin2a+cos22=l，

cosa

V3-173+1

得sina—，cosa=—

2V22V2

AB=4of-sina+—cosaV40x3f-x6^-y1-+—73x

=20尻

227122行2

即该正方形的边长为20娓cm.

故选：D.

【点睛】

本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.

3.C

【解析】

由J5sin2a=2sina可得cosa=，再利用cos2a-2cos?a-1计算即可.

3

【详解】

因为26sinacosa=2sina,sinawO,所以cosa=^^.

所以cos2a=2cos-<z-l=——1=——.

故选：C.

【点睛】

本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.

4.A

【解析】

由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积.

【详解】

由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2,

1Q

直观图如图所示，V=-x2x2x2=-.

33

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键.

5.B

【解析】

根据可导函数在极值点处的导数值为0,得出4%039=6,再由等比数列的性质可得.

【详解】

解：依题意4、%039是函数/(力=93-4/+6*-3的极值点，也就是/'(x)=d-8x+6=0的两个根

444039=6

又｛q｝是正项等比数列，所以劭)20=府以==赤

•••喻。2020=1咻#=1.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.

6.B

【解析】

利用三角函数的性质，逐个判断即可求出.

【详解】

①因为/(X)=/(X+〃)，所以)是f0)的一个周期，①正确；

②因为/(%)=2,/［与)=曰＜2,所以“X)在y，Y上不单调递增，②错误；

71

③因为/(—x)=/(x),所以/(X)是偶函数，又万是〃X)的一个周期，所以可以只考虑xe0,-时，/(X)的值域.当

_71,

xe0,—时,r=cosxe[0,l],

/(x)=|cos+cos12x|=cosx+coslx-2cos2x+cosx-l-2r+t-l

y=2/+--1在［0,1］上单调递增，所以的值域为［-1,2］,③错误；

综上，正确的个数只有一个，故选B.

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质应用.

7.C

【解析】

解一元次二次不等式得4={》|%>2或彳<0},利用集合的交集运算求得AD3={xIx>2}.

【详解】

因为A={x|x>2或x<0},8={小>1},所以408={x|x>2},故选C.

【点睛】

本题考查集合的交运算，属于容易题.

8.A

【解析】

根据条件将问题转化为电山>K,对于x>l恒成立，然后构造函数久幻=长生上1,然后求出近幻的范围，进

x-1xx-\

一步得到攵的最大值.

【详解】

kIn1*4-1

v/(x)=-(fceN),g(x)=-对任意的c>L存在实数见，满足Ovav匕vc,使得g(G=/S)=g(c),

X+x-1

]nra[k

二易得a(c)=/S)>/(c),即上审>二恒成立，

c-\c

lnx+1k_-.一

・,.------>-,对于x>l恒成立，

x-1x

lnx+1、x-2-\nx

设心)-E'则〃(X)=BT

令式%)=1_2_111工，二/(幻=1-，>0在1>］恒成立,

x

式3)=3-2-ln3<0,q(4)=4-2-ln4>0,

故存在与£(3,4),使得4(鹏)=0,即/-2=In/,

当X€（l,x（））时,q（x）<0,当x）单调递减

当xe（Xo，+8）时，q（x）>0,〃（x）单调递增.

•••〃(x)min=〃(/)=，将/_2=InX。代入得:

••=力(％)==X。,

1

••・左GN+,且左<A(x)min=X。

:.k<3

故选:A

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题.

9.B

【解析】

先化简集合A,再求C%.

【详解】

由d<i得：一1<%<1,所以A={0},因此dA={-1,1,2},故答案为B

【点睛】

本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.

10.C

【解析】

U1I—TT//I—2I

由血/〃，可得（a-力2=（c-后）（c+后），化简利用余弦定理可得cosg=y=：，解得话•即可得出三角形

32ab2

面积.

【详解】

解：•:m=(c-瓜a-b),"=(a―8,c+,旦miln，

(a-/>)2=(c-V6)(c+V6),化为：a2+b2-c2=2ab-6.

71cr+lr-c^2ab-6i_解得帅=6.

cos—===f

32ab2lab2

2222

故选：c.

【点睛】

本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

11.A

【解析】

结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.

【详解】

由，九=2,则。♦石=(-2,4>(2,1)=-4+4=0,所以而

当则a_LB=(-机,4)•(m,1)=-根2+4=0,解得/w=2或/"=一2.所以

“加=2”是“£_L方”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】

本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.

12.D

【解析】

设2=。+例,(凡》6/?),由殍=彳一2"得」—2i=a—S+2)i=，利用复数相等建立方程组即可.

33

【详解】

2

/22[_4a-+b

设z=。+bi,(a,Z?eR),贝！Iz—2i=a—(Z?+2)i=—,所以，“3»

3["2=0

=理厂r

解得《“一彳，故z=3-2i，复数二在复平面内对应的点为(卫2),在第四象限.

