卷03（上海卷）-2021届高考数学冲刺模拟测试卷（解析版）

卷03（上海卷数学）-2021届高考数学冲刺模拟测试卷

一、填空题（本题12小题，满分54分，其中1-6每题4分，7-12每题5分）

1.若集合A={2,4,6,8},3={x|f_4xW0},则AB=—.

【答案】{2,4}

【分析】

先解一元二次不等式，得到B={x|0Wx<4},再由交集定义，即可得出结果.

【详解】

因为B={X|X2-4XW0}={X|0WXW4},A={2,4,6,8},

所以A8={2,4}.

故答案为：{254}.

【点睛】

本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型.

2.已知复数4=a+2i,Z2=2+3i（,•是虚数单位），若z/z2是纯虚数，则实数。=

【答案】3

【分析】

根据复数的乘法运算，先求z「Z2,再由复数类型，即可求出结果.

【详解】

因为复数4=。+21,Z2=2+3Z,

所以Zj-z2=(a+2i)・(2+3i)=2Q—6+(3a+4)i,

又Z1『2是纯虚数，所以2a—6=0,解得：a=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查由复数类型求参数的问题，涉及复数的乘法运算，属于基础题型.

x—2y=5

3.线性方程组'-°的增广矩阵为_________.

3x+y=8

【答案】Ifi-12J5、

【分析】

直接根据线性方程组的增广矩阵的含义求解.

【详解】

x-2y=5(1-25)

线性方程组'。的增广矩阵为，,。，

|3x+y=8(318J

故答案为：Ifl-125J1

【点睛】

考查J'线性方程组的增广矩阵的含义,属于容易题.

4.在(x-2＞的二项展开式中，/项的系数为

【答案】40.

【分析】

直接用二项展开式的通项公式求解.

【详解】

5rr

Tr+i=C；(x)-(-2),故/的系数为《(一2)2=4().

2

故答案为：40

【点睛】

考查了二项式定理，利用通项公式求特定项的系数，属于容易题.

5.某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收

入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选户.

【答案】56

【分析】

由分层抽样的计算方法有，中等收入家庭的户数占总户数的比例再乘以要抽取的户数,

即可得到答案.

【详解】

该社区共有140+280+80=50()户.

280

利用分层抽样的方法，中等收入家庭应选而X100=56户

故答案为：56

【点睛】

本题考查分层抽样，注意抽取比例是解决问题的关键，属于基础题.

6.若直线/］：0¥+3、一5=0与/2：刀+2，-1=0互相垂直，则实数a的值为.

【答案】-6

【分析】

由两直线互相垂直，建立关了实数。的方程，解方程即uj■得到答案.

【详解】

两直线4:av+3y-5=0与/2：x+2y—l=0互相垂直.

所以axl+3x2=0,解得a=—6

3

故答案为：-6

【点睛】

本题考查两直线互相垂直求参数的值，注意两直线互相垂直的充要条件，属于基础题.

7.如果sins=—'a为第三象限角，则sin(5~+a)=.

【答案】I

【分析】

由条件sina=-2也，a为第三象限角，可求出cosa=-,，再由诱导公式可得

33

sinf^+a^=-cosa,从而可得答案.

【详解】

由sina=—,ct为第一象限角，有cosa=-Jl-sin2a=—

33

由诱导公式可得sin［奇+。J=-cose

,.(3/r}1

所c以l1sin\-a=-

I2)3

故答案为：一

3

【点睛】

本题考查同角三角函数的关系和诱导公式，注意角的范围，属于基础题.

x>0

8.若实数x、y满足<yN0,则2=》一、的最小值为.

x+2y<2

【答案】-1

4

【分析】

由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解A(0』)，把最优解的坐标代入目标函数

即可求得2=》一'的最小值.

【详解】

x>0

解：由作出可行域，如下图：

x+2y<2

将目标函数z=x-y化为y=x-z,

由图可知，当宜线旷=*-2过点A(o,i)时，直线在y轴上的截距一Z最大，

Z有最小值,即：zmin=O-l=-l.

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查简单的线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合思想.

9.如图，已知正四棱柱ABC。—44G。的侧棱长为J5,底面边长为1,则直线

和底面ABCD所成的角的大小为.

5

兀

【答案V

【分析】

根据题意，得出底向ABC。是正方形，AB=AD=\,即可求出8。,

通过线面垂直的性质，由。。_L底面ABCO得出从而得出直线£>/和底

面ABCD所成的角为ZD/。，在肋△DOB中，求出々BD的弧度数，即可得出

答案.

