辽宁省四校2023届高一数学第一学期期末考试模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

请将正确答案涂在答题卡上.)

1.函数f(x)=e，+x-2的零点所在的一个区间是

A.(-2-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

2.设”=32，b=c=log|5；,则a,》,c的大小关系是。

A.a<b<CB.a<c<b

C.c<a<hD.c<b<ci

3.设函数+学的最小正周期为4)，且/(x)在［0,5加内恰有3个零点，则。的

取值范围是()

八乃〕「乃n

B.0,—U—

43~2

c兀7171

D.0,—U

657

一4COS3x4-1

4.函数丁=的图像大致为

3—3

TT

5.要得到函数/•(x)=cos(2A--)的图象，只需将函数g(x)=cos2x的图象()

6

TTTT

A.向左平移;个单位长度B.向右平移g个单位长度

66

冗TF

C.向左平移二单位长度D.向右平移三个单位长度

1212

6.在％，V轴上的截距分别是-3,4的直线方程是

A.4x+3x-12=0B.4x—3y+12=0

C.4x+3y—l=0D.4x—3y+1=0

7.函数/(x)=Asin®x+0)(A>O,3>O,一万<0<0),其部分图象如图所示，则/)

B近

A

22

1

C・一

2

4

8,若命题“玉>0,使得一+X-QW0”为真命题，则实数〃的取值范围是()

X

A.a>4B.6/>4

C.a<4D.a<4

9.已知0<"J,x=log〃2,y=,z=/，则x，>，工的大小关系是O

A.zcycxB.x<z<y

C.z<x<yD.x<"z

10.下列各式中与Jl^sin4相等的是

A.sin2-cos2B.cos2-sin2

C.cos2D.-cos2

11.若将函数,、的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移

侬=侬（％+3I

个单位长度，得到函数式%）的图象，则下列说法正确的是（）

A.久幼的最小正周期为钿B.g（功在区间।上单调递减

［r。用

图象的一条对称轴为直线图象的一个对称中心为

x=

h管⑼

JT____

12.在边长为3的菱形ABC。中，ZDAB=-,AM=2MB>则的'.丽=（）

17

A.--B.-1

2

159

C.—D.-

22

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）

13.已知tanx=2,贝!!sin2x的值是,tan（x+?）的值是.

14.已知函数/（x）=k）g2（加-以+4）.

（D若/（”在2）上单调递减，则实数。的取值范围是；

（2）若/（x）的值域是R,则实数”的取值范围是.

15.定义:关于x的两个不等式/（%）<（）和g（x）<0的解集分别为（a,。）和［/‘J,则称这两个不等式为相连不等式.如

果不等式/_4瓜8526+2<0与不等式2/+4秒由2。+1<0为相连不等式，且匹仁,兀｝则。=

16.新高考选课走班“3+1+2”模式指的是：语文、数学、外语三门学科为必考科目，物理、历史两门科目必选一门，

化学、生物、思想政治、地理四门科目选两门.已知在一次选课过程中，甲、乙两同学选择科目之间没有影响，在物

理和历史两门科目中，甲同学选择历史的概率为:，乙同学选择物理的概率为:，那么在物理和历史两门科目中甲、

乙两同学至少有1人选择物理的概率为

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.已知/(xFsin,-.)

(1)求函数/(x)的单调递增区间与对称轴方程；

(2)当xe0,-时，求/(x)的最大值与最小值

18.已知正方体A8CO-ABCQ,瓦尸分别为AC和4。上的点，且EVJLAC，EFA.AtD.

(1)求证：EF//BD、；

(2)求证：BE,QF,DA三条直线交于一点.

19.已知函数f(x)=y/3sin2x+cos2x+a的最小值为0

(1)求。的值：

IT

(2)若在区间上的最大值为4,求机的最小值

h1

20.已知/(力=。一5二是R上的奇函数，且"1)=3

(1)求f(x)的解析式；

(2)判断f(x)的单调性，并根据定义证明

21.已知二次函数/(x)=f+6x+c满足/⑴=/(3)=-3.

(1)求b,c的值;

(2)若函数g(x)是奇函数，当xNO时,g(x)=/(x),

(i)直接写出g(x)的单调递减区间为；

(ii)若g(a)>a,求a的取值范围.

22.已知函数,/'(x)=2sinMsinx+>^'cosx)

(1)当xc0,|时，求“X)的取值范围；

(2)若关于x的方程/(%)=加在区间0,5上恰有两个不同的实数根，求实数，”的取值范围

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

请将正确答案涂在答题卡上.)

