版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
【课标解读】 函数与几何综合问题最大的特点就是“数”与“形”相互结合、相互渗透,中考压轴题中函数之二次函数的几何应用问题,主要是解答题,常见问题有以三角形为背景问题,以四边形为背景问题和以圆为背景问题三类。有关二次函数中的动态几何问题在以后的专题中阐述。【解题策略】从函数性质入手→探索函数与其它的关系→综合应用→解决相关问题→得出结论【考点深剖】★考点一以三角形为背景的函数综合题【典例1】(2018•山东枣庄•10分)如图1,已知二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.(1)请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式;(2)判断△ABC的形状,并说明理由;(3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标;(4)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标.(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD⊥x轴于点D,根据三角形相似对应边成比例求得MD=(n+2),然后根据S△AMN=S△ABN﹣S△BMN得出关于n的二次函数,根据函数解析式求得即可.【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),∴,解得.∴抛物线表达式:y=﹣x2+x+4;(3)∵A(0,4),C(8,0),∴AC==4,①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(﹣8,0),②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(8﹣4,0)或(8+4,0)③作AC的垂直平分线,交x轴于N,此时N的坐标为(3,0),综上,若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0).(4)如图,设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD⊥x轴于点D,∴MD∥OA,∴△BMD∽△BAO,∴=,∵MN∥AC∴=,∴=,∴当△AMN面积最大时,N点坐标为(3,0).学科&网★考点二以四边形为背景的函数综合题【典例2】(2018·山东威海·12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),线段BC的中垂线与对称轴l交于点D,与x轴交于点F,与BC交于点E,对称轴l与x轴交于点H.(1)求抛物线的函数表达式;(2)求点D的坐标;(3)点P为x轴上一点,⊙P与直线BC相切于点Q,与直线DE相切于点R.求点P的坐标;(4)点M为x轴上方抛物线上的点,在对称轴l上是否存在一点N,使得以点D,P,M.N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,则直接写出N点坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)∵抛物线过点A(﹣4,0),B(2,0)∴设抛物线表达式为:y=a(x+4)(x﹣2)把C(0,4)带入得4=a(0+4)(0﹣2)∴a=﹣∴抛物线表达式为:y=﹣(x+4)(x﹣2)=﹣x2﹣x+4(2)由(1)抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1∵线段BC的中垂线与对称轴l交于点D∴点D在对称轴上设点D坐标为(﹣1,m)过点C做CG⊥l于G,连DC,DB∴DC=DB在Rt△DCG和Rt△DBH中∵DC2=12+(4﹣m)2,DB2=m2+(2+1)2∴12+(4﹣m)2=m2+(2+1)2解得:m=1∴点D坐标为(﹣1,1)设⊙P的半径为r,⊙P与直线BC和EF都相切如图:①当圆心P1在直线BC左侧时,连P1Q1,P1R1,则P1Q1=P1R1=r1∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°∴四边形P1Q1ER1是正方形∴ER1=P1Q1=r1②同理,当圆心P2在直线BC右侧时,可求r2=,OP2=7∴P2坐标为(7,0)∴点P坐标为(,0)或(7,0)(4)存在当点P坐标为(,0)时,①若DN和MP为平行四边形对边,则有DN=MP当x=时,y=﹣∴DN=MP=∴点N坐标为(﹣1,)②若MN、DP为平行四边形对边时,M、P点到ND距离相等则点M横坐标为﹣则M纵坐标为﹣由平行四边形中心对称性可知,点M到N的垂直距离等于点P到点D的垂直距离当点N在D点上方时,点N纵坐标为此时点N坐标为(﹣1,)当点N在x轴下方时,点N坐标为(﹣1,﹣)当点P坐标为(7,0)时,所求N点不存在.故答案为:(﹣1,)、(﹣1,)、(﹣1,﹣)。学科&网★考点三以相似三角形为背景的函数综合题【典例3】(2018·湖南省常德·10分)如图,已知二次函数的图象过点O(0,0).A(8,4),与x轴交于另一点B,且对称轴是直线x=3.(1)求该二次函数的解析式;(2)若M是OB上的一点,作MN∥AB交OA于N,当△ANM面积最大时,求M的坐标;(3)P是x轴上的点,过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q.过A作AC⊥x轴于C,当以O,P,Q为顶点的三角形与以O,A,C为顶点的三角形相似时,求P点的坐标.