专题16 函数几何问题(精讲)-2019年中考数学高频考点突破全攻略(解析版)_第1页
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文档简介

【课标解读】 函数与几何综合问题最大的特点就是“数”与“形”相互结合、相互渗透,中考压轴题中函数之二次函数的几何应用问题,主要是解答题,常见问题有以三角形为背景问题,以四边形为背景问题和以圆为背景问题三类。有关二次函数中的动态几何问题在以后的专题中阐述。【解题策略】从函数性质入手→探索函数与其它的关系→综合应用→解决相关问题→得出结论【考点深剖】★考点一以三角形为背景的函数综合题【典例1】(2018•山东枣庄•10分)如图1,已知二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.(1)请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式;(2)判断△ABC的形状,并说明理由;(3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标;(4)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标.(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD⊥x轴于点D,根据三角形相似对应边成比例求得MD=(n+2),然后根据S△AMN=S△ABN﹣S△BMN得出关于n的二次函数,根据函数解析式求得即可.【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),∴,解得.∴抛物线表达式:y=﹣x2+x+4;(3)∵A(0,4),C(8,0),∴AC==4,①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(﹣8,0),②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(8﹣4,0)或(8+4,0)③作AC的垂直平分线,交x轴于N,此时N的坐标为(3,0),综上,若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0).(4)如图,设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD⊥x轴于点D,∴MD∥OA,∴△BMD∽△BAO,∴=,∵MN∥AC∴=,∴=,∴当△AMN面积最大时,N点坐标为(3,0).学科&网★考点二以四边形为背景的函数综合题【典例2】(2018·山东威海·12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),线段BC的中垂线与对称轴l交于点D,与x轴交于点F,与BC交于点E,对称轴l与x轴交于点H.(1)求抛物线的函数表达式;(2)求点D的坐标;(3)点P为x轴上一点,⊙P与直线BC相切于点Q,与直线DE相切于点R.求点P的坐标;(4)点M为x轴上方抛物线上的点,在对称轴l上是否存在一点N,使得以点D,P,M.N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,则直接写出N点坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)∵抛物线过点A(﹣4,0),B(2,0)∴设抛物线表达式为:y=a(x+4)(x﹣2)把C(0,4)带入得4=a(0+4)(0﹣2)∴a=﹣∴抛物线表达式为:y=﹣(x+4)(x﹣2)=﹣x2﹣x+4(2)由(1)抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1∵线段BC的中垂线与对称轴l交于点D∴点D在对称轴上设点D坐标为(﹣1,m)过点C做CG⊥l于G,连DC,DB∴DC=DB在Rt△DCG和Rt△DBH中∵DC2=12+(4﹣m)2,DB2=m2+(2+1)2∴12+(4﹣m)2=m2+(2+1)2解得:m=1∴点D坐标为(﹣1,1)设⊙P的半径为r,⊙P与直线BC和EF都相切如图:①当圆心P1在直线BC左侧时,连P1Q1,P1R1,则P1Q1=P1R1=r1∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°∴四边形P1Q1ER1是正方形∴ER1=P1Q1=r1②同理,当圆心P2在直线BC右侧时,可求r2=,OP2=7∴P2坐标为(7,0)∴点P坐标为(,0)或(7,0)(4)存在当点P坐标为(,0)时,①若DN和MP为平行四边形对边,则有DN=MP当x=时,y=﹣∴DN=MP=∴点N坐标为(﹣1,)②若MN、DP为平行四边形对边时,M、P点到ND距离相等则点M横坐标为﹣则M纵坐标为﹣由平行四边形中心对称性可知,点M到N的垂直距离等于点P到点D的垂直距离当点N在D点上方时,点N纵坐标为此时点N坐标为(﹣1,)当点N在x轴下方时,点N坐标为(﹣1,﹣)当点P坐标为(7,0)时,所求N点不存在.故答案为:(﹣1,)、(﹣1,)、(﹣1,﹣)。学科&网★考点三以相似三角形为背景的函数综合题【典例3】(2018·湖南省常德·10分)如图,已知二次函数的图象过点O(0,0).A(8,4),与x轴交于另一点B,且对称轴是直线x=3.