1、C

[解析]・・•/(—2)=6-2_2_2<0,/(_1)=/_]_2<0,〃0)=6°+0_2(0,八1)=6+]_2)0

.•./(1)/(0)<0,所以零点在区间(0,1)上

考点：零点存在性定理

2、C

【解析】根据对数函数和箱函数单调性可比较出大小关系.

【详解】logl51<log151=0,c<0；

•.•a45M5=1515»:.b45>a45,即b>a,Xa>0,:.c<a<b.

故选：C.

3、D

【解析】根据周期求出0=工，结合9的范围及xe[0,5加，得到当效"+孚3万，把夕看做一个整体，研究

2222

y=sinx-,在[0,3菊的零点，结合/(%)的零点个数，最终列出关于。的不等式组，求得。的取值范围

-2

。111

【详解】因为T=-=4不，所以3=—.由f(x)=O,得sin(-x+°)=-.

co222

IS777T577S77

当xw［0,5%］时，-x+(pe(p,(p+—,又喷切—,则一领力+—3兀

2［2J222

因为y=sinx-1■在［0,3加上的零点为当,—,叱，且/*)在［0,5幻内恰有3个零点，所以

26666

7171

喷切工<夕,,

6O2n7t

或，解得。G0,-u

13乃5417乃1745乃63~2

丁,。+彳,

故选：D

4、A

【解析】详解】由3'-3-'00得X。。，

Cf>q?r-I-1

故函数/(x)=与：、.的定义域为(-8,0)U(0,T8)

3-3-

r,,、cos3x+lcos3x+l—,

又f(一x)=-----------=-------------=-f(.x),

3一一3、3X-3-X

所以函数为奇函数，排除B

7T7C7V

又当x=丁时，/(-)=0当%€(0,丁)时，/(x)>0.排除C,D.选A

33;6

5、D

【解析】利用函数y=Acos3x+0)的图象变换规律即可得解.

nIT

【详解】解：•.•/(x)=cos(2x-”)=cos[2(x-6)],

612

只需将函数g(x)=cos2x图象向右平移3个单位长度即可

故选D.

【点睛】本题主要考查函数y=Acos(0x+。)图象变换规律，属于基础题

6、B

【解析】根据直线方程的截距式写出直线方程即可

【详解】根据直线方程的截距式写出直线方程二+上=1,化简得4x-3y+12=0,故选B.

-34

【点睛】本题考查直线的截距式方程，属于基础题

7、C

【解析】利用图象求出函数/（X）的解析式，即可求得的值.

【详解】由图可知，A=l,函数/（X）的最小正周期为T=2x[?-鸟]=乃，则。=四=2,

（1212J7t

所以，/（x）=sin（2x+°）,由图可得/（1||=sin（K+e）=O,

因为函数/（可在X=管5TT附近单调递增，

故且+夕=2攵〃（％wZ）,则*=2攵乃一包（攵eZ）,

66

,.•一"<0<0,故夕=_2,所以，/（X）=sin|2x-^|,

故选：C.

8、B

44

【解析】一+xW。在（0,+s）上有解，利用基本不等式求出一+x的最小值即可.

XX

4

【详解】即一+X—4W0在（0，+8）上有解,

x

4444

所以一+X4”在（0，+8）上有解，由？+任-x=4,当且仅当一=x,即x=2时取得等号，故a24

xXNxx

故选：B

9,B

【解析】根据题意不妨设。=1，利用对数的运算性质化简工,利用指数函数的单调性求出y的取值范围，利用指数塞

4

的运算求出z,进而得出结果.

【详解】由不妨设

24

则x=log,2=log]2=log,-22=-^<0,

72

所以x<z<y,

故选：B

10、A

【解析】利用二倍角公式及平方关系可得Vl-sin4=Qs2-s%2|,结合三角函数的符号即可得到结果.

【详解】Jl-sin4=1（cos2-si〃2）-=\cos2-sin2\,

又2弧度在第二象限，故sin2>0,cos2V0,

:.Jl-sin4=sin2-cos2

故选A

【点睛】本题考查三角函数的化简问题，涉及到二倍角公式，平方关系，三角函数值的符号，考查计算能力.

n、D

【解析】根据题意函数,，、的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象

f⑺=cos（X+.

