第18章 平行四边形（B卷·能力提升练）（解析版）

班级姓名学号分数第18章平行四边形（B卷·能力提升练）（时间：120分钟试卷满分：120分）选择题（每小题3分，共10题，共30分）1．（2022秋•莱阳市期末）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，若AB＝6，AD＝8，则EF的长度为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【考点】平行四边形的性质；【分析】先证明AB＝AE＝3，DC＝DF，再根据EF＝AF+DE﹣AD即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD，AD∥BC，∵BF平分∠ABC交AD于E，CE平分∠BCD交AD于F，∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，∴AB＝AF＝6，DC＝DE＝6，∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣AD＝4．故选：A．2、（2022春•临漳县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCBC．AO＝CO，AB＝DC D．AB∥DC，DO＝BO【答案】C【考点】平行四边形的判定【分析】根据平行四边形的判定“①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可判断求解.【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；B、∵AB∥DC，∴∠DAB+∠ADC＝180°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C、∵AO＝CO，AB＝DC，∠AOB＝∠COD，不能判定△AOB≌△COD，∴不能得到∠OAB＝∠OCD，∴不能得到AB∥CD，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D、∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠OCD，在△AOB和△COD中，∠OAB=∠OCD∠AOB=∠COD∴△AOB≌△COD（AAS），∴AB＝DC，又∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；故答案为：C.3、（2023•三水区校级开学）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，菱形ABCD的面积为48，DE＝6，则AD的长为（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】B【考点】菱形的性质；【分析】由菱形的性质得AD＝AB，再由菱形的面积求出AB＝8，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵DE⊥AB，∴菱形ABCD的面积＝AB•DE＝48，即6AB＝48，∴AB＝8，∴AD＝AB＝8，故选：B．4、（2022秋•碑林区校级期末）如图，在边长为43的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则AFA．4−23 B．23−4 C．4−4【答案】D【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；【分析】由余角的性质可求∠CDE＝∠BCF＝30°，由直角三角形的性质可得BF＝4，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC＝AB＝43，∠BCD＝∠B＝90°，∵DE⊥CF，∴∠CDE+∠DCF＝90°＝∠DCF+∠BCF，∴∠CDE＝∠BCF＝30°，∴BC=3BF＝43∴BF＝4，∴AF＝AB﹣BF＝43−故选：D．5、（2022春•襄州区期末）如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则下列判断：①四边形AEDF一定是平行四边形；②若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；③若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形；④若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形．正确的是（）A．①②③④ B．①④ C．①③④ D．①②④【答案】C【考点】正方形的判定与性质；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定；【分析】①由三角形的中位线定理可以判定结论正确；②利用AD平分∠A可以判定四边形AEDF是菱形而非正方形，可得②的结论错误；③利用斜边上的中线等于斜边的一半可得出DE＝DF，从而得出四边形AEDF是菱形；④∠A＝90°，则根据①的结论可得四边形AEDF是矩形．【解答】解：①∵D是BC的中点，E是AB的中点，∴DE∥AC．∵D是BC的中点，F是AC的中点，∴DF∥AB．∴四边形AEDF是平行四边形．∴①正确；②如图，由①知：AE∥DF，∴∠EAD＝∠ADF．若AD平分∠BAC，则∠EAD＝∠FAD．∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝FD，∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形．∴②不正确；③如图，若AD⊥BC，∵D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC．∵AD⊥BC，E是AB的中点，∴DE=12同理：DF=12∴DE＝DF．由①知：四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形．∴③正确；④若∠A＝90°，如图，由①知：四边形AEDF是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形，∴④正确；综上可得，正确的结论有：①③④，故选：C．6、（2022•利通区校级一模）如图，在□ABCD中，AB＝3，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于12BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则四边形ABEF的周长为（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】A【考点】等式的性质；平行线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；角平分线的定义【分析】利用基本作图得到AB=AF=3，∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质得BC∥AD，则∠BEA=∠FAE，【解答】由作法得AB＝AF＝3，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠FAE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴BE∥AF∴∠BEA＝∠FAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴BE＝BA＝3，∴BE＝AF∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB＝AF∴四边形ABEF为菱形，∴四边形ABEF的周长＝4×3＝12.故答案为：A.7、（2022秋•封丘县校级期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为（）A．1 B．32 C．2 D．【答案】A【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；【分析】连接BE并延长交AC的延长线于点F，易证明△ABF是等腰三角形，则得AF的长，点E是BF的中点，求得CF的长，从而DE是中位线，即可求得DE的长．【解答】解：连接BE并延长交AC的延长线于点F，如图，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠AEF＝90°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，∴∠ABE＝∠AFE，∴△ABF是等腰三角形，∴AF＝AB＝5，点E是BF的中点，∴CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2，DE是△BCF的中位线，∴DE=1故选：A．8、（2022春•潼关县期末）如图所示，以Rt△ABC的直角边AC向△ABC外构造等边△ACD，E为AB的中点，连接CE、DE，∠ACB＝90，∠ABC＝30°．下列结论：①AC⊥DE；②四边形BCDE是平行四边形；③四边形ADCE是菱形；④S四边形BCDE＝3S△ACD．