开封市重点2022年高考数学倒计时模拟卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.存在点加（/，为）在椭圆=+二=1（。＞人＞0）上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线

ab

岑+浮=1垂直的直线经过点则椭圆离心率的取值范围是（）

ab\27

2.设向量心5满足同=2,|可=1,他a=60。，则归+闰的取值范围是

22

3.已知点A（2后,3炯在双曲线会-方上，则该双曲线的离心率为（）

A.萼B.当C.丽D.2后

4.设复数二满足1=1+3贝ijz=()

Z

22

5.如图所示，已知双曲线C：T-a=1（。＞0力＞。）的右焦点为尸，双曲线C的右支上一点A,它关于原点。的对称

点为B,满足NAEB=120。，且|8/|=2|4/|,则双曲线C的离心率是（）.

C.V3D.V7

6.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是（）

---一各月最低气温平均值—各月最高气温平均值

A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关

B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大

C.全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个

D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势

7.在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示.将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外

的最大突出（图中CO）有15cm,跨接了6个坐位的宽度（AB）,每个座位宽度为43c加，估计弯管的长度，下面的结

果中最接近真实值的是（）

A.250cmB.260cmC.295cmD.305cm

8.设全集U={xwZ|（x+l）（x-3）40},集合A={（）,1,2},贝！）。4=（）

A.{-1,3}B.{-1,0}C.{0,3}D.{-1,0,3）

9.已知向量3与B的夹角为凡定义“石为£与分的“向量积”，且是一个向量，它的长度辰母=耶卜皿6,

若“=（2,0）,“一5=（1,一百），贝!|忖*（=+']=（）

A.4百B.百

C.6D.26

10.某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计

如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（）

40%40^

35%35%

30%

25%25%

20%20%

15%15%

10%10%

5%5%

01----------------------------------0L_|_|_|_|__LJ_

储蓄衣食住旅行就医储蓄衣食住旅行就医

A.21250元B.28000元C.29750元D.85000元

11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要

贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前

一个单音的频率的比都等于理.若第一个单音的频率为/,则第八个单音的频率为

A.啦/

D.啊于

12.“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家

毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128,

33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（）

1234

A.-B.-C.-D.一

5555

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.根据如图的算法，输出的结果是,

S=S+i

Next

|输出sI

14.设全集U=R,集合A={x|f-2x<0},B={x|x>l},则集合Ac©/）=.

15.在△ABC中，角A,8,C所对的边分别为a/,c,ZABC=120°,NA8C的平分线交AC于点。，且BO=1,

贝!）4a+c的最小值为.

16.在直角三角形ABC中，NC为直角，ABAC>45，点。在线段6c上，且CO=1C8,若tan/DAB=L,

32

则NS4c的正切值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在AABC中，。、b、c分别是角A、B、C的对边，S.(a+b+c)(a+b-c)=3ab.

(1)求角C的值；

(2)若c=2,且A4BC为锐角三角形，求。+力的取值范围.

x=l+2cosa

18.(12分)在平面直角坐标系x。)，中，曲线C的参数方程是《-.(夕为参数)，以原点。为极点，x轴正

y=2sina

半轴为极轴，建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕COS

(I)求曲线C的普通方程与直线/的直角坐标方程；

(II)已知直线/与曲线。交于A,B两点,与x轴交于点尸，求|/为卜|。回.

19.(12分)已知AABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,满足百sinA+cosA=0.有三个条件：①a=1；

②b=6；③5乂比=3•其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：

(1)求C;

(2)设。为8C边上一点，且A£>_LAC,求的面积.

20.(12分)如图，在三棱柱ADF-BCE中，平面A3CD_L平面板五，侧面ABC。为平行四边形，侧面ASM为

正方形，ACLAB,AC=2AB=4,M为ED的中点.

(1)求证：EB//平面ACM；

(2)求二面角”—AC—尸的大小.

21.(12分)已知函数f(x)=|x-l|+|x+2].

(1)求不等式/(x)<x+3的解集；

(2)若不等式根-f-2%,/。)在R上恒成立，求实数〃?的取值范围.

22.(10分)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足%=一1,%>0(〃22),5,=生土四土,〃€；7*,各项均为正

数的等比数列｛〃｝满足A=。2也=%

(1)求数列｛为｝,｛"｝的通项公式；

(2)若c“=g%•bn,求数列｛c,｝的前〃项和Tn

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.

【详解】

因为过点M椭圆的切线方程为¥+岑=1,所以切线的斜率为-"，

abayQ

3

A2

，解得v0=会<仇即/<2c2，所以"-c2V2c,

所以£〉正.

a3

故选：D

【点睛】

本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.

2.B

【解析】

由模长公式求解即可.

【详解】

\a+tb\=痴+而2=y/a2+2a-bt+t2b2=,4+2f+『=«+1-+3>6,

当/=-1时取等号，所以本题答案为B.