【详解】

解：已知正四棱柱ABC。—A4G。的侧棱长为J5,底面边长为1,

则底面ABCD是正方形,

则A3=A£>=1,所以双）=JAB2+AD2=&，

而。。_L底面ABCD，DBU底面ABCD，

所以

则直线和底面ABCD所成的角为NRBD,

所以在中，由功即=部=*=1,

兀

解得：

ZD1BD=-.

6

即直线£>/和底面ABC。所成的角的大小为5.

71

故答案为：—

4

【点睛】

本题考查利用几何法求线面的夹角，以及线面垂直的性质的应用，考查计算能力.

数列满足对任意〃恒成立，则

10.｛qjq=1,an+an+i=3〃+2eN*a2（f2Q=.

【答案】3031

【分析】

由已知再写出两式相减可得数列｛%｝的偶数项成等差数列，求出

a“+i+an+2=3〃+5,

生后，由等差数列的通项公式可得402。.

【详解】

a+a,=3n+2

由〈nn+1一两式相减得%+2=3•而凡=5-1=4,

〔*+4+2=3〃+5-

二。20，（）=劣+1009d=4+1009x3=3031.

故答案为：3031.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式与等差数列的判断，解题关键是由已知递推式写出相邻式

（用〃+1代"）后两式相减.

11.已知x、y都是正数，则3+2『+Q+.v1的最小值为_________.

x+y

【答案】匹

2

【分析】

7

利用换元法结合二次函数，基本不等式即可求解最小值.

【详解】

解：令无+y=t,那么

3+2%~+xy+y~2d-41+广+3

x+yt

I4)8_3叵

t-8/一2

当且仅当―=奢时取等号'所以3+2；；+/的最小值为苧

故答案为：封.

2

【点睛】

本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查分析运算能力.

12.如图为某街区道路示意图，图中的实线为道路，每段道路旁的数字表示单向通过此

段道路时会遇见的行人人数，在防控新冠肺炎疫情期间，某人需要从A点由图中的道路

到2点，为避免人员聚集，此人选择了一条遇见的行人总人数最小的从A到8的行走

线路，则此人从A到B遇见的行人总人数最小值是.

【答案】34

【分析】

8

假设从点8往回走到点A处，根据图形，从点8处出发，前两条路遇见的人数可能为

5+8,或5+5,或5+7,由此可确定前两条路的走法，进而同理分析，即可得到满足

条件的路径，再计算得到结论.

【详解】

要使得遇见的行人总数最小，此人应从点A处向上或向右走，即不能后退或向左走，

现在假设从点B往回走到点A处，结合图中数据，观察可得满足条件的路径如图所示：

B

可得7+6+4+7+5+5=34,即最小值为34.

故答案为：34.

【点睛】

本题考查简单的合情推理,考查分析理解能力.

二、单选题（本题共4小题，每题5分，共20分）

13.已知直角坐标平面上两条直线方程分别为4■.a}x+h,y+c,=0,

4b、

L,：4x+dy+R=0,那么",=0”是"两直线4、心平行''的（）

a2b»

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不

必要条件

【答案】B

【分析】

9

根据两条直线平行的条件，以及行列式运算，可判断必要不充分条件.

【详解】

由题意,两条直线平行,则。也一。24=0且4。，2—么9

qb[

而=0=qfe,—a>4=0,

a2b2

a.b.

故”两直线4、4平行''能推出",=0"，而反向不可推出，

a2h2

a,b.

那么“，=0”是“两直线4、A,平行”的必要不充分条件

a2b2

故选：B

【点睛】

判断充分必要条件：条件推结论，则是充分条件；结论推条件，则是必要条件.

14.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45。，腰和上底长均为1的等腰梯

形，则该平面图形的面积等于（）.

A.1+V2B.2+72C.、也D.1+交

222

【答案】B

【分析】

根据斜二测直观图的特点可知原图形为一直角梯形，根据梯形面积公式即可求解.

【详解】

如图，恢复后的原图形为一直角梯形，

10

所以S='(l+&+l)x2=2+V^.

2

故选：B.

15.如图所示的程序框图中，输出的S为()

2"-2,,2,00-22,0,-2。102。

A.--------------C.D.一二一

3333

【答案】C

【详解】

执行循环得：S=0+2'(-l)+22+23(-l)+24++2100

一5严)="二，选c

1-(-2)3

16.已知函数/(%)=cosxjcos,给出下列结论:

①/(%)是周期函数;

11

②函数图像的对称中心(丘+卦)伏eZ)；

③若/(玉)=/(*2)，则西+A2=kT(KwZ);

④不等式sin2%xjsin2利>cos2JTX■|cos2zrx|的解集为

<xkH—<X<ZH—，4eZ>.