,C22

b--2

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的几何意义，涉及到共匏复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点凡横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得Z.

【详解】

设《（工,〉），

33

由题意y'=?+l,+1=4,x=l,y=4xl—l=3,即《（1,3）,

xx

•••3=31nl+l+Z,k=2.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值.本题属于基础题.

14.（-1,6）

【解析】

由题意画出可行域，转化目标函数z=2x-y为y=2x-z,数形结合即可得到z的最值，即可得解.

【详解】

由题意画出可行域，如图：

转化目标函数z=2x-y为y=2x-z,

通过平移直线y=2x-z,数形结合可知：当直线y=2x—z过点4时，直线截距最大，z最小；当直线y=2x-z过

点C时，直线截距最小，z最大.

x=0y=0

由.，c可得A（O,1），由•.八可得C（3,o）,

x-_y+l=O[x+y_3=0

当直线过点4（0,1）时，z=—l；当直线过点C（3,0）时，z=6,

所以一l<z<6.

故答案为：（—1,6）.

y

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合思想，属于基础题.

15.6加7T

【解析】

由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S=万〃计算公式可得.

【详解】

解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，

在AABC中，AB=26AC=5ABAC=90°,如下图所示，

2V5-V5

底面圆的半径为的,+同'

则所形成的几何体的表面积为S=4(/1+&)=»x2x(2石+6)=6也兀.

故答案为：6旧兀.

【点睛】

本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.

16.36

【解析】

先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法，在此条件下，计算甲不排在两端的排法，最后相减即可得到结果.

【详解】

由题意得5人排成一排，甲、乙两人不相邻，有种排法，其中甲排在两端，有种排法，则6人排成一排,

甲、乙两人不相邻，且甲不排在两端，共有用-2^4=36（种）排法.

所以本题答案为36.

【点睛】

排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题

原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确

的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)y"十e-6,xe[2,3]f=行+》|XG[2,3].

（2）当AO=&百米时，两条直道的长度之和取得最小值|灰+丁］百米.

【解析】

2

（1）由50.=§5根"，可解得AE.方法一：再在AADE中，利用余弦定理，可得"关于x的函数关系式；在A4T坦

和AAEM中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式•方法二：在AAZ）七中，可得诙=屈-砺，则有

DE2=AE-2AEAD+AD2＞化简整理即得；同理府=（（印方+通），化简整理即得.（2）由（1）和基本不等

式，计算即得.

【详解】

2

解：（1）AABC是边长为3的等边三角形，又A0=x，

—AD-AE-sin—=—f—x32xsin—AE=—.

233（23jx

0<AD=x<3

由＜，#2<x<3.

0<AE^-<3

x

法1：在AM应中，由余弦定理，得

DE2=AD2+AE2-2ADAE-COS-^X2+^--6.

3x2

故直道DE长度y＜关于x的函数关系式为y.-6,XG[2,3].

在A4D石和AAEM中，由余弦定理，得

AD?=DM?+AM?-2£)M•XM.cos…①

松=f32_2£)w.AM.cos(4-ZAM0…②

因为M为DE的中点，所以。M=

2

由①+②，AD2+AE2=DM2+EM2+2AM2=-DE2+2AM2,

2

12

所以V+jg]=-[x+^$-6>1+2AM,所以4例2=±+>+』.

2^%2)4x22

所以，直道A"长度为关于*的函数关系式为

法2：因为在△AD石中，DE=AE-AD>

山[、1--*2----.2---------.----»2^6V-6TC22367

所以DE=AE-2AEAD+AO=一-2--xcos--+x=x~+—-6.

)x3x

所以，直道DE长度乃关于x的函数关系式为,=//+*—6,xe[2,3].

在A4DE中，因为M为。石的中点，所以而Z=方+通）.

所以戒2=5（赤？+近?+2诟.通）=；（/+*+6）.

所以，直道AM长度为关于*的函数关系式为），2=/二+当+。，XW[2,3].

（2）由（1）得，两条直道的长度之和为

/93

DE+AM=y+y

x2T+j?+2

236

厂x=~

=木+32■(当且仅当｛2X即X=C时取“=

2x_9

.4%2

故当AL>=几百米时，两条直道的长度之和取得最小值&+乎]百米.

【点睛】

本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题.

222

18.(1)Ci：—+y=LC2：x+(y-2)=1；(2)[0,^-+1]

92

【解析】

(I)消去参数(p可得G的直角坐标方程，易得曲线C2的圆心的直角坐标为(0,2),可得Ci的直角坐标方程；(II)

设M(3cos<p,sing,由三角函数和二次函数可得IMC2I的取值范围，结合圆的知识可得答案.

