高考复习函数的应用

第1页（共1页）2024年高考数学复习新题速递之函数的应用（2023年12月）一．选择题（共8小题）1．车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱．根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级x（x＝1，2，3，4，5，6）与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式y＝eax+b．若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且3级果的市场销售单价为55元/千克，则6级果的市场销售单价约为（）（参考数据：）A．156元/千克 B．158元/千克 C．160元/千克 D．164元/千克2．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（）参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98A．17.9万亿 B．19.1万亿 C．20.3万亿 D．21.6万亿3．函数f（x）＝3x+x3的零点所在区间为（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0） D．（0，1）4．如图，某炮兵从地平面A处发射一枚炮弹至地平面的另一处B，假设炮弹的初始速度为v0，发射方向与地平面所成角为α（0＜α＜），根据物理知识可知，在不计空气阻力的情况下，炮弹飞行过程中的水平距离x＝（v0cosα）t，竖直距离y＝（v0sinα）t﹣gt2，其中t为炮弹的飞行时间，g为重力加速度，对于给定的初始速度v0，要使炮弹落地点的水平距离AB最大，则发射角α应为（）A． B． C． D．5．已知则关于a的不等式f（2a）＞f（a2﹣3）的解集为（）A．（0，3） B．（﹣1，3） C．（﹣3，1） D．（0，1）6．已知函数，下列结论正确的是（）A．若f（a）＝1，则a＝3 B． C．若f（a）≥2，则a≤1或a≥5 D．若方程f（x）＝k有两个不同的实数根，则7．已知函数，g（x）＝x2﹣6x+5，当时，方程f[g（x）]＝0根的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．18．对实数a和b，定义运算“◎”：a◎．设函数f（x）＝（x2﹣1）◎（5x﹣x2），若函数y＝f（x）﹣m的图象与x轴恰有1个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，6] B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知函数的零点分别为a，b，c，下列各式正确的是（）A．a+b＝0 B．2a+log2b＝0 C．b＞c D．2a＞c2（多选）10．已知是奇函数，则（）A．a＝1 B．f（x）在x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）上单调递减 C．f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．f（log3x）＞f（2）的解集为x∈（0，9）（多选）11．已知函数，则下列结论正确的是（）A．若g（x）恰有2个零点，则m＜0或 B．若g（x）恰有3个零点，则m＝0 C．当时，g（x）恰有5个零点 D．当m＞1时，g（x）仅有1个零点（多选）12．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．f（x）的定义域为R B．f（x）的值域为R C．f（x）为奇函数 D．f（x）为增函数三．填空题（共5小题）13．若方程x2+bx+1＝0与x2﹣x﹣b＝0，有一个公共根，则b＝．14．科学研究发现，大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数m与其游动速度v（单位：m/s）的关系式为m＝k•9v（k＞0且k为常数）．当这种鲑鱼的游动速度为2m/s时，其耗氧量为8100个单位，若这种鲑鱼的游动速度不小于1.5m/s，则其耗氧量至少为个单位．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t分钟后物体的温度为θ℃满足．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln11≈2.4）16．函数f（x）＝ex+1+2x﹣10的零点所在区间为（n，n+1），n∈Z，则n的值为.（e≈2.71828）17．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是．四．解答题（共5小题）18．某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m≥0）万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍．（1）求k的值；（2）将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（3）该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）．19．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．（1）若一条鲑鱼的游速为2m/s，求该鱼的耗氧量的单位数；（2）假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，12s后甲正好追上乙，求甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值．20．如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝﹣1，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN的距离分别为1km，km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．（1）以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2，求公路BC所在直线方程．21．已知函数y＝ax﹣1﹣2（a＞0，且a≠1）过定点A，且点A在函数f（x）＝ln（x+m）﹣1，（m∈R）的图象上．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若定义在[1，2]上的函数y＝f（x）+ln（k﹣2x）恰有一个零点，求实数k的取值范围．22．2023年，8月29日，华为Mate60Pro在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机．其实在2019年5月19日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁．为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万，每生产x（千部）手机，需另投入成本R（x）万元，且由市场调研知此款手机售价0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求出2020年的利润w（x）（万元）关于年产量x（千部）的表达式；（2）2020年年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

