等时圆的妙用

牛顿运动定律的应用————

等时圆的妙用问题1：如下图，处在半径为R的竖直圆内的任一光滑细杆OB,一端B在圆周上,另一端O在圆的最高点,OB与竖直方向的夹角为θ,质点m沿杆从O点由静止开始下滑,求它在杆上运动的时间?一、等时圆的性质O2RBAθO2RBAθθ解一、等时圆的性质mgFNGyGx质点沿杆下滑所需的时间跟杆与竖直方向的夹角θ无关,仅由半径R决定,且等于质点从圆的最高点O到最低点A做自由落体运动的时间,这个圆就是重力场中的“等时圆〞，这个性质叫做圆的自由弦的等时性。O2RBAθ结论：一、等时圆的性质O2RBAθ问题2：假设杆时粗糙的，上述规律还成立吗？？一、等时圆的性质O2RBAθmgGxGyFNθ解问题3：假设杆时粗糙的，上述规律还成立吗？Ff结论：同理,如下图情形,从圆周上不同点沿光滑斜面滑到圆周上的最低点O,所需的时间也相等。OABCθ一、等时圆的性质问题4:如果像图所示，光滑直杆AD、BD、CD、处在竖直平面内，杆的三个端点均在同一圆周上，CD杆过圆心，假设从A、B、C三点同时静止释放套在杆上的小球，那么它们滑到D点的时间相等吗？ABDCO一、等时圆的性质等时圆中的端点应是几何空间中的最高点或最低点。结论：ABDCOtCD>tBD>tAD一、等时圆的性质问题4:例1:如下图，在同一竖直平面内固定三根光滑的细杆，细杆的一个端点均在d点，另一端点a、b、c处于同一水平线上，三环分别从a、b、c处由静止释放，t1、t2、t3分别表示各环到达d点的时间，以下判断正确的选项是〔〕t1=t2=t3t1<t2<t3C.t1>t2>t3D.无法比较运动时间的长短abcd二、“等时圆〞的应用(一)比较运动快慢abcdt1<t2<t3二、“等时圆〞的应用(一)比较运动快慢例1例2:如下图,一倾角为α的传送带上方P点为原料输入口，在P点与传送带之间建立一光滑管道,使原料沿管道能在最短时间内到达传送带上,那么管道与竖直方向的夹角β应为多大？BαAPβ二、“等时圆〞的应用(二)确定运动路径二、“等时圆〞的应用(二)确定运动路径解：以p点为等时圆的最高点，作出等时圆与皮带相切，如下图,设切点为B,圆心为O,连接OB,由几何知识可得βαAPBOα二、“等时圆〞的应用(二)确定运动路径例2例3:如下图，有一条水渠的底部是半径很大的圆弧，一位同学用以下方法估算该圆弧的半径，所用器材有：光滑小球、秒表和长木板。下面是具体的操作步骤，请将所缺的内容填写在横线上。a.用小球找出底部的最低点；b.将长木板_____________________C.将光滑小球从长木板上端由静止滑下;d.________________________e.求出圆弧半径R=_______________二、“等时圆〞的应用(三)测定圆周半径例3a.用小球找出底部的最低点；b.将长木板_____________________C.将光滑小球从长木板上端由静止滑下;d.________________________e.求出圆弧半径R=_____二、“等时圆〞的应用(三)测定圆周半径放在圆弧上,使木板下端放在O点用秒表测出小球从上端滑到O点的时间tAOOARB二、“等时圆〞的应用(三)测定圆周半径例4:如下图,在离坡底15m的山坡上,竖直地固定长为15m的直杆AO,A端与坡底B间连有一纲绳,一个穿于绳上的小球从A点由静止开始无摩擦地滑下,求其在绳上滑行的时间t(g取10m/s2).BAO二、“等时圆〞的应用(三)测定圆周半径例4:如下图,在离坡底15m的山坡上,竖直地固定长为15m的直杆AO,A端与坡底B间连有一纲绳,一个穿于绳上的小球从A点由静止开始无摩擦地滑下,求其在绳上滑行的时间t(g取10m/s2).BAO小节OABCθO2RBAθ(一)比较运动快慢(三)测定圆周半径(二)确定运动路径应用(四)计算运动时间等时圆性质通过空间任一点A可作无限多个斜面，将假设干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是〔〕A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定A解析：由“等时圆〞可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆〞上，所以A正确。课堂练习作业1：如图:，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点〔DM远小于CM〕。在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。那么：〔〕A.a球最先到达M点B.b球最先到达M点C.c球最先到达M点D.d球最先到达M点ABCDM解析：设圆轨道半径为R，据“等时圆〞理论c做自由落体运动d球滚下是一个单摆模型，摆长为R,所以c球最先到达M点

ABCDM作业2：如下图，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离ABPHhOABPHhO

O1解析：由“等时圆〞特征可知，当A、B处于等时圆周上且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求如下图，此时等时圆的半径为：所以作业3:如图，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板ao、bo、co，其下端都固定于底部圆心o，而上端那么搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。假设有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑〔忽略阻力〕，那么〔〕θaObcA.a处小孩最先到O点B.b处小孩最先到O点C.c处小孩最先到O点