【详解】

X2

(1)消去参数中可得C1的普通方程为1_+y2=l,

•.•曲线C2是圆心为(2,半径为1的圆，曲线C2的圆心的直角坐标为(0,2),

2

AC2的直角坐标方程为x2+(y-2)2=1；

(2)设M(3cos(p,simp),则IMC2I=J(3cos(p)2+(simp—2了

=^9cos2(p+sin2(p-4sin(p+4=J-8sin2(p-4sin(p+13

rzTJ27

=^-8(sm(p+-)

3%

■:-l<sin(p<l,A1<|MC2|<，

2

由题意结合图象可得|MN|的最小值为1-1=0,最大值为亚+1,

2

.,.|MN|的取值范围为[0,—+1].

2

【点睛】

本题考查椭圆的参数方程，涉及圆的知识和极坐标方程，属中档题.

19.(1)-；(2)土叵.

46

【解析】

(1)分别取AB,CD的中点为O,E,易得OP,OE,。8两两垂直，以OE,OB,OP所在直线为》Vz轴建立空

间直角坐标系，易得而=(1,0,0)为平面的法向量，只需求出平面PDC的法向量为再利用

cos夕=|cos<1•AD>|=1'竺।计算即可；

|«||AD|

(2)求出两，利用IcoscW,而>|=sin。计算即可.

【详解】

(1)分别取ABCD的中点为O,E,连结PO,EO.

因为AO〃BC,所以OE〃3C.

因为ABL3C,所以

因为侧面为等边三角形，

所以4B_LOP

又因为平面PAB_L平面ABCD,

平面RSc平面ABCD=AB,OPu平面Q4B,

所以OP_L平面ABCD,

所以OP,OE,OB两两垂直.

以。为空间坐标系的原点，分别以OE,OB,OP所在直线为X，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为AB=BC=24)=2,则0(0,0,0),A(0,-1,0),B(0』,0),C(2,1,0),£>(1,-1,0),P(0,0,^),

DC=(1,2,0),PC=(2,1,-V3).

_nDC=0\x+2y=0

设平面POC的法向量为〃=(x,y,z),贝叫一，即〈厂^

n-PC=0[2x+y-，3z=0

取y=i,则工=一2,2=-石，所以〃=(一2,1,一0).

又而=(1,0,0)为平面Q46的法向量，设平面加8与平面所成的锐二面角的大小为。，则

.--.\n-AD\2五

cos夕n=|cos<n•AD>|=------=/==——.

卬IAO|^/(-2)2+l2+(-V3)22

兀

所以平面PAB与平面PDC所成的锐二面角的大小为

z

(2)由(1)得,平面由DC的法向量为，=(-2,1,-石)，正=(2,1,->),

所以成苑=配+几/=(-2/1+2,-；1,6/1)(0羽儿1).

又直线BQ与平面PDC所成角为。,

所以…”，除|=s呜，即点！考,

14A—4—?1—341

即

J(-2)~+1+(-A/5)2xJ(-2》+2)~+(-㈤2+2

化简得6万-6几+1=0,所以4=三且，符合题意.

6

【点睛】

本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角，涉及到面面垂直的性质定理的应用，做好此类题的关键是准确写出点的

坐标，是一道中档题.

20.y=2sin2x.

【解析】

1

计算MN,计算得到函数表达式.

0

【详解】

1o

：.MN=

020

1

xX—X

•••在矩阵MN变换下,2

yy

，曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y=2sin2x.

【点睛】

本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力.

21.(I)证明见解析；(H)巫;(ID)线段EF上是存在一点N,1EN0-也,使直线QV与平面8CT所成

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的角正弦值为叵.

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【解析】

(I)取AC中点尸，连结MP、FP,推导出四边形EFPM是平行四边形，从而FP//EM,由此能证明石M//平

面ACF;(II)取A3中点。，连结CO,F0,推导出R7_L平面ABC,OCVAB,以。为原点，0C为x轴，

OB为y轴，。尸为二轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BC-E的余弦值；(in)假设在线段所

上是存在一点N,使直线CN与平面8C尸所成的角正弦值为四，设EN=t.利用向量法能求出结果.

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【详解】

(I)证明：取AC中点P,连结"P、FP,

•.•AABC是边长为2的等边三角形，AB//EF,ZABE=90°,BE=EF=1，点M为的中点，

•'-E尸//MP,...四边形"PM是平行四边形，.\"//EM,

•.・EM仁平面AC/7,FPu平面ACT7,

；.£〃//平面ACF.

(II)解：取AB中点。，连结CO,F0,

.•・在四棱柱C-ABE/中，平面/WEF，平面ABC,AA6C是边长为2的等边三角形，

AB//EF,ZABE=90°,BE=EF=3点M为BC的中点，

.•.R?_L平面ABC,O