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】菱形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质；【分析】根据直角三角形的性质得到∠BAC＝60°，AC=12AB，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝60°，推出CD∥AB，根据线段中点的定义得到BE＝AE=12AB，根据平行四边形的判定定理得到四边形BCDE为平行四边形，故②正确；四边形ADCE是平行四边形，根据菱形的判定定理得到四边形ADCE是菱形，故③正确；根据平行四边形的性质得到DF∥BC，根据垂直的定义得到AC⊥DE，故①正确；设AC＝x，则【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°，AC=12∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAC，∴CD∥AB，∵E为AB的中点，∴BE＝AE=12∴BE∥CD，CD＝BE＝AE，∴四边形BCDE为平行四边形，故②正确；四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB＝90°，AE＝BE，∴CE＝AE=12∴四边形ADCE是菱形，故③正确；∵四边形BCDE为平行四边形，∴DF∥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥DE，故①正确；设AC＝x，则AB＝2x，∴S△ACD＝S△ACE＝S△CBE=34x∴S四边形BCDE＝2S△BCE＝2S△ACD，故④错误；故选：C．9、（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若∠AOE=150°，DF=3，则EFA．23 B．2+3 C．3+1【答案】A【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；【分析】由题意证明△BOE≌△COF（ASA），所以OE＝OF，则△OEF是等腰直角三角形；过点F作FG⊥OD，解三角形OFD即可得出OF的长，进而可求出EF的长．【解答】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线，∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，∵∠AOE＝150°，∴∠BOE＝60°；∵OE⊥OF，∴∠EOF＝∠BOC＝90°，∴∠BOE＝∠COF＝60°，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴△OEF是等腰直角三角形；过点F作FG⊥OD，如图，∴∠OGF＝∠DGF＝90°，∵∠ODC＝45°，∴△DGF是等腰直角三角形，∴GF＝DG=22DF∵∠AOE＝150°，∴∠BOE＝60°，∴∠DOF＝30°，∴OF＝2GF=6∴EF=2OF＝23故选：A．10、（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】D【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；【分析】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝12，连接PE、CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝10，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝12，连接PE，则BE＝2AB＝24，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∴CE=B∴PC+PB的最小值为26，即PC+QD的最小值为26，故选：D．填空题（每小题3分，共8题，共24分）11、（2021秋•鄞州区校级期末）如图，在□ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BAD＝120°，则∠BCE的度数为.【答案】30°；【考点】平行四边形的性质；【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD＝180°，可得∠B的度数，由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE＝90°﹣∠B即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∵CE⊥AB，∴∠E＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；故选：30°．12、如图，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有种.【答案】4；【考点】平行四边形的判定；【分析】根据平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可一一判断得出答案.【解答】解：因为平行四边形的判定方法有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可选①③；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可选②④；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可选①②或③④；故答案为：法有四种。故答案为：4.13、（2022•东平县校级开学）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝度．【答案】75【考点】矩形的性质；【分析】根据矩形的性质推出OA＝OB，根据角平分线求出AB＝BE，得到等边三角形OAB，推出∠OBC＝∠OCB＝30°，OB＝BE，求出∠BOE的度数即可求出答案．【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝BO＝CO＝DO，∠ABC＝90°，∵∠CAE＝15°，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴AB＝BE，∴∠BAC＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BCA＝30°，AB=12AC＝∴BE＝BO，又∵∠DBC＝∠ACB＝30°，在△BOE中，∠BOE＝（180°﹣∠DBC）÷2＝75°．故答案为：75．14、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是．【答案】（﹣2，3）．【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．【分析】作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，先证明△AOD≌△COE，因为C（3，2），所以OD=OE=3，AD=CE=2，再根据点A在第二象限求出点A的坐标．【解答】解：如图，作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO=∠CEO=90°，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC=∠DOE=90°，OA=OC，∴∠AOD=∠COE=90°-∠COD，在△AOD和△COE中，∠ADO＝∠CEO，∠AOD＝∠COE，OA＝OC，∴△AOD≌△COE（AAS），∵C（3，2），∴OD=OE=3，AD=CE=2，∵点A在第二象限，∴A（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．15、（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．【答案】①②③④【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；【分析】①利用SAS证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论①正确；②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确；③先证明AE＝AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确；④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确．【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形AEFD是平行四边形，∴当AB＝AC时，AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；④综合②③的结论知：当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．16、（2021八下·绍兴期中）如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E在边AB上，连接DE，取DE的中点F，连接EO并延长交CD于点G．