88

则正确结论的序号是()

A.①②B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】D

【分析】

由/(%+2〃)=/(x),可知/(x)是周期为2万的函数，当一时，

/(X)=—cos2x+—；当工网时，/(%)=--cos2%--,画出/(x)在一个

222222

(n37r、

周期一5'万一内的函数图象，通过图象去研究问题.

【详解】

/(x+2^-)=cos(x+2^-)-|COS(X+2TT)|=COSX|COSX\=/(x)

・・・/(x)是周期为2万的函数,①正确;

兀乃I।

当--<X«—时，cosxNO,/(X)=COS-x——cos2xH—

22v722

7Z3TZ*/*/\21cl

当一<犬W——时，cosx<0,f(x)=-cos-x=——cos2x——

22

713兀

可以画出〃x）在一个周期内的函数图象，如下

12

由图可知：函数J'(x)的对称中心为(氏+]())(%eZ),②正确；

函数/(%)的对称轴为x=版■，左eZ

若/.(%)=/.(%2)，则%/=卜兀,即与+々=2攵万(左eZ),③错误;

伉一］|

cosl--2^x1-cos=cos----cos

5-ZTX2TIXI21

不等式sin-|sin2"乂>cos2zrx-|cos2时等价于:frx-i〉/（2〃x）

+25子+2叼入Z

由图可知：27rxe

解得xe

故选：D.

【点睛】

本题考查了诱导公式，降幕公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.

三、解答题(本题共5小题，共14+14+14+16+18=76分)

17.如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABCO是矩形，

孙，底面A8CD,E是PC的中点.已知A8=2,

AD=2拒,以=2.求：

(1)三角形PCQ的面积;

13

(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.

【答案】(1)273；(2)

【详解】

(1)因为附，底面A8CD,所以附又A£)J_CO,所以CDJ_平面以。，

从而CDLPD.

因为PD=犷+(2回2=2招，8=2,所以三角形PCD的面积为|x2x2A/3=273.

(2)

取P8中点凡连接EF、AF,则E尸〃8C,

从而NAEF(或其补角)是异面直线8c与AE所成的角，

在AWEF中，由EF=^、AF=&、AE=2,

则A4EF是等腰直角三角形，所以/AE/三不

因此异面直线BC与AE所成的角的大小是气

18.已知锐角。的顶点与坐标原点重合，始边与X轴正方向重合，终边与单位圆分

14

别交于P、Q两点，若P、。两点的横坐标分别为主何、毡.

105

(1)求cos(a+£)的大小；

(2)在AA5c中，久b、。为三个内角4、B、C对应的边长，若已知角C=a+/?,

3一

tanA=—,且〃2=丸生+。2,求2的值.

4

【答案】⑴显⑵

22

【分析】

(1)由己知得：cose=,cos，=24,故而sintz=^@,sinB=>再由

10510^5

cos(a+/7)=cosacos夕一sinasin/7可得解.

(2)由(1)得:C=a+/?=工，所以cosC=也,sinC=也，由tanA=3可得

4224

347F)

sinA==,cosA=一，再由sin8=sin(A+C)可得sin8=-^—，最后由正弦定理可

5510

得：2=工^=—"-sing问题得解

besinBsinC

【详解】

(1)由三角函数定义，得：cosa=±」®,cos£=^5

105

a、夕为锐角，

二sina=Jl-cos%=，sin/?=^/1-cos2(5=-y

cos(a+£)=cosacos/7-sinasinP

3M2旧M后也

=-------x----------------x—=-----

1051052

(2)由cos(a+/)=*，1、夕为锐角，

15

得：C=a+/?=—,cosC=-^-,sinC=

422

由tanA=g,得§n△=3,乂sir?A+cos2A=1，

4cosA4

34

解得sinA=-,cosA=—

sin3=sin[万一(A+C)]=sin(A+C)

=sinAcosC+cosAsinC

30407^2

=—X------1——X------=

525210

由正弦定理可得：

a2-c2_sin3A-sin2C_252_1

besinBsinC7A/2叵5

1(T'T

【点睛】

本题考查了三家函数定义及正余弦和的展开公式，考查了正弦定理边化角的技巧，考查

了计算能力，属于中档题.

19.某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCZ)沿着边界用固定高度的板材围成一

个封闭的施工区域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，ZBAD=60°,ZBCD=120°.

