空间直线平面平行与

第八章8.5空间直线、平面的平行8.5.1直线与直线平行1.了解基本事实4和定理.2.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系.课标要求素养要求在学习和应用基本事实4和定理的过程中，通过判定和证明空间两条直线的位置关系，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.基本事实4平行于同一条直线的两条直线______.这一性质叫做空间平行线的传递性.平行文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角______或______图形语言作用判断或证明两个角相等或互补2.等角定理相等互补1.思考辨析，判断正误(1)如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.(

)(2)分别和两条异面直线平行的两条直线平行.(

)(3)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.(

)提示(2)分别和两条异面直线平行的两条直线可能相交或异面.√×√2.已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于(

) A.30° B.30°或150° C.150° D.以上结论都不对

解析因为AB∥PQ，BC∥QR，

所以∠PQR与∠ABC相等或互补.

因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.B3.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________.矩形解析如图所示.∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，即MN∥PQ且MN＝PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形.又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四边形MNPQ是矩形.4.已知在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________.平行解析如图所示，MN∥AC.又因为AC∥A′C′，所以MN∥A′C′.课堂互动题型剖析2题型一证明直线与直线平行【例1】如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；证明

因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF∥HG，EF＝HG，所以四边形EFGH是平行四边形.(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.证明

因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形.证明两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行；二是证明同一个平面内这两条直线无公共点.思维升华【训练1】如图，E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点.求证：四边形B1EDF为平行四边形.证明

如图，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.故四边形B1EDF为平行四边形.【例2】在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点.求证：∠NMP＝∠BA1D.题型二等角定理及应用证明

如图，连接CB1，CD1.∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C.∵M，N分别是CC1，B1C1的中点，∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.∴A1B∥CD1.∵M，P分别是CC1，C1D1的中点，∴MP∥CD1，∴MP∥A1B，∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，∴∠NMP＝∠BA1D.1.根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平行.2.根据角的两边的方向判定两角相等.思维升华【训练2】若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是(

) A.OB∥O1B1且方向相同 B.OB∥O1B1 C.OB与O1B1不平行

D.OB与O1B1不一定平行D解析如图所示.∴OB与O1B1不一定平行.【例3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.题型三基本事实4与等角定理的综合应用(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.又∠BMC与∠B1M1C1两边对应的方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.1.判断两条直线平行是立体几何中的一个重要组成部分，除了平面几何中常用的判断方法以外，基本事实4也是判断两直线平行的重要依据.2.证明角相等，利用空间等角定理是常用的方法，在证明过程中一定要说明两个角的对应边方向都相同或都相反.另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等.思维升华【训练3】如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；证明连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是棱CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，由正方体的性质得AC∥A1C1，AC＝A1C1.即MN≠A1C1，易知NA1与MC1不平行，∴M，N，A1，C1四点共面，且四边形MNA1C1是梯形.(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.证明由(1)可知MN∥A1C1，又ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补，又∠DNM与∠D1A1C1对应的两边方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.1.证明两条直线平行主要体现数学逻辑推理核心素养，主要方法： (1)根据定义，在同一个平面内且没有公共点； (2)利用基本事实4； (3)利用图形性质，如中位线、平行四边形的对边等.2.等角定理的结论是相等或互补，实际应用时要借助图形直观来判断.

当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时，这两个角相等，否则这两个角互补.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.和直线l都平行的直线a，b的位置关系是(

) A.相交

B.异面 C.平行

D.平行、相交或异面

解析由基本事实4知a∥b.C2.空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为(

) A.60° B.120° C.30° D.60°或120°

解析如图，∵空间两个角α，β的两边对应平行，D∴这两个角相等或互补，∵α＝60°，∴β＝60°或120°.故选D.3.在三棱台A1B1C1－ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1(

) A.相交

B.异面

C.平行

D.垂直C解析如图所示，因为G，H分别是AB，AC的中点，所以GH∥BC，又由三棱台的性质得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1.4.在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝(

) A.30° B.45° C.60° D.90°

解析由题意可知DE∥PB，EF∥BC，所以∠DEF＝∠PBC＝90°.D5.(多选题)在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则(

)BCD又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B，C，D正确.二、填空题6.在四棱锥P－ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF＝2，则GH＝________.27.下列结论，其中正确的是________(填序号). ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等. ②如果两个角的两边都平行于一个平面，那么这两角相等或互补. ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补. ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行. ④8.如图，AA′是长方体ABCD－A′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有________条.3解析∵四边形ABB′A′，ADD′A′均为长方形，∴AA′∥BB′，AA′∥DD′.又四边形BCC′B′为长方形，∴BB′∥CC′，∴AA′∥CC′.故与AA′平行的棱共有3条，它们分别是BB′，CC′，DD′.三、解答题9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，点E1，F1分别是棱A1D1，C1D1的中点.求证：EE1∥FF1.证明

连接EF，E1F1，A1C1，AC，因为点E，F分别是棱AB，BC的中点，所以由三角形中位线定理得：10.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.(1)求证：D1E∥BF；证明如图，取BB1的中点M，连接EM，C1M.所以四边形EMC1D1为平行四边形，所以D1E∥C1M.所以四边形BFC1M为平行四边形，所以BF∥C1M，所以D1E∥BF.(2)求证：∠B1BF＝∠A1ED1.证明因为ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，所以∠B1BF＝∠A1ED1.11.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是(

)AA.l与AD平行

B.l与AD不平行C.l与AC平行

D.l与BD垂直解析假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，∴l与AD不平行.12.已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线； ④若a，b与c成等角，则a∥b.

其中正确的是________(填序号).

解析由基本事实4知①正确；当a与b相交，b与