若BE＝3CG，OF＝2，则线段AE的长是．【答案】4【考点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理【分析】本题首先利用平行四边形的性质，证明△AOE≡△COG，得到AE=CG，从而得到BE=DG.根据三角形的中位线定理，确定DG=2OF=4，所以BE=4，因为BE=3CG，所以CG=43【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AB=CD∴∠OAE=∠OCG∵点O时AC的中点∴OA=OC在△AOE和△COG中，∠OAE=∠OCG∴△AOE≡△COG（ASA）∴AE=CG∴BE=DG∵F是DE的中点∴OF是△DEG的中位线∴DG=2OF=4∵BE=DG=3CG∴CG=4即AE=4故答案为：4317．（2022秋•渠县校级期末）如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是．【答案】2【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；【分析】连接AC，PB，AC交BD于O，根据S△BCE＝S△BPC+S△BPE，从而12BE•OC=12BE•【解答】解：如图，连接AC，PB，AC交BD于O，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC=2BC=∴OC=12AC∵S△BCE＝S△BPC+S△BPE，∴12BE•OC=12BE•∵BC＝BE，∴BE•OC＝BE•PR+BE•PQ，∴PR+PQ＝OC=2故答案为：2218、如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为．【答案】52或【考点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，由线段的构成AM=AB-BM可将AM用含x的代数式表示出来，用勾股定理可求得x的值；在Rt△END′中，设ED′=a，由题意可分两种情况：①当MD′=3时，用勾股定理可求解；②当MD′=4时，同理可求解.【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P.∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，AM=7-3=4，D′N=5-3=2，EN=4-a，∴a2=22+（4﹣a）2，解得a=52，即DE=5②当MD′=4时，AM=7-4=3，D′N=5-4=1，EN=3-a，∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=53，即DE=5故答案为：52或5三、解答题（共8题，共66分）19、（7分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．【考点】矩形的判定【分析】根据平行四边形的性质、利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形.【解答】证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，∴AD⊥BC，BD=CD，∴∠ADC=90°，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，AE=BD，∴AE∥CD，AE=CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形20、（7分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O．求证：AD与BE互相平分．【考点】平行四边形的判定与性质【分析】连接BD，AE，利用ASA证出△ABC≅△DEF，即可得出四边形ABDE是平行四边形，即可证出AD与BE互相平分．【解答】（1）证明：如图，连接BD、AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠DEF,BC＝EF,∠ACB＝∠DFE，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分；21、(8分)（2022•海曙区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．（1）求证：AF＝CE；（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质;【分析】（1）根据平行四边形ABCD的对边平行得出AD∥BC，又AE＝CF，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形AECF为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论；（2）根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AE∥CF，又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AE＝12AD，CF＝12∴AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF＝CE；（2）解：∵四边形AECF的周长为10，AF＝3，∴AE+CF＝10﹣2×3＝4，∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8，∵AB＝2，∴平行四边形ABCD的周长＝8+2×2＝12．22、（8分）在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．【考点】角平分线的性质；菱形的判定与性质【分析】（1）根据菱形的判定定理可得出四边形为菱形。（2）根据角平分线的性质，可计算得出AC的长度。【解答】（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，∴DE=BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=DE，∴四边形BCDE是菱形．（2）解：连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴AB=BC=1，∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB=12，∴∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，在Rt△ACD中，∵AD=2，∴CD=1，AC=3．23、（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD为矩形；（2）若AB=3，DE=4，BF=5，求DF的长．【考点】矩形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）先证四边形AEFD为平行四边形，再证∠AEF=90°，即可得出结论；（2）由矩形的性质得DF=AE，AF=DE=4，再由勾股定理的逆定理得△BAF为直角三角形，∠BAF=90°，然后由面积法求出AE的长，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴AD=BC=EF，又∵AD∥EF，∴四边形AEFD为平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°，∴平行四边形AEFD为矩形；（2）解：由（1）知，四边形AEFD为矩形，∴DF=AE，AF=DE=4，∵AB=3，DE=4，BF=5，∴AB2+AF2=BF2，∴△BAF为直角三角形，∠BAF=90°，∴S△ABF＝12AB×AF＝12BF∴AB×AF=BF×AE，即3×4=5AE，∴AE＝125∴DF＝AE＝12524、（8分）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；（2）当∠ADB＝90°时，求证：四边形DEBF是菱形．【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB//CD，根据平行四边形的判定定理得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到DE＝12AB＝EB，根据菱形的判定定理即可得到结论【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴EB＝DF，EB∥DF，∴四边形DEBF为平行四边形；（2）证明：∵∠ADB＝90°，E为边AB的中点，∴DE＝12∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF为菱形．25、（8分）（2021秋•肇源县期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．【考点】平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理；【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵CF＝3BF，