微积分在经济中应用

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第十二章微积分在经济中的应用

§1.1微积分在经济中的应用内容网络图

微积分在经

济中的应用

数列在经济中的应用复利

年有效收益

连续复利

成本函数平均最小成本需求函数供给函数均衡价格收益函数利润函数最大利润边际函数

供给弹性

弹性函数

需求弹性收入流的现值收入流的将来值消费者剩余生产者剩余

求最大利润

把经济中的某些问题转化为常微方程来求解

极限在经济中的应用

导数在经济中的应用积分在经济中的应用偏导数在经济中应用常微分方程与差分方程在经济中的应用

§1.2内容提要与例题

一、极限在经济中的应用

1.复利.

例1x银行提供每年支付一次，复利为年利率8%的银行帐户，y银行提供每年支付四次，复利为年利率8%的帐户，它们之间有何差异呢。

解两种情况中8%都是年利率，一年支付一次，复利8%表示在每年末都要加上当前余额的8%，这相当于当前余额乘以1.08.如果存入100元，则余额a为

一年后：a=100（1.08），两年后：a=100（1.08）2，。，t年后：a=100（1.08）t.

而一年支付四次，复利8%表示每年要加四次（即每三个月一次）利息，每次要加上当前余额的8%/4=2%。因此，如果同样存入100元，则在年末，已计入四次复利，该帐户将拥有100（1.02）4

元，所以余额b为

×t

一年后：b=100（1.02）4，二年后：b=（1.02）42，。，t年后：b=（1.02）4。注意这里的8%不是每三个月的利率，年利率被分为四个2%的支付额，在上面两种复利方式下，

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计算一年后的总余额显示

一年一次复利：a=100（1.08）=108.00，一年四次复利：b=100（1.02）4=108.24.因此，随着年份的延续，由于利息赚利息，每年四次复利可赚更多的钱.所以，付复利的次数越频繁可赚取的钱越多（尽管差别不是很大）.

2.年有效收益

由上面的例子，我们可以测算出复利的效果，由于在一年支付四次，复利为年利率的8%的条件下投100元，一年之后可增加到108.24元，我们就说在这种情况下年有效收益为8.24%.

我们现在有两种率来描述同一种投资行为：一年支付四次的8%复利和8.24%的年有效收益，银行称8%为年百分率（或年利率）或apr（aannualpercentagerate），我们也称为票面利率（票面的意思是“仅在名义上”）.然而，正是年有效收益确切地告诉你一笔投资所得的利息究意有多少.因此，为比较两种银行帐户，只须比较年收益.

例2银行x提供每月支付一次，年利率为7%的复利，而银行y银供每天支付一次，年利率为6.9%的复利，哪种收益好。若分别用100元投资于二个银行，写出t年后每个银行中所存余额的表达式.

解由题意知，设在银行x的一年后的余额为a1，t年后的余额为at；设在银行y的一年后的余额为b1，t年后的余额为bt.由题意知

0.0712）。100（1.005833）12。100（1.072286）。100（1.0723），120.069365b1。100（1。）。100（1.000189）365。100（1.071413）。100（1.0714），

365所以银行x帐户年有效收益。

7.23%，银行y帐户年有效收益。

7.14%.因此，银行x提供的

a1。100（1。投资行为效益好.t年后每个银行中所存余额则为

at。100（1.072286）t。100（1.0723）t，bt。100（1.071413）t。100（1.0714）t.

由此，我们可以得出。如果年利率为r（票面利率）的利息一年支付n次，那么当初始存款为p元时，t年后余额at则为at。p（1。

3.连续复利

在上式中，令n。。，得at。pe，如果初始存款为p元的利息水平是年率利为r的连续复利，则t年后，余额b可用以下公式计算：b。pert.在解有关复利的问题时，重要的是弄清利率是票面利率还是年有效收益，以及复利是否为连续的.

在现实世界中，有许多事情的变化都类似连续复利.例如，放射物质的衰变；细胞的繁殖；物体被周围介质冷却或加热；大气随地面上的高度的变化；电路的接通或切断时，直流电流的产生或消失过程等等.

例3设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定t=0）就售出，总收入为r0（元），如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t年末总收入为r。r0e2t5rtrnt）（r是票面利率）.n.

假定银行的年利率为r，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求r。0.06时的t值.

解根据连续复利公式，这批酒在窖藏t年末售出总收入r的现值为a（t）。re

。rt，而

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r。r0e2t5，所以a（t）。r0e2t。rt2t。rt5da。r0e5.令dt12t。rt（15t。r）。0，得唯一驻点t0。125r1.25r2da又22。r0e5dt于是，t0。d2a[（。r）。]，则有23dt5t10t12t。t0。r0e（。

12.5r3）。0.