2024年高考数学复习新题速递之函数的应用（2023年12月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱．根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级x（x＝1，2，3，4，5，6）与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式y＝eax+b．若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且3级果的市场销售单价为55元/千克，则6级果的市场销售单价约为（）（参考数据：）A．156元/千克 B．158元/千克 C．160元/千克 D．164元/千克【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算．【答案】A【分析】利用指数运算，化简求e6a+b的值．【解答】解：由题意可知，解得，由e3a+b＝55，可得．故选：A．【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，是基础题．2．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（）参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98A．17.9万亿 B．19.1万亿 C．20.3万亿 D．21.6万亿【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】B【分析】根据给定信息，构建等比数列，再求出其中的项即可．【解答】解：依题意可得：从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列{an}，其中a1＝10.9，公比q＝1+6.4%＝1.064，所以2022年进出口累计总额为（万亿）．故选：B．【点评】本题考查函数的实际应用，等比数列的应用，属基础题．3．函数f（x）＝3x+x3的零点所在区间为（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0） D．（0，1）【考点】函数零点的判定定理；二分法的定义与应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】C【分析】由函数解析式可知函数的单调性，再结合f（﹣1）＜0，f（0）＞0得答案．【解答】解：函数f（x）＝3x+x3是定义域（﹣∞，+∞）上的增函数，又f（﹣1）＝＜0，f（0）＝1＞0，所以f（﹣1）•f（0）＜0，所以函数f（x）＝3x+x3的零点所在区间为（﹣1，0）．故选：C．【点评】本题考查函数零点判定定理的应用，是基础题．4．如图，某炮兵从地平面A处发射一枚炮弹至地平面的另一处B，假设炮弹的初始速度为v0，发射方向与地平面所成角为α（0＜α＜），根据物理知识可知，在不计空气阻力的情况下，炮弹飞行过程中的水平距离x＝（v0cosα）t，竖直距离y＝（v0sinα）t﹣gt2，其中t为炮弹的飞行时间，g为重力加速度，对于给定的初始速度v0，要使炮弹落地点的水平距离AB最大，则发射角α应为（）A． B． C． D．【考点】根据实际问题选择函数类型；三角函数应用．【专题】对应思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【答案】B【分析】当炮弹再次落地时竖直距离yB＝0，表示出对应的时间，代入水平距离公式，利用三角恒等变换公式化简，找到最值．【解答】解：由题意可得：yB＝（v0sinα）t﹣gt2＝0，解得：t＝，xB＝（v0cosα）t＝（v0cosα）•＝＝＝，当2α＝，即α＝时，AB取最大值，为．故选：B．【点评】本题考查了三角恒等变换、三角函数在生活中的实际运用，属于基础题．5．已知则关于a的不等式f（2a）＞f（a2﹣3）的解集为（）A．（0，3） B．（﹣1，3） C．（﹣3，1） D．（0，1）【考点】分段函数的应用；其他不等式的解法．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】先画出函数的图像，再解不等式即可得解．【解答】解：函数的图像如图所示，则关于a的不等式f（2a）＞f（a2﹣3）等价于，解得0＜a＜3．故选：A．【点评】本题主要考查分段函数的应用，不等式的解法，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．6．已知函数，下列结论正确的是（）A．若f（a）＝1，则a＝3 B． C．若f（a）≥2，则a≤1或a≥5 D．若方程f（x）＝k有两个不同的实数根，则【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】D【分析】对于A：分a＞1和a≤1两种情况求解，即可判断；对于B：直接求解即可判断；对于C：分a＞1和a≤1两种情况求解，即可判断；对于D：作出函数图像，结合图像即可判断．【解答】解：由f（a）＝1，得或，解得a＝3或a＝0，故A错误；f（f（））＝f（log2（））＝＝2＝2022，故B错误；f（f（a））＝2﹣f（a）＝（）f（a），所以f（a）≤1，得或，解得0≤a≤3，故C错误；作出函数的图像如下图所示：结合图像可知，当方程f（x）＝k有两个不同的实数根时，k，故D正确，故选：D．【点评】本题主要考查分段函数的性质，属于中档题．7．