(1)求该二次函数的解析式;(2)若M是OB上的一点,作MN∥AB交OA于N,当△ANM面积最大时,求M的坐标;(3)P是x轴上的点,过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q.过A作AC⊥x轴于C,当以O,P,Q为顶点的三角形与以O,A,C为顶点的三角形相似时,求P点的坐标.(3)设Q(m,m2﹣m),根据相似三角形的判定方法,当=时,△PQO∽△COA,则|m2﹣m|=2|m|;当=时,△PQO∽△CAO,则|m2﹣m|=|m|,然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标.【解答】解:(1)∵抛物线过原点,对称轴是直线x=3,∴B点坐标为(6,0),设抛物线解析式为y=ax(x﹣6),把A(8,4)代入得a•8•2=4,解得a=,∴抛物线解析式为y=x(x﹣6),即y=x2﹣x;把M(t,0)代入得2t+n=0,解得n=﹣2t,∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t,解方程组得,则N(t,t),∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM=•4•t﹣•t•t=﹣t2+2t=﹣(t﹣3)2+3,当t=3时,S△AMN有最大值3,此时M点坐标为(3,0);(3)设Q(m,m2﹣m),∵∠OPQ=∠ACO,∴当=时,△PQO∽△COA,即=,∴PQ=2PO,即|m2﹣m|=2|m|,解方程m2﹣m=2m得m1=0(舍去),m2=14,此时P点坐标为(14,28);解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0(舍去),m2=﹣2,此时P点坐标为(﹣2,4);★考点四以圆为背景的函数综合题【典例4】(2018·浙江宁波·14分)如图1,直线l:y=﹣x+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,点C是线段OA上一动点(0<AC<).以点A为圆心,AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D,交线段AB于点E,连结OE并延长交⊙A于点F.(1)求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值;(2)如图2,连结CE,当CE=EF时,①求证:△OCE∽△OEA;②求点E的坐标;(3)当点C在线段OA上运动时,求OE•EF的最大值.【考点】待定系数法,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数,勾股定理【分析】(1)利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式,即可求出OA,OB,即可得出结论;(2)①先判断出∠CDF=2∠CDE,进而得出∠OAE=∠ODF,即可得出结论;②设出EM=3m,AM=4m,进而得出点E坐标,即可得出OE的平方,再根据①的相似得出比例式得出OE的平方,建立方程即可得出结论;(3)利用面积法求出OG,进而得出AG,HE,再构造相似三角形,即可得出结论.【解答】解:∵直线l:y=﹣x+b与x轴交于点A(4,0),∴﹣×4+b=0,∴b=3,∴直线l的函数表达式y=﹣x+3,∴B(0,3),∴OA=4,OB=3,在Rt△AOB中,tan∠BAO==;②过点E⊥OA于M,由①知,tan∠OAB=,设EM=3m,则AM=4m,∴OM=4﹣4m,AE=5m,∴E(4﹣4m,3m),AC=5m,∴OC=4﹣5m,由①知,△COE∽△EOA,∴,∴OE2=OA•OC=4(4﹣5m)=16﹣20m,∵E(4﹣4m,3m),∴(4﹣4m)2+9m2=25m2﹣32m+16,∴25m2﹣32m+16=16﹣20m,∴m=0(舍)或m=,∴4﹣4m=,3m=,∴(,),连接FH,∵EH是⊙O直径,∴EH=2r,∠EFH=90°=∠EGO,∵∠OEG=∠HEF,∴△OEG∽△HEF,∴,∴OE•EF=HE•EG=2r(﹣r)=﹣2(r﹣)2+,∴r=时,OE•EF最大值为.【讲透练活】变式1:(2018•山东淄博•9分)如图,抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点,其中点A(1,),点B(3,﹣),O为坐标原点.(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;(2)若P(4,m),Q(t,n)为该抛物线上的两点,且n<m,求t的取值范围;(3)若C为线段AB上的一个动点,当点A,点B到直线OC的距离之和最大时,求∠BOC的大小及点C的坐标.【考点】HF:二次函数综合题.【解答】解:(1)把点A(1,),点B(3,﹣)分别代入y=ax2+bx得解得∴y=﹣(2)由(1)抛物线开口向下,对称轴为直线x=当x>时,y随x的增大而减小∴当t>4时,n<m.(3)如图,设抛物线交x轴于点F分别过点A、B作AD⊥OC于点D,BE⊥OC于点E变式2:(2018·山东泰安·11分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,﹣2),连接AE.