11是极大值点即最大值点，故窖藏（年）售出，总收入的现值最大.t。25r225r2100当r。0.06时，t。。11（年）.

94.现值与将来值

一笔p元的存款，以年复利方式计息，年利率为r，在t年后的将来，余额为b元，那么有

b。p（1。r）t或p。b.t

（1。r）b.r（1。）ntnrt若把一年分成n次来计算复利，年利率仍为r，计算t年，并且如果b元为t年后p元的将来值，而p元是b元的现值，则b。p（1。r）nt或p。n当n趋于无穷时，则复利计算息变成连续的了（即连续复利），即b。pe或p。b。be。rt.rte例4你买的彩票中奖1百万元，你要在两种兑奖方式中进行选择，一种为分四年每年支付250000元的分期支付方式，从现在开始支付；另一种为一次支付总额为920210元的一次付清方式，也就是现在支付.假设银行利率为6%，以连续复利方式计息，又假设不交税，那么你选择哪种兑奖方式。

解我们选择时考虑的是要使现在价值（即现值）最大，那么设分四年每年支付250000元的支付方式的现总值为p，则p。250000。250000e。250000。235411。221730。202118。915。0.06。250000e。0.06。2。250000e。0.06。3

989。920210.

因此，最好是选择现在一次付清920210元这种兑奖方式.

二、导数在经济中的应用

1.导成本函数

某产品的总成本c是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（如劳动力、原料、设备等）的价格或费用的总额，它由固定成本c1与可变成本c2组成，平均成本c是生产一定量产品，平均每单位产品的成本.

设产品数量为q，成本为c，若生产的产品越多，成本就越高，所以c是增函数，对多数产品来说，如杯子、彩电等，只能是正整数，所以c的图象通常如图12-1所示

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图12-1图12-2图12-3但我们通常将c的图象看成一条通过这些点的连续曲线（图12-2），这样，对于研究问题更有利.成本函数通常具有如图12-2所示的一般形状（也有特殊的情形），c轴上的截距表示固定成本，它是即使不生产也要支出的费用（例如厂房、设备等）.成本函数最初增长很快，然后就渐渐慢下来，因为生产产品的数量较大时，要比生产数量较少时的效率更高，即所谓规模经济.当产量保持较高水平时，随着资源的逐渐匮泛，成本函数再次开始较快增长，当不得不更新厂房、设备时，成本函数会急速增长.因此，c（q）开始时是下凹的，后来变成上凹.

c为平均成本，设c1为固定成本，c2为可变成本，则c。c1。c2（q），c（q）。c（q）c1c2（q）。。.q2.收益函数

总收益r是企业出售一定量产品所得到的全部收入.

平均收益p是企业出售一定量产品，平均每出售单位产品所得到的收入，即单位产品的价格，用p表示.p与q有关，因此，p。p（q）.设总收益为r，则r。qp。qp（q）.

3.利润函数

设利润为l，则利润=收入—成本，即l。r。c.4.需求函数

“需求”指的是顾客购买同种商品在不同价格水平的商品的数量.一般来说，价格的上涨导致需求量的下降.

设p表示的商品价格，q表示需求量.需求量是由多种因素决定的，这里略去价格以外的其它因素，只讨论需求量与价格的关系，则q。f（p）是单调减少函数，称为需求函数（图12-3）.

若q。f（p）存在反函数，则p。f。1（q）也是单调减少函数，也称为需求函数.

根据市场调查，可得到一些价格与需求的数据对（p，q）.常用下列一些简单初等函数来拟合需求函数，建立经验曲线.

q。b。ap，a。0，b。0;q。kk，k。0，p。0，p。a，a，k。0，p。0;q。ae。bp，a，b。0.pp5.供给函数

“供给”指的是生产者将要提供的不同价格水平的商品的数量.一般说来，当价格上涨时，供给量增加.设p表示商品价格，q表示供给量，略去价格以外的其它因素，只讨论供给与价格的关系，则q。。（p）是单调增加函数，称为供给函数（图12-3）.

若q。。（p）存在反函数，则q。。（p）也是单调增函数.

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。1我们常用以下函数拟合供给函数，建立经验曲线.

q。ap。b，a，b。0;q。kpa，k，a。0;q。aebp，a，p。0.

6.衡价格

均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格.在图12-3中表示为需求曲线与供给曲线相交的点处的横坐标p。p，此时需求量与供给q称为均衡商品量.