已知函数，g（x）＝x2﹣6x+5，当时，方程f[g（x）]＝0根的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】综合题；转化思想；换元法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】C【分析】利用换元法令t＝g（x），则方程f[g（x）]＝0根的情况转化成研究方程f（t）＝0根的情况，由一元二次函数的对称轴、判别式、区间端点函数值可得方程f（t）＝0的两根的范围，进而得到方程f[g（x）]＝0根的个数．【解答】解：令t＝g（x）＝x2﹣6x+5，（t≥﹣4），∴方程f[g（x）]＝0等价于f（t）＝0，即t++a＝0，所以t2+at+1＝0①，∵Δ＝a2﹣4＞0，所以方程①有两个不相等的实根t1，t2，不妨设t1＜t2．且f（﹣4）＝（﹣4）2+a（﹣4）+1＝﹣4a+17＜0，f（0）＝02+a⋅0+1＞0，∴方程①的两根t1＜﹣4（舍去），﹣4＜t2＜0，∴t2＝x2﹣6x+5，（﹣4＜t2＜0），∵函数y＝t2与函数y＝x2﹣6x+5图象有两个交点，∴方程f[g（x）]＝0根的个数为2个．故选：C．【点评】本题考查与二次函数复合的复杂函数的零点问题，转化与化归思想的应用，属中档题．8．对实数a和b，定义运算“◎”：a◎．设函数f（x）＝（x2﹣1）◎（5x﹣x2），若函数y＝f（x）﹣m的图象与x轴恰有1个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，6] B． C． D．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．【答案】D【分析】根据定义求出f（x）的解析式，在同一个坐标系作出y＝f（x）与y＝m的图象，即可得到答案．【解答】解：因为f（x）＝（x2﹣1）◎（5x﹣x2），x∈R，所以当x2﹣1﹣（5x﹣x2）≤2，即2x2﹣5x﹣3≤0，解得﹣≤x≤3，此时f（x）＝x2﹣1；当x＝0时，f（x）在区间[﹣，3]上有最小值f（0）＝﹣1，当x＝3时，f（x）在区间[﹣，3]上有最大值f（3）＝8，所以当x∈[﹣，3]时，f（x）∈[﹣1，8]；当x2﹣1﹣（5x﹣x2）＞2，即2x2﹣5x﹣3＞0，解得x＜﹣或x＞3，此时f（x）＝5x﹣x2，当x＜﹣时，f（x）单调递增，所以f（x）＜f（﹣）＝﹣，当x＞3时，f（x）单调递减，所以f（x）＜f（3）＝6，所以当x＜﹣或x＞3，f（x）∈（﹣∞，6]．作出f（x）的图象，如图所示：函数y＝f（x）﹣m的图象与x轴恰有1个公共点，转化为函数y＝f（x）的图象与直线y＝m恰有1个交点，由图象并结合各分段区间上的f（x）的值，可得6≤m≤8或﹣≤m＜﹣1，则实数m的取值范围是[﹣，﹣1）∪[6，8]．故选：D．【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知函数的零点分别为a，b，c，下列各式正确的是（）A．a+b＝0 B．2a+log2b＝0 C．b＞c D．2a＞c2【考点】函数零点的判定定理；对数的运算性质；函数的零点．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】ABD【分析】易知，利用函数f（x）的单调性，可知a＝log2b，进而判断选项AB；作出函数的图象，数形结合，可判断选项CD．【解答】解：由于log2b+b＝0，则，由于f（x）＝2x+x在R上单调递增，且2a+a＝0，则a＝log2b，故a+b＝0，2a+log2b＝0，选项A、B正确；作出函数的图象如下图所示，由图象可知，a＜b＜c，则，则选项C错误，选项D正确．故选：ABD．【点评】本题考查函数的零点及其运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．（多选）10．已知是奇函数，则（）A．a＝1 B．f（x）在x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）上单调递减 C．f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．f（log3x）＞f（2）的解集为x∈（0，9）【考点】函数与方程的综合运用；函数奇偶性的性质与判断．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】AC【分析】根据题意，由奇函数的性质分析A，由单调性的定义分析B，求出函数f（x）的值域分析C，结合函数的奇偶性、单调性分析D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，其定义域为{x|x≠0}，若f（x）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝0，则有1++1+＝2+（a+1）（+）＝2﹣（a+1）＝0，解可得a＝1，A正确；对于B，单调区间不能写成并集的形式，B错误；对于C，由A的结论，y＝1+，变形可得：2x＝+1＝＞0，解可得y＞1或y＜﹣1，即函数的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），C正确；对于D，由A的结论，f（x）＝1+，在区间（0，+∞）上，2x﹣1＞0，f（x）＞1，而f（x）为奇函数，在区间（﹣∞，0）上，f（x）＜﹣1，又由y＝2x﹣1在（0，+∞）上递增，则f（x）＝1+在（0，+∞）上递减，又由f（2）＝1+＞0，则f（log3x）＞f（2）⇔0＜log3x＜2，解可得1＜x＜9，即不等式的解集为（1，9），D错误．故选：AC．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的单调性，属于基础题．（多选）11．已知函数，则下列结论正确的是（）A．若g（x）恰有2个零点，则m＜0或 B．若g（x）恰有3个零点，则m＝0 C．当时，g（x）恰有5个零点 D．当m＞1时，g（x）仅有1个零点【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；分类讨论；数形结合法；分类法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．【答案】CD【分析】参变分离后利用导数和二次函数的性质研究的图象特征，从而可判断不同零点个数时参数的取值范围或根据参数的范围可判断零点的个数．【解答】解：当x＝0，g（0）＝f（0）﹣0＝0，故g（x）有零点x＝0；当x≠0，g（x）的零点个数等价于方程f（x）＝mx2的根的个数，也等价于直线y＝m与函数的图象的交点个数．