高二数学寒假讲义练习（人教B用 选择性必修一）第03讲 圆锥曲线(教师卷)

第03讲圆锥曲线【易错点总结】1.椭圆的定义如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.其数学表达式：集合M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则点P的轨迹为椭圆；(2)若a＝c，则点P的轨迹为线段；(3)若a＜c，则点P的轨迹不存在.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b22.双曲线的定义一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距.其数学表达式：集合M＝{P|||PF1|－|PF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)若a<c，则点P的轨迹为双曲线；(2)若a＝c，则点P的轨迹为两条射线；(3)若a>c，则点P的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b23.抛物线的定义(1)一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下【重难点剖析】考点一：椭圆方程及其性质1．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离是（

）A．6 B．26 C．4 D．14【答案】D【详解】解：根据椭圆的定义，又椭圆上一点到焦点的距离等于6，，则，故选：D.2．己知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．36 B．25 C．20 D．16【答案】B【详解】由椭圆易知，根据椭圆定义可知，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值为.故选：B.3．已知椭圆的一个焦点为，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由已知可得，，则，所以，则离心率．故选：D.4．已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】根据题意，作图如下：易知，则，即，故点的轨迹是以为焦点且长轴长为6的椭圆，设其方程为，则，则，故，则椭圆方程为：.故选：C.5．设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设点，因为线段的中垂线过点，所以，即，化简得，因为，所以，即，所以，又因为，所以，解得.故选：D.考点二：双曲线方程及其性质6．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：已知圆：圆心，半径为4，动圆圆心为，半径为，当两圆外切时：，所以；当两圆内切时：，所以；即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，，，所以动圆圆心的轨迹方程为：，故选：C.7．设，分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则（

）A． B．的焦距为C．的离心率为 D．的面积为【答案】B【详解】由双曲线，可得，，，，，把，代入双曲线方程可得：，解得，不妨取，，，，为正三角形，，解得，，，，，．故选：．8．已知是双曲线的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的一个交点，且则双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【详解】不妨设点M在第一象限，由题意得：，即，故，故，因为O为的中点，所以，因为，故为等边三角形，故，，由双曲线定义可知：，即，解得：.故选：C.9．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线C的一条渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知，，则由得；所以，渐近线方程为，即故选：A.10．设为坐标原点，为双曲线的两个焦点，为双曲线的两条渐近线，垂直于的延长线交于，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】双曲线的渐近线方程为：，不妨令，因为直线垂直，则，故，又，则点到直线的距离为=，所以，，又，可知直线的方程为：，与联立方程组可得：，则，解得，故,由,则,中，由勾股定理可得:,故；又,则，即，因为的延长线交于，此时点的纵坐标大于0，即，故，所以，所以化简得.则，故，则.故选：B.考点三：抛物线方程及其性质11．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为，如图，过作于，由抛物线的定义可知，所以则当三点共线时，最小为.所以的最小值为.故选：C.12．已知点P在抛物线上．若点P到抛物线焦点的距离为4，则点P的坐标是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【详解】对于抛物线

，准线方程为，设点，根据抛物线得定义得：点P到抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离为，所以，则，，所以点P的坐标为或；故选：C．13．已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】C【详解】是抛物线的准线，到的距离等于.过P作于Q，则到直线和直线的距离之和为抛物线的焦点过作于，和抛物线的交点就是，∴（当且仅当F、P、Q三点共线时等号成立）点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值就是到直线距离，最小值．故选：C．14．如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，则由己知得，由抛物线的定义得，故，在直角三角形中，，，又因为，则，从而得，又因为，所以.故选：B.15．已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】双曲线的渐近线，右焦点，依题意，，解得，因此抛物线的焦点为，方程为，其准线为，由消去x并整理得：，，即直线与抛物线相离，过点F作于点P，交抛物线于点M，过M作于点Q，交直线于点N，则有，在抛物线上任取点，过作于点，作于点，交准线于点，连，如图，显然，当且仅当点与点重合时取等号，所以抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为.故选：D【基础过关】一、单选题1．若是椭圆上动点，则到该椭圆两焦点距离之和是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由椭圆方程得：，根据椭圆定义可知：到椭圆两焦点的距离之和为.故选：B.2．是抛物线上一点，是抛物线的焦点，则（