向左平移个单位长度，得到函数，、，即可求出最小正周期，把看成是整体，分别求的单

:g（%）=cos（2x+q2%+彳外同

调递减区间、对称轴、对称中心，在分别验证选项即可得到答案.

【详解】由于函数，、的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），故函数的解析式为

f㈤=cos［%+J

,、，再将所得图象向左平移个单位长度，/，，故A错误；/哈

cos（2x4-^）彳gCx）=cos（2x+：+力=cos（2%+；）T="^=71

的单调减区间为，故川必在区间1］内不单调递减;

2kn<2x+^<TT+2kn,（kez）-+kn<xkn,（k&z）［。用

（X）图象的对称轴为.您加，不存在出使得忒的图象的一条对称轴为直线口，故C

2x+-=ku,fc€zx=——+—,k&zx=--

3/6212

错误；（%）图象的对称中心的横坐标为7T汽融，当土=1时，道力图象的一个对称中

2欠+巴=巴+々区,々WZ,%=三十一,々62

3212Z

心为,、,故D正确.

口）

故选：D.

12、C

【解析】运用向量的减法运算，表示向量，再运用向量的数量积运算，可得选项.

【详解】由宜=(说一砌正孙守.啊而.确

=—AB'+AD--ABAD=-X32+32--x3x3cos—=—.

333332

故选:C.

【点睛】本题考查向量的加法、减法运算，向量的线性表示，向量的数量积运算，属于基础题.

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.)

4

13、①,二②・-3

【解析】将sin2x化为"nx可得值,通过两角和的正切公式可得tan+的值.

tan^x+114)

■、4.rsin2x2sinxcosx2tanx4

【详解】因为tanx=2,所以sin2x=-^---------=—--------—=—弓——;=

sinx+cosxsinx+cosxtan~x+l5

(兀、tanx4-12+1「

tan兀+—=-------=-----=-3,

I4)1-tanx1-2

4

故答案为：y,-3.

14、①.[-2,0)②.[16,”)

-1A「1、

【解析】(1)分析可知内层函数M=5+4在亍2上为减函数，且对任意的xe-,2,〃>()恒成立，由此

-2J|_2/

可得出关于实数"的不等式组，由此可解得实数。的取值范围；

(2)分析可知(0,+功为二次函数u=ax2—ox+4值域的子集，分。=0、a。()两种情况讨论，可得出关于实数。的

不等式组，综合可得出实数”的取值范围.

【详解】(1)令〃=一火+4,y=log2u.

当a=0时，/(x)=log24=2,该函数为常值函数，不合乎题意.

所以，内层函数“=以2一以+4的对称轴为直线工=1,

由于函数“力在2)上单调递减，且外层函数y=log2〃为增函数，

'1「1、

故内层函数“二奴2一以+4在彳,2上为减函数，且对任意的xe-,2,“〉0恒成立，

Q<0

所以，9解得—2<6T<0；

4。―2。+420

（2）因为函数/（X）的值域是R,则（（）,+"）为二次函数〃=以2_6+4值域的子集.

当。=0时，内层函数为〃=4,不合乎题意;

当"。时，则有a>―0

解得〃N16.

-16«>0

综上所述，实数。的取值范围是[16,物）.

故答案为：（1）[-2,0）；（2）[16,4w）.

5

15、一兀##150°

6

【解析】二次不等式解的边界值即为与之对应的二次方程的根，利用根与系数的关系可得

11

-+1

a+b=4^cos20,ab=2,Q人=-2sin26,整理得tan26=-百，结合范围判定求值

【详解】设M一4A・cos2e+2<0的解集为（〃/），则2V+4x・sin2e+l<（）的解集为（!，一）

ba

由二次方程根与系数的关系可得

a+。=4Gcos2仇〃力=2一+,=-2sin20

ab

:.""=-2sin26,即〃+〃=-4sin2夕

ab

:.-4sin20=4Gcos20,即tan29=-6

又・・・。£（*|,兀｝则2夕£（兀,2兀）

：・26=史,即。=3兀

36

故答案为：-7T

6

7

16、-

9

【解析】至少1人选择物理即为1人选择物理或2人都选择物理，由题分别得到甲选择物理的概率与乙选择历史的概

率，进而求解即可.