而，当x＞0时，，，当时，h′（x）＞0；当时，h′（x）＜0，故h（x）在上为增函数，在上为减函数，当x→0+时，h（x）→﹣∞，当x→+∞时，h（x）→0，故h（x）的图象如图所示：对于A，若g（x）恰有2个零点，则y＝m与h（x）的图象有且只有一个交点，由图可得m＝1，故A错误；对于B，若g（x）恰有3个零点，则y＝m与h（x）的图象有且只有两个交点，由图可得m≤0或，故B错误；对于C，当时，y＝m与h（x）的图象有且只有四个交点，故g（x）有五个不同的零点，故C正确；对于D，当m＞1时，y＝m与h（x）的图象有且没有交点，故g（x）有且只有一个零点．故选：CD．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属中档题．（多选）12．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．f（x）的定义域为R B．f（x）的值域为R C．f（x）为奇函数 D．f（x）为增函数【考点】分段函数的应用；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】AC【分析】根据分段函数的解析式可判断AB，画出函数f（x）的图象，根据图象可判断CD．【解答】解：对于A，根据分段函数的解析式可知，f（x）的定义域为R，故A正确，对于B，当x＞0时，f（x）＝x2+1＞1；当x＝0时，f（x）＝0；当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣1＜﹣1，所以函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪{0}∪（1，+∞），故B错误，对于C，D，画出函数f（x）的图象，如图所示，由图象可知，f（x）为奇函数，在R上单调递减，故C正确，D错误，故选：AC．【点评】本题主要考查了分段函数的应用，考查了函数单调性和奇偶性的判断，属于中档题．三．填空题（共5小题）13．若方程x2+bx+1＝0与x2﹣x﹣b＝0，有一个公共根，则b＝2．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】2．【分析】联立方程即可求解．【解答】解：，若b+1＝0，则两个方程均为x2﹣x+1＝0，而该方程无解，与题设矛盾，所以b+1≠0，所以x＝﹣1，将x＝﹣1代入x2﹣x﹣b＝0可得b＝2．故答案为：2．【点评】本题考查一元二次方程的根，解题中需要一定的推理能力，属于基础题．14．科学研究发现，大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数m与其游动速度v（单位：m/s）的关系式为m＝k•9v（k＞0且k为常数）．当这种鲑鱼的游动速度为2m/s时，其耗氧量为8100个单位，若这种鲑鱼的游动速度不小于1.5m/s，则其耗氧量至少为2700个单位．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】2700．【分析】由题意利用鲑鱼的游动速度为2m/s时，其耗氧量为8100个单位，代入m＝k⋅9v，求得k＝100，再利用v≥1.5，求出耗氧量的最小值．【解答】解：由题可知8100＝k⋅92，解得k＝100，当v≥1.5时，m≥100⋅91.5＝2700．故答案为：2700．【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于基础题．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t分钟后物体的温度为θ℃满足．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待5分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln11≈2.4）【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】5．【分析】由题意列出方程，根据指对数互化求解即可．【解答】解：由题意得，65＝25+（85﹣25）e﹣0.08t，即，所以，解得，所以大约需要等待5分钟．故答案为：5．【点评】本题主要考查函数的应用，考查运算求解能力，属于基础题．16．函数f（x）＝ex+1+2x﹣10的零点所在区间为（n，n+1），n∈Z，则n的值为1.（e≈2.71828）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】1．【分析】利用零点存在性定理以及函数的单调性求得正确答案．【解答】解：f（x）在R上递增，f（1）＝e2﹣8＜0，f（2）＝e3﹣6＞0，所以f（x）的零点在区间（1，2），所以n的值为1．故答案为：1．【点评】本题考查函数零点存在性定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．17．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是[2，5）．【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质与判断．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】[2，5）．【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得答案．【解答】解：根据题意，函数在R上单调递增，则有，解得2≤a＜5，故答案为：[2，5）．【点评】本题考查函数的单调性，涉及分段函数的性质，属于基础题．四．解答题（共5小题）18．某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m≥0）万元满足（k为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍．（1）求k的值；（2）将2023年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（3）该厂家2023年约投入多少万元促销费用时，获得的利润最大，最大利润是多少？（，结果保留1位小数）．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（1）k＝4；（2）；（3）当促销费用为3.7万元时，利润最大为19.7万元．【分析】（1）根据m＝0时，x＝1，即可求得k的值；（2）确定销售量的表达式，根据利润等于销售额减去投入，即可得答案；（3）将变形为，利用基本不等式即可求得答案．【解答】解：（1）由已知，当m＝0时，x＝1，∴，解得：k＝4；（2）由（1）知，故＝，化简得：；（3），∵m≥0，∴m+2＞0，即，则，当且仅当即时等号成立，此时，m≈4×1.414﹣2≈3.7，当促销费用约为3.7万元时，利润最大为19.7万元．