(3)设Q(m,m2﹣m),根据相似三角形的判定方法,当=时,△PQO∽△COA,则|m2﹣m|=2|m|;当=时,△PQO∽△CAO,则|m2﹣m|=|m|,然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标.【解答】解:(1)∵抛物线过原点,对称轴是直线x=3,∴B点坐标为(6,0),设抛物线解析式为y=ax(x﹣6),把A(8,4)代入得a•8•2=4,解得a=,∴抛物线解析式为y=x(x﹣6),即y=x2﹣x;把M(t,0)代入得2t+n=0,解得n=﹣2t,∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t,解方程组得,则N(t,t),∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM=•4•t﹣•t•t=﹣t2+2t=﹣(t﹣3)2+3,当t=3时,S△AMN有最大值3,此时M点坐标为(3,0);(3)设Q(m,m2﹣m),∵∠OPQ=∠ACO,∴当=时,△PQO∽△COA,即=,∴PQ=2PO,即|m2﹣m|=2|m|,解方程m2﹣m=2m得m1=0(舍去),m2=14,此时P点坐标为(14,28);解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0(舍去),m2=﹣2,此时P点坐标为(﹣2,4);★考点四以圆为背景的函数综合题【典例4】(2018·浙江宁波·14分)如图1,直线l:y=﹣x+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,点C是线段OA上一动点(0<AC<).以点A为圆心,AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D,交线段AB于点E,连结OE并延长交⊙A于点F.(1)求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值;(2)如图2,连结CE,当CE=EF时,①求证:△OCE∽△OEA;②求点E的坐标;(3)当点C在线段OA上运动时,求OE•EF的最大值.【考点】待定系数法,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数,勾股定理【分析】(1)利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式,即可求出OA,OB,即可得出结论;(2)①先判断出∠CDF=2∠CDE,进而得出∠OAE=∠ODF,即可得出结论;②设出EM=3m,AM=4m,进而得出点E坐标,即可得出OE的平方,再根据①的相似得出比例式得出OE的平方,建立方程即可得出结论;(3)利用面积法求出OG,进而得出AG,HE,再构造相似三角形,即可得出结论.【解答】解:∵直线l:y=﹣x+b与x轴交于点A(4,0),∴﹣×4+b=0,∴b=3,∴直线l的函数表达式y=﹣x+3,∴B(0,3),∴OA=4,OB=3,在Rt△AOB中,tan∠BAO==;②过点E⊥OA于M,由①知,tan∠OAB=,设EM=3m,则AM=4m,∴OM=4﹣4m,AE=5m,∴E(4﹣4m,3m),AC=5m,∴OC=4﹣5m,由①知,△COE∽△EOA,∴,∴OE2=OA•OC=4(4﹣5m)=16﹣20m,∵E(4﹣4m,3m),∴(4﹣4m)2+9m2=25m2﹣32m+16,∴25m2﹣32m+16=16﹣20m,∴m=0(舍)或m=,∴4﹣4m=,3m=,∴(,),连接FH,∵EH是⊙O直径,∴EH=2r,∠EFH=90°=∠EGO,∵∠OEG=∠HEF,∴△OEG∽△HEF,∴,∴OE•EF=HE•EG=2r(﹣r)=﹣2(r﹣)2+,∴r=时,OE•EF最大值为.【讲透练活】变式1:(2018•山东淄博•9分)如图,抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点,其中点A(1,),点B(3,﹣),O为坐标原点.(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;(2)若P(4,m),Q(t,n)为该抛物线上的两点,且n<m,求t的取值范围;(3)若C为线段AB上的一个动点,当点A,点B到直线OC的距离之和最大时,求∠BOC的大小及点C的坐标.【考点】HF:二次函数综合题.【解答】解:(1)把点A(1,),点B(3,﹣)分别代入y=ax2+bx得解得∴y=﹣(2)由(1)抛物线开口向下,对称轴为直线x=当x>时,y随x的增大而减小∴当t>4时,n<m.(3)如图,设抛物线交x轴于点F分别过点A、B作AD⊥OC于点D,BE⊥OC于点E变式2:(2018·山东泰安·11分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,﹣2),连接AE.(1)求二次函数的表达式;(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求△ADE面积的最大值;(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标,若不存在请说明理由.【分析】(1)把已知点坐标代入函数解析式,得出方程组求解即可;(2)根据函数解析式设出点D坐标,过点D作DG⊥x轴,交AE于点F,表示△ADE的面积,运用二次函数分析最值即可;(3)设出点P坐标,分PA=PE,PA=AE,PE=AE三种情况讨论分析即可.