【点睛】

本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.

3.C

【解析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.

【详解】

22

将x=26,y=3而代入方程方方=1(。＞0)得〃=3加，而双曲线的半实轴。=而，所以,=行了'=10,

得离心率e=£=而，故选C.

a

【点睛】

此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.

4.D

【解析】

根据复数运算，即可容易求得结果.

【详解】

T(I)11.

z-T+7-(i+z)(i-z)-2一一2-2’，

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，属基础题.

5.C

【解析】

----1——

易得|AF|=2a,|3尸|=4。，又尸。=+E4),平方计算即可得到答案.

【详解】

设双曲线C的左焦点为E,易得为平行四边形，

所以|3尸|—|AF|=|BF|—|5E|=2a,又|BF|=2|AF|,

故|AR|=2a,|B/q=4a,FO^^FB+FA),

所以c?=—(4/+16。2-2ax4a),即c2=3/,

4

故离心率为e=g.

故选：C.

【点睛】

本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立a/,c的方程或不等关系，是一道中档题.

6.D

【解析】

根据折线图依次判断每个选项得到答案.

【详解】

由绘制出的折线图知：

在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；

在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；

在C中，全年中各月最低气温平均值不高于1(TC的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；

在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.

7.B

【解析】

A8为弯管，A8为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧A3所在圆的半径为「，从而可得弧所对的圆心角，再利

用弧长公式即可求解.

【详解】

如图所示，AB为弯管，AB为6个座位的宽度，

贝!IAB=6x43=258cm

CD-15cm

设弧AB所在圆的半径为小则

r2=(r-C£>)2+AC2

=(r-15)2+1292

解得r«562cm

129

sinZAO£>=—«0.23

562

可以近似地认为sinxax,即NAOD^O.23

于是NAO5a0.46,AB长a562x0.46a258.5

所以260a〃是最接近的，其中选项A的长度比A3还小，不可能，

JI

因此只能选B,260或者由cosxh0.97,sin2x«0.45=>2x<—

6

所以弧长<562x至7294.

6

故选：B

【点睛】

本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.

8.A

【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合A的补集.

【详解】

由(x+l)(x—3)40解得—故。={—1,0,123},所以QA={-1,3},故选A.

【点睛】

本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

9.D

【解析】

先根据向量坐标运算求出口+。=卜,6)和cosG&+”,进而求出sinG&+5),代入题中给的定义即可求解.

【详解】

由题意V="-(M-U)=(1,G),则N+n=(3,\5),cos(Z,1+5)=g，得sina，G+5)=由定义知

|z/x(w+v^|=|f/|-|w+v|sin(u,u+v^=2x2\f3x~=2A/3,

故选:D.

【点睛】

此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.

10.A

【解析】

根据2018年的家庭总收入为80000元，且就医费用占10%得到就医费用80000x10%=8000,再根据2019年的

就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，得到2019年的就医费用，然后由2019年的就医费用占总收入15%,

得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人25%求解.

【详解】

因为2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10%

所以就医费用80000x10%=8000

因为2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，

所以2019年的就医费用12750元,

而2019年的就医费用占总收人15%

所以2019年的家庭总收人为12750+15%=85000

而储畜费用占总收入25%

所以储畜费用：85000x25%=21250

故选：A

【点睛】

本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.

11.D

【解析】

分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.

详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为亚，

所以=I血％(n>2,neNJ,

又q=/,则％=ad=/(非y=步/

故选D.

点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下

两种：

。口a

(1)定义法，若3=4(qwO,〃eN*)或口'=g(qH0,”N2,〃eN"),数列仅,｝是等比数列；

Clnan-l

(2)等比中项公式法，若数列｛4｝中，《尸0且=4y-2(〃N3,〃wN"),则数列｛%｝是等比数列.

12.C

【解析】

先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为C；=10,再求出6和28恰好在同一组

包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.

【详解】

解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，

则基本事件总数为优=1(),

则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数C；+=4,

10-43

...6和28不在同一组的概率P=——=

105

故选：C.

【点睛】

本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.55

【解析】

根据该For语句的功能，可得S=l+2+3+...+l(),可得结果

【详解】

根据该For语句的功能，可得S=l+2+3+...+10

巾(1+10)x10

则S=-----2——=55

2

故答案为：55

【点睛】

本题考查For语句的功能，属基础题.

14.(0,1]

【解析】

分别解得集合A与集合B的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.

【详解】

由题可知，集合4中彳2—2%<0=*(%—2)<0=0<%<2

集合3的补集电5={x|x〈l},则Ac&5)={x|0<x〈l}

故答案为：(0,1]

【点睛】

本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.