【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．19．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．（1）若一条鲑鱼的游速为2m/s，求该鱼的耗氧量的单位数；（2）假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，12s后甲正好追上乙，求甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学建模；数学运算．【答案】（1）8100；（2）27．【分析】（1）将游速为2m/s代入可解出鱼的耗氧量的单位数；（2）先根据追及问题表示出甲乙的速度差，然后根据可求出各自的耗氧量的单位数的比值．【解答】解：（1）由题意得，得O＝34×100＝8100．故该鱼的耗氧量的单位数为8100．（2）设甲鲑鱼的游速为v1（单位：m/s），耗氧量的单位数为O1，乙鲑鱼的游速为v2（单位：m/s），耗氧量的单位数为O2．由题意得12（v1﹣v2）＝18，则，得，得．【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查运算求解能力，属于中档题．20．如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝﹣1，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN的距离分别为1km，km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．（1）以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2，求公路BC所在直线方程．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】方程思想；数学模型法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）点P的坐标为（1，1）；（2）x+3y﹣4＝0．【分析】（1）以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，设点P的坐标，求出直线AN的方程，利用点到直线的距离公式求出a的值，即可得到答案；（2）设直线BC的方程，与AN的方程联立，求出点C的坐标，由三角形的面积公式求出k的值，即可得到直线BC的方程．【解答】解：（1）以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，由题意，设点P（a，1），且直线AN的斜率为kAN＝tanα＝﹣1，经过点A（0，0），所以直线AN的方程为x+y＝0，又点P到直线AN的距离为，所以，解得a＝1或a＝﹣3（舍），故点P的坐标为（1，1）；（2）由题意可知，直线BC的斜率一定存在，设直线BC的直线方程为y﹣1＝k（x﹣1），联立直线BC与AN的方程，，解得点C的坐标为，在直线BC的方程中，令y＝0，解得，所以，解得，故直线BC的方程为x+3y﹣4＝0．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21．已知函数y＝ax﹣1﹣2（a＞0，且a≠1）过定点A，且点A在函数f（x）＝ln（x+m）﹣1，（m∈R）的图象上．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若定义在[1，2]上的函数y＝f（x）+ln（k﹣2x）恰有一个零点，求实数k的取值范围．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数解析式的求解及常用方法．【专题】分类讨论；函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．【答案】（Ⅰ）f（x）＝lnx﹣1；（Ⅱ）（2+e，4+]．【分析】（Ⅰ）把定点A代入函数f（x）的解析式求出m的值即可；（Ⅱ）问题等价于g（x）在[1，2]上恰有一个零点，根据函数零点的定义，结合二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）函数y＝ax﹣1﹣2（a＞0，且a≠1）过定点A（1，﹣1），函数f（x）＝ln（x+m）﹣1，（m∈R）的图象过点A（1，﹣1），即﹣1＝ln（m+1）﹣1，解得m＝0，函数f（x）的解析式为f（x）＝lnx﹣1；（Ⅱ）函数y＝f（x）+ln（k﹣2x）＝lnx+ln（k﹣2x）﹣1定义在[1，2]上，由k﹣2x＞0在[1，2]上恒成立，可得k＞4，令y＝lnx+ln（k﹣2x）﹣1＝ln（kx﹣2x2）﹣1＝0，得2x2﹣kx+e＝0，设g（x）＝2x2﹣kx+e，函数y＝f（x）+ln（k﹣2x）在[1，2]上恰有一个零点，等价于g（x）在[1，2]上恰有一个零点，函数g（x）＝2x2﹣kx+e图象抛物线开口向上，对称轴x＝＞1，若，无解，不成立；若g（1）•g（2）＝（2﹣k+e）（8﹣2k+e）＜0，解得2+e＜k＜4+，满足题意；若，无解，不成立；若，解得k＝4+，满足题意．所以实数k的取值范围为（2+e，4+]．【点评】本题考查了指数函数、对数函数、二次函数的性质，考查了转化思想、分类讨论思想，属于中档题．22．2023年，8月29日，华为Mate60Pro在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机．其实在2019年5月19日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁．为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万，每生产x（千部）手机，需另投入成本R（x）万元，且由市场调研知此款手机售价0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求出2020年的利润w（x）（万元）关于年产量x（千部）的表达式；（2）2020年年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（1）；（2）2020年年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元．【分析】（1）通过讨论x的范围，得出w（x）的解析式；（2）分别求出w（x）在0＜x＜50和x≥50上的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）当0＜x＜50时，w（x）＝700x﹣（10x2+100x）﹣300＝﹣10x2+600x﹣300，当x≥50时，，∴；（2）若0＜x＜50，w（x）＝﹣10（x﹣30）2+8700，当x＝30时，w（x）max＝8700万元，若x≥50，，当且仅当时，即x＝100时，w（x）max＝8950万元，因为8950＞8700，∴2020年年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．