如图12-3所示，当p。p时（不妨设p。p1），此时消费者希望购买的商品量为q需，生产者卖出商品量为q供.由于q供。q需，市场出现了商品供不应求，会形成抢购，从而导致价格上涨，即p增大，因而生产者增加产品的生产，有p。p.当p。p时，如图12-3中p。p2上，此时q供。q需，市场出现了供大于求，商品滞销，自然导致价格下跌，即p减少，有p。p**。****。*.

*总之，市场上的商品价格将趋向于均衡价格和均衡数量，即p和q.而两条曲线正是在此处相交，这意味着在平衡点处，一种数量为q的商品将被生产出来并以单价p销售。

7.边际分析

一般地，若函数y。f（x）可导，则导函数f’（x）也称为边际函数.

**。yf（x0。。x）。f（x0）称。。x。x为f（x）在[x0，x0。。x]上的平均变化率，它表示在[x0，x0。。x]内f（x）的平均变化速度.f（x）在点x0处的变化率f’（x0）也称为f（x）在点x0处的边际函数值，它表示f（x）在点x0处的变化速度.

在点x0处，x从x0改变一个单位，y相应的改变值为。y个单位与x0值相比很小时，则有。yx。x0。x。1x。x0。x。1。f。x0。1。。f（x0），当x的一

x。x0dx。1。f（x0。1）。f（x0）。dy。f’（x）dxx。x0。x。1。f’（x0）.

（当。x。。1时，标志着x由x0减小一个单位）.

这说明f（x）在点x0处，当x产生一个单位的改变时，y近似地改变f’（x0）个单位.在实际应用中解释边际函数值的具体意义也略去“近似”二字.

因此，我们称c’（q），r’（q），l’（q）分别为边际成本，边际收益，边际利润，而c’（q0）称为当产量为q0时的边际成本，其经济意义是当产量达到q0时，再生产一个单位产品所增添的成本（即成本的瞬时变化率）.同样r’（q0）称为当产量为q0时的边际收益，其经济意义是当产量达到q0时，再

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生产一个单位产品所得到的收益（即收益的瞬时变化率）.

8.最大利润

利润函数为l（q）。r（q）。c（q），可利用求函数最大值、最小值的方法来求最大利润.由于l’（q）。r’（q）。c’（q），令l’（q）。0得r’（q）。c’（q），即l（q）取到最大值的必要条件是：边际收益等于边际成本.当然最大利润或最小利润也不一定发生的mr。mc时，有时还要考虑导数不存在的点及端点.可是这一关系要比我们对个别问题得出的答案有力得多，因为它是帮助我们在一般情形下确定最大（或最小）利润的条件.

例5已知某厂生产x件产品的成本为c。25000。200x。12，问x（元）

40（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品；

（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品。解（1）设平均成本为y，则y。令y’。。25000x，。200。x40250001。。0，解得x1。1000，x2。。1000（舍去）.而240xx。1000y’’。50000，y’’3x。5。10。5。0.所以当x。1000时，y取得唯一的极小值.从而，要使平均

成本最小，应生产1000件产品.

x2x2）。300x。。25000，由于（2）利润函数l（x）。500x。（25000。200x。4040l’（x）。300。x1解得x=6000.因为l’’（x）。。，令l’（x）。0，，l’’（6000）。0.所以当x=6000时，

2021l取得唯一的极大值，即最大值.从而，要使利润最大，应生产6000件产品.

例6一商家销售某种商品的价格p满足关系式p。7。0.2x，其中x为销售量（单位：kg），商品的成本函数（单位：百元）是c=3x+1.

（1）若每销售1kg商品，政府要征税t（单位：百元），求该商家获得最大利润时的销售量；（2）t为何值时，政府税收总额量大.

解（1）当销售了xkg商品时，总税额为t。tx.商品销售总收入为r。px。（7。0.2x）x，利润函数为l。r。c。t。。0.2x。（4。t）x。1，

2dl。。0.4x。4。t，dx5d2ldl5令。0，解得x。（4。t）.又2。0，所以x。（4。t）为利润最大时的销售量.

2dx2dx（2）将x。55dtdt（4。t）代入t。tx，得t。10t。t2，。10。5t.令。0，解得t。

2.又22dtdtd2t。。5。0，所以t。2时，t有唯一极大值，同时也是最大值.此时，政府税收总额最大.dt2

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例7某商品进价为a（元/件），当销售价为b（元/件）时，销售量为c件（a，b，c均为正常数，且b。4，市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价.试问，a）3x0.4c。，b。p0.1b当销售价定为多少时，可获得最大利润。并求出最大利润.

解设p表示降价后的销售