(1)求二次函数的表达式;(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求△ADE面积的最大值;(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标,若不存在请说明理由.【分析】(1)把已知点坐标代入函数解析式,得出方程组求解即可;(2)根据函数解析式设出点D坐标,过点D作DG⊥x轴,交AE于点F,表示△ADE的面积,运用二次函数分析最值即可;(3)设出点P坐标,分PA=PE,PA=AE,PE=AE三种情况讨论分析即可.(2)由A(﹣4,0),E(0,﹣2),可求AE所在直线解析式为y=,过点D作DN⊥x轴,交AE于点F,交x轴于点G,过点E作EH⊥DF,垂足为H,如图设D(m,),则点F(m,),∴DF=﹣()=,∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH=×DF×AG+×DF×EH=×4×DF=2×()=,∴当m=时,△ADE的面积取得最大值为.变式3:(2018·新疆生产建设兵团·13分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.(1)求点A,B,C的坐标;(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动,同时,点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.设运动时间为t秒,求运动时间t为多少秒时,△PBQ的面积S最大,并求出其最大面积;(3)在(2)的条件下,当△PBQ面积最大时,在BC下方的抛物线上是否存在点M,使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)代入x=0可求出点C的纵坐标,代入y=0可求出点A、B的横坐标,此题得解;(2)根据点B、C的坐标,利用待定系数法可求出直线BC的解析式,过点Q作QE∥y轴,交x轴于点E,当运动时间为t秒时,点P的坐标为(2t﹣2,0),点Q的坐标为(3﹣t,﹣t),进而可得出PB、QE的长度,利用三角形的面积公式可得出S△PBQ关于t的函数关系式,利用二次函数的性质即可解决最值问题;(3)根据(2)的结论找出点P、Q的坐标,假设存在,设点M的坐标为(m,m2﹣m﹣4),则点F的坐标为(m,m﹣4),进而可得出MF的长度,利用三角形的面积结合△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍,可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论.学科&网(2)设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),将B(3,0)、C(0,﹣4)代入y=kx+b,,解得:,∴直线BC的解析式为y=x﹣4.过点Q作QE∥y轴,交x轴于点E,如图1所示,当运动时间为t秒时,点P的坐标为(2t﹣2,0),点Q的坐标为(3﹣t,﹣t),∴PB=3﹣(2t﹣2)=5﹣2t,QE=t,∴S△PBQ=PB•QE=﹣t2+2t=﹣(t﹣)2+.∵﹣<0,∴当t=时,△PBQ的面积取最大值,最大值为.(3)当△PBQ面积最大时,t=,此时点P的坐标为(,0),点Q的坐标为(,﹣1).假设存在,设点M的坐标为(m,m2﹣m﹣4),则点F的坐标为(m,m﹣4),变式4:(2018·四川自贡·14分)如图,抛物线y=ax2+bx﹣3过A(1,0)、B(﹣3,0),直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为﹣2,点P(m,n)是线段AD上的动点.(1)求直线AD及抛物线的解析式;(2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.【解答】解:(1)把(1,0),(﹣3,0)代入函数解析式,得,解得,抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3;当x=﹣2时,y=(﹣2)2+2×(﹣2)﹣3,解得y=﹣3,即D(﹣2,﹣3).设AD的解析式为y=kx+b,将A(1,0),D(﹣2,﹣3)代入,得,解得,直线AD的解析式为y=x﹣1;(2)设P点坐标为(m,m﹣1),Q(m,m2+2m﹣3),l=(m﹣1)﹣(m2+2m﹣3)化简,得l=﹣m2﹣m+2配方,得l=﹣(m+)2+,当m=﹣时,l最大=;变式5:(2018年湖北省宜昌市12分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OADB的顶点A,B的坐标分别为A(﹣6,0),B(0,4).过点C(﹣6,1)的双曲线y=(k≠0)与矩形OADB的边BD交于点E.(1)填空:OA=,k=,点E的坐标为;(2)当1≤t≤6时,经过点M(t﹣1,﹣t2+5t﹣)与点N(﹣t﹣3,﹣t2+3t﹣)的直线交y轴于点F,点P是过M,N两点的抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点.①当点P在双曲线y

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