15.9

【解析】

分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

详解：由题意可知，5280=54加+5K8,由角平分线性质和三角形面积公式得

—acsin120°=—tzx1xsin60°+—cx1xsin60°,化简得ac=a+c-+」=1,因此

222ac

,，*、,11、8c4a-—lc4a八

4a+c=(4a+c)(—i—)=5H----1----25+2.1-------9,

acacyac

当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母

为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

16.3

【解析】

在直角三角形中设BC=3,AC=x<3,tanZDAB=tan(ZBAC-ADAC)=|,利用两角差的正切公式求解.

【详解】

设8c=3,AC=x<3>

31

则tanZBAC=-,tanADAC=-

xx

2

-2x1

tanZDAB=tan(ZBAC-ZDAC)==——=一nx=1,

13x+32

“J

故tanN84C=3.

故答案为：3

【点睛】

此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)C=1.(2)(2>/3,4].

【解析】

(1)根据题意，由余弦定理求得cosC=,，即可求解C角的值；

2

(2)由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到“+匕=4sin(A+?J,再根据AA8C为锐角三角形，求得

TT1T

利用三角函数的图象与性质，即可求解.

62

【详解】

(1)由题意知(。+8+c)(a+Z?-c)=3a/?,=〃/?,

2»22i

由余弦定理可知，cosC一一，'

lab2

TT

又・・・Ce(0,%),・・・C=2.

3

6Z_/?_2_4/T44

(2)由正弦定理可知，sinAsinB.»3，即。=-J^sinA,Z?=—

sin—33

:.a^b=V3(sinA+sinB)=^V3

=2\/^sinA+2cosA-4sinA+—

CA兀

0<A<—

2

又•••AASC为锐角三角形，.•/；,即,

八n27r.7C

0<B---A<—

[32

则生<4+至〈生，所以26<4sin(A+2]<4,

363I6)

综上a+6的取值范围为(26,4].

【点睛】

本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边

转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式

求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结

合正、余弦定理解题.

18.(1)(x-l)2+y2=4,直线1的直角坐标方程为x—y—2=0；(2)3.

【解析】

(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数

方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于/的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求

解.

【详解】

⑴由曲线C的参数方程2cos(a为参数)m为参数)，

ly=2sinaly=28iD«

两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x—l)2+y2=4；

由直线1的极坐标方程可得pcosOcog—>pcos0—psiw0=2,

即直线1的直角坐标方程为x—y—2=0.

fx=2+^t,

(2)由题意可得P(2,0),则直线1的参数方程为I广(t为参数).

设A,B两点对应的参数分别为ti,t2,Jm||PAHPB|=|ti|-|t2|,

fx=2镖t,

将IL(t为参数)代入(x-l)2+y2=4,得t2+扬-3=0,

lr=2t

则A>0,由韦达定理可得trt2=-3,所以|PAHPB|=|-3|=3.

19.(1)1；(2)—.

12

【解析】

57r

(D先求出角4=^，进而可得出。>万，则①②中有且只有一个正确，③正确，然后分①③正确和②③正确两种情

6

况讨论，结合三角形的面积公式和余弦定理可求得C的值；

S,.11

(2)计算出44。和/C4D,计算出黄AR盟n=不，可得出506。=进而可求得AA3O的面积.

【详解】

反

(1)因为J^sinA+cosA=0,所以GtanA+l=0,得tan4=---二，

3

.5万

•「OVAVTF,/.A=—,

6

A为钝角，与a=l<b=6矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确.

显然SMSC=gbcsinA=手，得be=6,

当①③正确时，

a2=b2+c2—2bccosA•得〃+/=—2(无解)；

当②正确时，由于历=6，b=A得c=l；

(2)如图，因为A=红，NC4O=巴，则N54O=工，

623

c—A3,AD-sinNBA。.r—(―

S

则\ABD=2------------------------=1.s_1v_1V3_V3

用S1o'••dA^eD--dMBC-TX---•

■Wo-AC-ADsinZCAD233412

2

【点睛】

本题考查解三角形综合应用，涉及三角形面积公式和余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.

20.(1)证明见解析(2)45°

【解析】

(D连接交AC与。，连接由MO//FB,得出结论；

(2)以A为原点，AC,AB,A/分别为％,N,z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM的法向量，利用夹角

公式求出即可.

【详解】

(1)连接BD,交AC与。，连接

在△©用中，MO//FB,

又EBz平面ACM,MOu平面ACM,

所以FB//平面ACM,

(2)由平面ABC£>_L平面ABEF,ACLAB,AB为平面ABC。与平面ABEF的交线，故AC_L平面ABE/，故

AFLAC,又AF_LA5,所以A/7_L平面ABC。，

以A为原点，AC,AB,AE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

A(0,0,0),C(4,0,0),3(0,2,0),0(4,-2,0),F(0,0,2),M(2,-l,l),

设平面ACM的法向量为五=(x,y,z),/=(4,0,0),AM=(2,-1,

,\m-AC=4x=0

由彳