2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性课后习题第五章　一元函数的导数及其应用5-3-2　第2课时　函数的最大（小）值

第2课时函数的最大(小)值必备知识基础练1.函数f(x)=x33x+1在区间[3,0]上的最大值和最小值分别是()A.1,1 B.1,17 C.3,17 D.9,192.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6h到9h,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:y=18t334t2+36t6294.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是A.6h B.7h C.8h D.9h3.(多选题)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则()A.函数在区间[2,0]上的最大值、最小值均在端点处取得B.2为f(x)的极小值点C.f(x)在12D.f(2)是f(x)的最小值4.(2022江苏连云港高二期末)函数f(x)=(x+1)ex的最小值是.

5.函数y=x+12x2(x>0)的最小值为6.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的体积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为,最小表面积为.

7.求下列函数的最值:(1)f(x)=sinx+cosx,x∈π2,π(2)f(x)=ln(1+x)14x2,x∈[0,2]关键能力提升练8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q与零售价p有如下关系:Q=8300170pp2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入进货支出)()A.30元 B.60元C.28000元 D.23000元9.函数f(x)=6xx3+6在[0,4]上的最大值与最小值之和为()A.46 B.35 C.6 D.510.已知函数f(x)=x3+ax24在x=2处取得极值,若m,n均属于[1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是()A.13 B.15 C.10 D.1511.若函数f(x)=x33x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,则实数a的取值范围是()A.[3,+∞) B.(3,+∞)C.(3,0) D.[3,0]12.已知函数f(x)=ex2x+a有零点,则a的取值范围是.

13.已知存在x∈(0,+∞)使不等式2xlnx≤x2+ax3成立,则实数a的取值范围是.