(2)由A(﹣4,0),E(0,﹣2),可求AE所在直线解析式为y=,过点D作DN⊥x轴,交AE于点F,交x轴于点G,过点E作EH⊥DF,垂足为H,如图设D(m,),则点F(m,),∴DF=﹣()=,∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH=×DF×AG+×DF×EH=×4×DF=2×()=,∴当m=时,△ADE的面积取得最大值为.变式3:(2018·新疆生产建设兵团·13分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.(1)求点A,B,C的坐标;(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动,同时,点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.设运动时间为t秒,求运动时间t为多少秒时,△PBQ的面积S最大,并求出其最大面积;(3)在(2)的条件下,当△PBQ面积最大时,在BC下方的抛物线上是否存在点M,使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)代入x=0可求出点C的纵坐标,代入y=0可求出点A、B的横坐标,此题得解;(2)根据点B、C的坐标,利用待定系数法可求出直线BC的解析式,过点Q作QE∥y轴,交x轴于点E,当运动时间为t秒时,点P的坐标为(2t﹣2,0),点Q的坐标为(3﹣t,﹣t),进而可得出PB、QE的长度,利用三角形的面积公式可得出S△PBQ关于t的函数关系式,利用二次函数的性质即可解决最值问题;(3)根据(2)的结论找出点P、Q的坐标,假设存在,设点M的坐标为(m,m2﹣m﹣4),则点F的坐标为(m,m﹣4),进而可得出MF的长度,利用三角形的面积结合△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍,可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论.学科&网(2)设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),将B(3,0)、C(0,﹣4)代入y=kx+b,,解得:,∴直线BC的解析式为y=x﹣4.过点Q作QE∥y轴,交x轴于点E,如图1所示,当运动时间为t秒时,点P的坐标为(2t﹣2,0),点Q的坐标为(3﹣t,﹣t),∴PB=3﹣(2t﹣2)=5﹣2t,QE=t,∴S△PBQ=PB•QE=﹣t2+2t=﹣(t﹣)2+.∵﹣<0,∴当t=时,△PBQ的面积取最大值,最大值为.(3)当△PBQ面积最大时,t=,此时点P的坐标为(,0),点Q的坐标为(,﹣1).假设存在,设点M的坐标为(m,m2﹣m﹣4),则点F的坐标为(m,m﹣4),变式4:(2018·四川自贡·14分)如图,抛物线y=ax2+bx﹣3过A(1,0)、B(﹣3,0),直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为﹣2,点P(m,n)是线段AD上的动点.(1)求直线AD及抛物线的解析式;(2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.【解答】解:(1)把(1,0),(﹣3,0)代入函数解析式,得,解得,抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3;当x=﹣2时,y=(﹣2)2+2×(﹣2)﹣3,解得y=﹣3,即D(﹣2,﹣3).设AD的解析式为y=kx+b,将A(1,0),D(﹣2,﹣3)代入,得,解得,直线AD的解析式为y=x﹣1;(2)设P点坐标为(m,m﹣1),Q(m,m2+2m﹣3),l=(m﹣1)﹣(m2+2m﹣3)化简,得l=﹣m2﹣m+2配方,得l=﹣(m+)2+,当m=﹣时,l最大=;变式5:(2018年湖北省宜昌市12分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OADB的顶点A,B的坐标分别为A(﹣6,0),B(0,4).过点C(﹣6,1)的双曲线y=(k≠0)与矩形OADB的边BD交于点E.(1)填空:OA=,k=,点E的坐标为;(2)当1≤t≤6时,经过点M(t﹣1,﹣t2+5t﹣)与点N(﹣t﹣3,﹣t2+3t﹣)的直线交y轴于点F,点P是过M,N两点的抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点.①当点P在双曲线y
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 二年级上册数学教案-第9单元第3课时 长度单位 认识时间 人教版新课标
- 大班主题教案详案及教学反思《保护牙齿》
- 中班数学活动教案:10以内数量的对应
- 大班健康教案:小布袋
- 文化产业定向增发股份认购协议书
- 交通运输安全管理制度实施细则
- 大班上学期健康教案《爱护眼睛》
- 中班语言活动教案:下雨了
- 2024年俱乐部会员资格转受协议
- 《小小商店》(学案 )2023-2024学年数学二年级上册 北师大版
- 汽车修理工劳动合同三篇
- 2024年全国职业院校技能大赛高职组(药学技能赛项)考试题库(含答案)
- 2024至2030年中国羽毛球行业发展现状及投资趋势研究报告
- 第2课《原始农业与史前社会》教学设计-2024-2025学年七年级历史人教版(2024版)上册
- 新时代智慧物流行业人才培养与团队建设方案
- 2024年公司市场化选聘经理层考核管理办法
- 太阳能光伏电站施工安全标准化建设考核试卷
- 防炫(AG工艺)玻璃项目可行性研究报告模板-备案拿地
- 2024年【汽车驾驶员(技师)】证模拟考试及答案
- 临床医学:肿瘤标志物
- 瑜伽脊柱扭转课程设计
评论
0/150
提交评论