）A． B．3 C． D．4【答案】A【详解】解：因为是抛物线上一点，所以，则抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，，故选：A.3．双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】令得即双曲线的渐近线方程为故选：A.4．双曲线的方程为​，则该双曲线的离心率为（

）A．​ B．​C．​ D．​【答案】D【详解】由双曲线方程得，，则双曲线的离心率为.故选：D.5．已知直线与抛物线交于，两个点，求线段长（

）A．4 B． C．2 D．20【答案】D【详解】由抛物线的方程，可得焦点，而直线的方程也过，可得直线过抛物线的焦点，设，，，，联立，整理可得，可得，所以，由抛物线的性质可得．故选：D6．直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为（

）A．或 B．C． D．【答案】D【详解】联立，消y得，.因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，所以方程有一正一负根，所以，整理得，解得.所以的取值范围为.故选：D．7．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由双曲线方程可知，根据双曲线的几何意义可得，，又，解得，，，在中由余弦定理得,故选：A8．已知双曲线（a＞0，b＞0）与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（

）A．（1，） B．（1，] C．（，＋∞） D．[，＋∞）【答案】C【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得，所以双曲线的离心率．故选：C.二、多选题9．已知曲线，下列说法正确的是（

）A．若，，则是两条直线B．若，则是圆，其半径为C．若，则是椭圆，其焦点在轴上D．若，则是双曲线，其渐近线方程为【答案】AD【详解】因为曲线，若，，则：和，即表示两条直线，所以A选项正确；若，则，即是以为圆心，半径为的圆，所以B选项错误；若，即，则，即是焦点在轴上的椭圆，所以C选项错误；若，则，即是渐近线方程为的双曲线，所以D选项正确.故选：AD.10．已知点在双曲线上，分别是左､右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（

）A．点到轴的距离为B．C．为钝角三角形D．【答案】BC【详解】设点．因为双曲线，所以．又，所以，故A错误．将代入得，得．由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得．由双曲线的定义得，所以，故B正确．在中，，且，则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确．由余弦定理得，所以，故D错误．故选：BC．三、填空题11．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为___________.【答案】【详解】由，得，准线方程为：，过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当三点共线时，等号成立.故答案为：12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．则的长是________．【答案】25【详解】设，，双曲线的左焦点为，则直线的方程为，由得，，，，则．故答案为：25.四、解答题13．已知椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C右焦点且倾斜角为的直线l交椭圆C于M、N两点，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题得，解得，∴椭圆C的标准方程为．（2）由（1）知椭圆C的右焦点坐标为，则直线l的方程为，设，联立，化简得，，．．14．已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由抛物线过点，且，得所以抛物线方程为；（2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，设，联立得，所以，所以，所以因为，所以，则，，即，解得或，又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，不符合题意，故舍去；所以实数的值为.15．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：双曲线的渐近线为，即，所以，又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线方程为（2）解：设，，直线的斜率为，则，，所以，，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线的方程为，即，经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.【能力提升】一、单选题1．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知，∴过A、B的直线方程为，即：设，则∴故选：A.2．已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：椭圆的焦点为，又双曲线：的一条渐近线方程为，所以，解得，所以双曲线方程为.故选：C3．设，分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则（

）A． B．的焦距为C．的离心率为 D．的面积为【答案】B【详解】由双曲线，可得，，，，，把，代入双曲线方程可得：，解得，不妨取，，，，为正三角形，，解得，，，，，．故选：．4．已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点，则过作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于，（在轴上方）两点，则的值为（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【详解】依题意，是抛物线的焦点，故，则，.根据已知条件如图所示，在轴上方，分别过A，B作准线的垂线，垂足为，过B作的垂线，垂足为P，设，根据抛物线的定义知，所以直角梯形中，，，又直线AB的倾斜角，故，解得，即，故选：A.5．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，为坐标原点．若，且的面积为，则点的纵坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】抛物线焦点为，准线方程为，，，，代入抛物线方程可得，不妨设点在x轴上方，即，又，所以，即，同理可得所以点的纵坐标为故选：C．二、填空题6．第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为______．【答案】【详解】设内层椭圆方程为，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为.所以点坐标为，点坐标为，设切线的方程为，切线的方程为，联立直线的方程与内层椭圆方程得，，因为直线与椭圆相切，所以，整理可得，.同理，联立直线的方程与内层椭圆方程，可推出，所以.因为，所以，则，所以.故答案为：.7．已知抛物线C：，点，O是坐标原点，A，B，M，N是抛物线C上