扬州中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析

试卷第=page22页，共=sectionpages44页试卷第=page11页，共=sectionpages44页江苏省扬州中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知，则复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．2．已知，向量与的夹角为，则（

）A．5 B． C． D．3．在中，，，的面积为，则为（

）．A． B． C． D．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．A=30°，B=45°，c=5 B．a=4，b=5，C=60°C．a=8，，B=45° D．a=6，b=8，A=30°5．已知，，则（

）A． B． C． D．6．已知函数是奇函数且当时是减函数，若，则函数的零点共有A．个 B．个 C．个 D．个7．已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为(

)A． B． C． D．8．已知向量满足，，若向量与向量的夹角为，则的取值范围是A． B． C． D．二、多选题9．下列式子等于的是（

）A． B．C． D．10．下列命题为真命题的是（

）A．若互为共轭复数，则为实数B．若i为虚数单位，n为正整数，则C．复数的共轭复数为D．复数为的虚部为－111．已知的重心为G，点E是边上的动点，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则的面积是面积的C．若，，则D．若，，则当取得最小值时，12．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（

）A． B．C． D．三、填空题13．利用二分法求的零点时，第一次确定的区间是，第二次确定的区间是___________.14．平面凸四边形中，，，，，(为常数)，若满足上述条件的平面凸四边形有且只有2个，则的取值范围是______.15．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，，点在弧上，则的最小值是___________.16．已知在平面直角坐标系中，点､点（其中为常数，且），点为坐标原点.如图，设点是线段的等分点，则当时，=___________.（用含的式子表示）四、解答题17．已知，，.(1)求与的夹角；(2)若，求实数的值.18．已知复数，其中i为虚数单位.(1)若复数为纯虚数，求的值；(2)若满足，求的值.19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若___________.(1)求A；(2)若点M在线段AC上，∠ABM=∠CBM，，且，求c.20．由于年月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常．李克强总理在月日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意，已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，（为长度单位）．陈某准备过点修建一条长椅（点、分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．(1)求点到点的距离；(2)为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值．21．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.（1）设函数，试求的相伴特征向量；（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.22．已知函数，，用表示中的最小值，设函数.(1)当时，若有两个零点，求的取值范围；(2)讨论零点的个数.答案第=page1616页，共=sectionpages1616页答案第=page1515页，共=sectionpages1616页参考答案：1．C【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念求解.【详解】由可得，所以复数的共轭复数是，故选：C2．D【分析】由已知先求出，然后根据，代值即可求解.【详解】∵，向量与的夹角为∴∴故选：D.3．B【分析】由已知条件，先根据三角形面积公式求出的值，然后利用余弦定理求出的值，即可得的值.【详解】解：在中，因为，，的面积为，所以，所以，因为，所以，所以.故选：B.4．D【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】对于选项A中：由A=30°，B=45°，c=5，所以，再利用正弦定理可求，显然只有一解；对于选项B中：由余弦定理可得，所以只有一解；对于选项C中：因为，且，所以只有一解；对于选项D中：因为，且，所以角有两解.故选：D.5．B【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可求得，进而结合二倍角公式可求得，根据角的范围可进一步求得，，由，利用两角和差正弦公式可求得结果.【详解】，，又，，，，解得：，，，，，，.故选：B.6．D【详解】根据题意，函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）=0，当x∈（0，+∞）时是减函数，且f（1）=0，则函数在（0，+∞）上只有一个零点，若函数y=f（x）是奇函数且当x∈（0，+∞）时是减函数，则f（x）在（-∞，0）为减函数，又由f（1）=0，则f（-1）=-f（1）=0，则函数在（-∞，0）上只有一个零点，故函数y=f（x）共有3个零点，依次为-1、0、1，对于函数，当时，解得，当时，解得或，当时，解得或.故函数的零点共有7个.故选D点睛：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的奇偶性与单调性的综合运用，关键是分析得到函数y=f（x）的零点，注意计算的准确性.7．D【分析】根据已知条件可知△ABC为直角三角形，向量在向量上的投影向量为．