14.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=k3x+5(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.15.已知函数f(x)=alnxbx2,a,b∈R,且曲线y=f(x)在x=1处与直线y=12相切(1)求a,b的值;(2)求f(x)在1e,e上的最大值.16.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=ax-3+10(x6)2,其中3<x<6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.学科素养创新练17.已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)当a<0时,求函数f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤34a参考答案第2课时函数的最大(小)值1.Cf'(x)=3x23=3(x1)(x+1),令f'(x)=0,得x=±1.又f(3)=27+9+1=17,f(0)=1,f(1)=1+3+1=3,1∉[3,0].所以函数f(x)的最大值为3,最小值为17.2.C由题意,得y'=38t232t+36=38(t+12)(令y'=0得t=12(舍去)或t=8.当6≤t<8时,y'>0;当8<t≤9时,y'<0,所以当t=8时,y有最大值,即此时刻通过该路段用时最多.3.ABC由导函数y=f'(x)的图象可知,函数f(x)在区间[2,0]上单调递增,因此在区间[2,0]上的最大值、最小值均在端点处取得,故A正确;f(x)在2,12和(2,+∞)上单调递增,在(∞,2)和12,2上单调递减,且2为f(x)的极小值点,故B和C均正确;f(2)是函数f(x)的极小值,但不一定是最小值,故D错误.故选ABC.4.1e2函数f(x)=(x+1)ex的导数为f'(x)=(x+2)ex,当x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,因此当x=2时,函数有最小值,最小值为f(2)=(2+1)e2=5.32y'=1+12×(2)×1x3=11x3=x3-1x3=(x-1)(x2+x+1)x3,所以当x>1时,y'>0,当06.327π设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r(r>0),则水桶的高为27r2,所以S=πr2+2πr×27r2=πr2+54πr(r>0),S'=2πr54πr当0<r<3时,S'<0;当r>3时,S'>0,所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.∴Smin=π×32+54π3=9π+18π=277.解(1)f'(x)=cosxsinx.令f'(x)=0,即tanx=1,且x∈π2,π2,所以x=又因为fπ4=2,fπ2=1,fπ2=1,所以当x∈π2,π2时,函数的最大值为fπ4=2,最小值为fπ2=1.(2)f'(x)=11+令11+x-x2=0,化简为x解得x1=2(舍去),x2=1.f(1)=ln214,f(0)=0,f(2)=ln31>∵f(1)>f(2),∴f(0)=0为函数f(x)在[0,2]上的最小值,f(1)=ln214为函数f(x)在[0,2]上的最大值8.D设毛利润为L(p),由题意知L(p)=Q(p20)=(8300170pp2)(p20)=p3150p2+11700p166000,所以L'(p)=3p2300p+11700.令L'(p)=0,解得p=30或p=130(舍去).此时,L(30)=23000.因为在p=30附近的左侧L'(p)>0,右侧L'(p)<0,所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元.9.B由f(x)=6xx3+6得f'(x)=3x3x2=3(1-x2x)x,由f'当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)的极大值为f(1)=11,又f(0)=6,f(4)=46,所以f(x)的最大值为11,最小值为46,所以最大值与最小值之和为35.故选B.10.A对函数f(x)求导得f'(x)=3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f(x)=x3+3x24,f'(x)=3x2+6x,易知f(x)在[1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,∴当m∈[1,1]时,f(m)min=f(0)=4.又f'(x)=3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴当n∈[1,1]时,f'(n)min=f'(1)=9,故f(m)+f'(n)的最小值为13.11.D∵f(x)=x33x2+1,∴f'(x)=3x26x,令f'(x)=3x26x=0,解得x=0或x=2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(∞,2)2(2,0)0(0,+∞)f'(x)0+0f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减由f(x)=1,得x33x2+1=1,解得x=0或x=3.当x>0时,f(x)<f(0)=1,当x<3时,f(x)>f(3)=1.又f(x)=x33x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,∴a的取值范围为[3,0].故选D.12.(∞,2ln22]函数f(x)=ex2x+a有零点,即方程ex2x+a=0有实根,即函数g(x)=2xex的图象与直线y=a有交点,而g'(x)=2ex,易知函数g(x)=2xex在(∞,ln2)上单调递增,在(ln2,+∞)上单调递减,因而g(x)=2xex的值域为(∞,2ln22],所以要使函数g(x)=2xex的图象与直线y=a有交点,只需a≤2ln22即可.13.[4,+∞)2xlnx≤x2+ax3,则a≥2lnx+x+3x设h(x)=2lnx+3x+x(x>0),则h'(x)=(当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.∴h(x)min=h(1)=4.∴a≥h(x)min=4.14.解(1)由题设,每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5(0≤x≤10),再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)而建造费用为C1(x)=6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(2)f'(x)=62400(3x+5)2,令f'(解得x=5或x=253(舍去)当0<x<5时,f'(x)<0;当5<x<10时,f'(x)>0.故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70当隔热层为5cm厚时,总费用达到最小值70万元.15.解(1)f'(x)=ax2bx(x>0)由曲线y=f(x)在x=1处与直线y=12相切得f'(1(2)由(1),得f(x)=lnx12x2,定义域为(0,+∞)f'(x)=1xx=1令f'(x)>0,得0<x<1,令f'(x)<0,得x>1,所以f(x)在1e,1上是增函数,在(1,e]上是减函数,所以f(x)在1e,e上的最大值为f(1)=12.16.解(1)因为x=5时,y=11,所以a2+10=11,a=2(2)由(1)知,该商品每日的销售量y=2x-3+10(x所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x3)·2x-3+10(x6)2=2+10(x3)(x6)2,3<x<从而,f'(x)=10[(x6)2+2(x3)(x6)]=30(x4)(x6),于是,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f'(x)+0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.17.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x+2ax+2a+1=(x+1)(2ax+1)x.令f'(x)若a<0,则12a>0,当x∈0,12a时,f'(x)>0;当x∈12a,+∞时,f'(x)<故f(x)在0,12a上单调递增,在12a,+∞上单调递减.(2)证明由(1)