考点卡片1．其他不等式的解法【知识点的认识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：2．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．3．函数的值域【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．【解题方法点拨】（1）求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．（2）函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．（3）运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．4．函数解析式的求解及常用方法【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．5．函数单调性的性质与判断【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．6．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．7．函数的值【知识点的认识】函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．【解题方法点拨】求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域解：f′（x）＝﹣1＝∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；故值域为（﹣∞，﹣1）【命题方向】函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．8．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．9．三角函数应用【知识点的认识】1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．2．解三角函数应用题的一般步骤：（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；（4）作出结论．【解题方法点拨】1、方法与技巧：（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．2、注意：（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．（2）解决应用问题要注重检验．（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．10．函数的零点【知识点的认识】一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．【解题方法点拨】解法﹣﹣二分法①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）【命题方向】零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．11．函数零点的判定定理【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．12．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．13．二分法的定义与应用【知识点的认识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．【解题方法点拨】我们以具体的例子来说说二分法应用的一个基本条件：例题：下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，有图象可得，只有③能满足此条件，故答案为③．在这个例题当中，所要求的能力其实就是对概念的理解，这也是二分法它惯用的考查形式，通过这个例题，希望同学们能清楚二分法的概念和常考题型．【命题方向】二分法在高中主要属于了解性的内容，拿二分法求近似解思路也比较固定，这里我们主要以例题来做讲解．例：用二分法求方程在[1，2]上的近似解，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是[1.5，2]．解：令函数f（x）＝lnx﹣，由于f（1.5）＝ln（1.5）﹣＝（ln1.52﹣2）＜（lne2﹣2）＝0，即f（1.5）＜0，而f（2）＝ln2﹣＝ln2﹣ln＝ln＝ln＞ln1＝0，即f（2）＞0，故函数f（x）在[1.52]上存在零点，故方程在[1.5，2]上有根，故答案为[1.5，2]．通过这个例题，我们可以发现二分法的步奏，第一先确定f（a）•f（b）＜0的a，b点；第二，寻找区间（a，b）的中点，并判断它的函数值是否为0；第三，若不为0，转第一步．14．函数与方程的综合运用【知识点的认识】函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．15．分段函数的应用【知识点的认识】分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．【解题方法点拨】正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，年销售收入为（11.8﹣p）万元，政府对该商品征收的税收y＝（11.8﹣p）p%（万元）故所求函数为y＝（11.8﹣p）p由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是减函数∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大．这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．【命题方向】修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．16．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实