【详解】由题，设“在物理和历史两门科目中甲、乙两同学至少有1人选择物理”事件A,则包括有1人选择物理,

或2人都选择物理，

因为甲同学选择历史的概率为3,则甲同学选择物理的概率为

33

21

因为乙同学选择物理的概率为3,则乙同学选择历史的概率为彳，

33

故P(4)=，XL2X2+_LX2=N,

\,3333339

故答案为：—

9

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

JTTTjrk穴

17、(D单调递增区间为一二+%兀，三+4兀，*ez,对称轴方程为竺，其中AGZ

163」32

(2)/(x)的最大值为2,最小值为-1

【解析】(1)因为/(x)=2sin(2x-t],由一5+2%兀42x-g4]+2々兀，keZ,

求得---Hz兀4x<—Fkit9kez,

63

71兀

可得函数/CO的单调递增区间为一±++Z兀，kGZ

63

,_7C7C,._7tklZ

由2x=—FkitfkeZr,求得x——I---,A£Z

6232

故f(x)的对称轴方程为x=1+g,其中〃GZ

(2)因为04x4工，所以一四42x-二故有—!<sin(2x—21Kl,

26662k6J

TT7T

故当2工一二=一;即*=0时，/(x)的最小值为-1,

66

JiITTT

当21-2=彳即工=彳时，/(x)的最大值为2

18.(1)详见解析；(2)详见解析

【解析】(1)连结A4和8(,由条件可证得EF_L平面AgC和8A，平面AB。，从而得到所〃台4.(2)结

合题意可得直线。尸和BE必相交，根据线面关系再证明该交点直线D4上即可得到结论

【详解】证明：(1)如图，连结A4和80,

在正方体ABC。-A中，4D//B、C,

'：EF

：.EF±B}C,

又EFLAC,ACnB,C=C,

EF±平面ABC

又在正方体ABC。-A耳CQ中，B[C上BC],B】CLD©,BC]cD©=C

gc,平面，

又3。u平面BGA，

/.B£工ER

同理可得与A，64,

又B]AcB[C=B],

BD}±平面44c

:.EFHBD].

(2)由题意可得EF<BDi(或者。/和BE不平行)，

又由⑴知EF〃8£>1,

所以直线2尸和BE必相交，不妨设6Ec£>L=G,

则Gw"E,

又。尸u平面A4QQ,

所以Ge平面

同理Ge平面ABC。

因为平面A4aoe平面ABC。=AD,

所以GwAD,

所以BE、D4三条直线交于一点

【点睛】(1)证明两直线平行时，可根据三种平行间的转化关系进行证明，也可利用线面垂直的性质进行证明，解题

时要注意合理选择方法进行求解

(2)证明三线共点的方法是：先证明其中的两条直线相交，再证明该交点在第三条直线上.解题时要依据空间中的线

面关系及三个公理，并结合图形进行求解

7乃

19>(1)2(2)——

6

【解析】(1)根据辅助角公式化简，由正弦型函数的最值求解即可；

(2)由所给自变量的范围及函数由最大值4,确定2机+222兀+生即可求解.

62

【小问1详解】

,/f(x)=-J3sin2x+cos2x+a=2sin(2x+—)+a,

6

•••/d=-2+。=()，

解得a=2.

【小问2详解】

由(1)知/(x)=2sin(2x+—)+2,

6

5乃jc乃「5兀八兀、

当x£—,m时2xH—G[—,2mH—],

39666

/(©max=4,

二.2m+—>2乃+一,

62

解得九2二，

6

7万

m-=——・

m,n6

2

(2)见解析

-h

【解析】(1)由可得解；

/(1)=4Z----=—

IV33

(2)利用单调性的定义证明即可.

【小问1详解】

已知/'(xha-一二一是R上的奇函数，且f(l)=L

2+13

b

/(O)=«0

2a=l

所以1,解得'

bb=2'

”1)=a——

33

?

所以/(力=1一F77

小问2详解】

2

根据指数函数的单调性可判断得/(x)=1-］不为增函数.

下证明：设不々是R上任意给定的两个实数，且王＜々,

2?2(2.-2f)

则/㈤-/⑸=1-的7r(1-罚)==(2』+1).(2*+1)

X2X,1

2>2»2'+l>0,2热+1>0,.-./(x1)</(x2)

函数y="X)在R上是单调递增函数

21、(1)b=Y；c=0；(2)。〉5或一5va<0

【解析】(D代值计算即可,

(2)先根据函数的奇偶性求出g(x)的解析式，(i)根据函数的解析式和二次函数的性质即可求出函数g(x)的单调

减区间,

a>0«<0,

(ii)根据函数单调性性质可得〈或*2)解得即