【详解】由知为中点，又为外接圆圆心，，，，，，，∴在向量上的投影为：，向量在向量上的投影向量为：．故选：D．8．B【分析】根据得到两个向量的夹角为.建立平面直角坐标系.得到，根据向量与向量的夹角为判断出在以为圆心，半径为的圆上，根据可知对应的轨迹为，不包括两点，由此可求得的取值范围.【详解】由于，.以方向为轴建立平面直角坐标系如下图所示.其中.故.由于向量与向量的夹角为，则在以为弦，并且所对应的圆周角为的圆弧上.由于,根据对称性有,，由于直角对的弦为直径，故以为直径的圆圆心为，半径为，根据可知对应的轨迹为，不包括两点.而，所以表示的几何意义是上的点，到的距离.根据可知，最远距离为圆心到的距离再加上半径，即，所以的取值范围是，故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积，考查平面向量的几何意义，考查向量的模，考查数形结合的数学思想方法，综合性很强，属于难题.9．CD【分析】根据诱导公式，即可判断A，B不正确；根据三角恒等变换，即可判断C正确；根据余弦的二倍角公式，即可判断D正确，由此即可得到答案.【详解】，故A不正确；，故B不正确；，故C正确；，故D正确.故选：CD.10．AD【分析】设做乘法运算可判断A；根据复数乘方的周期性计算可判断B；化简求出共轭复数可判断C，由复数的概念可判断D，【详解】设，则为实数，A选项正确.，B选项错误.，其共轭复数是，C选项错误.的虚部为，D选项正确.故选：AD.11．BCD【分析】根据三角形重心的向量性质判断A，由向量的线性运算求得与的关系，判断B，由数量积的定义计算判断C，设，计算数量积后求最小值，从而可计算出判断D．【详解】因为的重心为G，所以，所以，A错；，B正确；，，是等腰三角形，，是锐角，，，，C正确；设，，，所以时，取得最小值，此时，D正确．故选：BCD．12．BC【分析】通过求，来判断出正确选项.【详解】，所以，A错误.，所以，B正确..所以，由于，所以，由于，所以，所以由解得，所以，C正确.，所以D错误.故选：BC【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.13．(1，1.5)##(1，)【分析】根据二分法的原理，判断两个端点函数值正负以及两个端点的中点处函数值正负即可得到答案．【详解】由题可知f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，∵f()＝f(1.5)＝1.375＞0，∴f(x)零点应该在(1，1.5)上．故答案为：(1，1.5).14．【分析】本题通过正余弦定理解三角形，把问题转化到中，可解决此题．【详解】解：如下图所示：在中：，，，由余弦定理得，；由正弦定理得，，即，，，，．过点作，垂足为，则．作关于的对称线段，点在上，则，．若满足条件的平面凸四边形有且只有2个，则的取值范围是．故答案为：．15．【分析】取中点为，用表示目标向量，结合向量数量积的定义，结合的范围，即可求得结果.【详解】连接，取其中点为，连接，如下所示：在△中，，故可得，由图可知当且仅当重合时，取得最大值1，此时取得最小值.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的范围问题，解决问题的关键是用表示目标向量，数形结合求解，属中档题.16．【分析】根据对称性以及向量加法的平行四边形法则，将式子化简，再求模长即可.【详解】设AB的中点为M,则当时，由对称性可知:.故答案为:.17．(1)(2)【分析】（1）根据已知的模长、数量积等式，首先求出数量积，然后再代入夹角公式求解，进一步得出；（2）两向量垂直的等价形式是数量积为，建立关于的方程式求解即可.(1)，又，，，，又，；(2)由（1）知：，即：解得：.18．(1)或(2)【分析】①根据纯复数的定义:实部为0，虚部不等于0，列出方程即可求解.②设，代入式子化简，根据两个复数相等的充要条件即可列出式子进行求解.(1)因为复数为纯虚数，所以满足:解得:或(2)设，则，将其带入中得:，整理得:，，解得:，解得:19．(1)(2)【分析】（1）选①利用正弦定理及两角和的正弦公式可得即求，选②利用正弦定理及余弦定理可得即求，选③利用两角和正切公式可得即求角A；（2）利用二倍角公式可求，再利用正弦定理即求.(1)选①，由，可得，∴，又，∴，又，∴.选②，由得，，∴，∴，又，∴.选③，由题可知，∴又，∴，又，∴.(2)∵，即，∴，又点M在线段AC上，∠ABM=∠CBM，，∴，在△ABM中，，由正弦定理可得，，∴.20．(1)(2)当时，三角形区域面积取最小值【分析】（1）连接、，计算出，利用余弦定理可求得的长；计算出，可得出，利用正弦定理可求得的长，再利用勾股定理可求得的长；（2）利用三角形的面积公式可得出，利用基本不等式可求得的最小值，即可求得面积的最小值.【详解】（1）解：连接、，在中，因为，，则，由余弦定理可得：，所以，.在中，由余弦定理可得，．在中，，由正弦定理可得，解得．在直角中，，所以，.（2）解：因为，．因为，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，．21．（1）；（2）；（3）存在，点.【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可.【详解】解：（1）的相伴特征向量.（2）向量的相伴函数为，，.，，..（3）由为的相伴特征向量知：.所以.设，，，，又，.，，，.又，当且仅当时，和同时等于，这时式成立.在图像上存在点，使得.【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题.22．(1)(2)当或时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点.【分析】（1）先求出的解析式，由有两个零点，等价成与函数图象有两个交点，由数形结合即可得出的取值范围；（2）结合的定义，只需判断，潜在的零点是否符合的定义即可，有且只有一个零点1，故只需讨论的零点情况，即对分类讨论，分类标准为：1.中的符号；2.与零点重合的情况；（1）当时，，令，得，故有两个零点等价于函数与函数图象有两个交点，，故在单调递增，在单调递减，如图所示，则可得，得（2），在单调递减，，即存在唯一零点1；，对称轴为，在单调递减，在单调递增，由得，的零点由的符号决定，i．当时，即对称轴，在单调递增且，由，结合的定义，有且只有一个零点1；ii．当时，因为，故，由，结合的定义，有且只有一个零点1；iii