(1)如果NADC=105。,求2C的长(结果精确到0.001千米)；

(2)围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？(不计损耗，结果精确到0.001千

16

米）

【答案】（1）约1.633千米（2）约6.309千米

【分析】

（1）如图所示：连接BD，则△A3。为等边三角形，NBDC=45。,根据正弦定理

计算得到答案.

（2）设N8DC=6,根据正弦定理得到6C+CO=警sin（6+60。）考，计算

得到答案.

【详解】

（1）如图所示：连接BD,则△A8D为等边三角形，NBDC=45。,

BCBD班"633.

在BCO中:，故8c

sinNBDCsinZBCD3

BDBCCD

(2)设N8OC=e,则

sinZBCDsin，sin(60°-0)

故5C=孚sin。，C£>=，sin（60°-。），

华sin（夕+60。）〈竽,

BC+CD=

当。=30。时，等号成立，故至多需要4+逑a6.309.

3

17

【点睛】

本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.

20.已知椭圆C:「+/=l（a＞力＞0）的长轴长是焦距的2倍，且过点（―I,?）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P（x,y）为椭圆C上的动点，F为椭圆C的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、

右顶点，点P'满足），=（4—x,0）・

PP'

①证明：一^为定值;

PF

②设。是直线/:x=4上的动点，直线A。、2Q分别另交椭圆C于M、N两点，求

|MF|+|N目的最小值.

22

【答案】（1）上+匕=1（2）①见解析②3

43

【分析】

（1）由题意可得a=2c又过一点，及a,b,c之间的关系求出a，h,进而求出椭

圆的方程；

（2）①由（1）可得右焦点P,A,8的坐标，求出向量p}y的模，及向量而的模

PP,

可证得-为定值；

PF

②由题意方程可得x=4为右准线，设。的坐标，求出直线AQ,BQ的直线与椭圆联

立求出M,N的横坐标，再由椭圆的性质到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率

18

可得|MF|+|NF|川M,N的横坐标表示，由均值不等式可得其最小值.

【详解】

19

解：(1)由题意可得a=2c,-y+4铲=1，6K2=Z?2+c2»

解得：/=4，b2=3

22

所以椭圆的方程为：—;

43

(2)由⑴可得4(一2,0),6(2,0),尸(1,0),

①因为P(x,y)为椭圆C上的动点，

22

点尸'满足?>=(4_%,0)，所以?+]~=1；

所以PP'=|4-x|

PP,

|4-x|

所以:=2,所以可证•丁为定值2.

g14-x|

PF

19

②由题意设。（4,f）,所以=%

所以直线A。的方程为：y=q（x+2）,

y=k"+2)

联立直线4Q与椭圆的方程：〈

3X2+4/-12=0

整理可得：（27+户）/+4:+41一108,

c4/2-108一2产+54

所以一2•知=------->所以为=-------

加27+/M27+产

同理程。=£=（，所以直线3Q的方程：y=；（x-2）,

,）=5（X—2）整理可得：（3+产X-4»x+4产—12=0,

3/+4y2—i2=0

所以2/=竺¥，所以/=之二g，

N3+/N3+产

因为％=4为右准线，

所以由到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率e=二，

2

可得：|ME|+|N日=g（4-x“）+（（4—4）=g（8-%一/）

X+X

=/|MN=4/一厂+27।厂

2127+/3+t2）

20

=4.....-...>4---E——二3

12+302病+30，

t

当且仅当〃=81，即，=±3时取等号.

所以|MF|+|NF|的最小值为3.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程的求法，涉及椭圆的简单几何性质的应用和直线与椭圆的综合,

以及向量的模的求法，考查解题运算能力.

21.已知数列｛4｝满足：4=1,—=4+4,neN*.

4t+lVan

（1）求数列｛〃“｝的通项公式；

SS

（2）设数列他』的前〃项和为5“，且满足犬_=h+16〃2-8〃-3,试确定仇的值，

使得数列也,｝为等差数列；

（3）将数列J!（中的部分项按原来顺序构成新数列｛c,｝,且q=5,求证：存在无

数个满足条件的无穷等比数列｛q,｝.

【答案】（1）a„=^=j（nGN*）（2）见解析（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）因为1-=J'r+4,所以/一=4+4,数列是首项为1,公

an+\Van"〃+lan[4,

差为4的等差数列，从而求出通项公式；（2）因为二2七-不一=1,即数列《丁七》

4〃+14几一3[4n-3J

是首项为“，公差为1的等差数列，所以了