专升本高等数学课件-第一章

第一章函数、极限和连续第一节函数函数有界性单调性周期性奇偶性初等函数分段函数

复合函数集合映射第一节函数一、函数概念以点a

为中心的任何开区间称为点a

的邻域,记为U(a).aa+a-

U（a,

）=（a-,a+）

δ>0,称集合(a-δ,a+δ)为点a的δ邻域,记为U(a,δ).aa+a-

集合称为点a

的去心δ邻域,记为即。1、邻域因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域2、函数的定义自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．3、函数的表示法解析法：用解析表达式表示函数关系表格法：用列表的方法来表示函数关系图示法：用平面直角坐标系上的曲线来表示函数关系

(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo阶梯曲线有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数(4)取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.显函数：函数关系用解析式表示的称为显函数，如.分段函数：有些函数，对于其定义域内自变量的不同值，函数不能用一个统一的公式表示，而要用两个或两个以上的公式来表示，这类函数称为分段函数.隐函数：函数与自变量的对应法则用一个方程表示的函数，如.4、显函数，分段函数，隐函数二、函数的性质1．函数的单调性则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调性的判定方法：（1）用函数单调的定义判定。（2）用函数的导数符号判定，在某区间内导数大于零，则函数在该区间内单调增加。2．函数的奇偶性偶函数yxox-x图象关于y轴对称称f(x)为偶函数。称f(x)为奇函数奇函数yxox-x图象关于原点对称[性质](1)若f(x)在x=0有定义

,f(x)为奇函数时,必有f(0)=0.则当(2)有时利用f(x)+f

(-x)=0

是判断一个函数为奇函数的有效方法.(3)偶+偶=偶，奇+奇=奇，偶×偶=偶，奇×奇=偶，奇×偶=奇.(4)定义在关于原点对称的区间上的函数=奇函数+偶函数(5)具有奇偶性的函数,可简化微积分的运算(后续).3．函数的周期性（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.周期为

周期为[注](1)周期函数不一定存在最小正周期.[例如]

常量函数狄里克雷函数x

为有理数x为无理数[注](2)周期函数还有一些有用的微积分性质，以后逐渐学到.4.函数的有界性上界下界(1)[定义]则称函数f(x)在X上有界.否则称无界.M-MyxoXM-Myxoy=f(x)X有界无界[结论]f(x)在X上无界[注]具有“有界”性质的函数是一类重要的函数.因为有界是数列收敛的必要条件,是各类积分存在的必要条件.三、反函数DWDWy=f(x)——直接函数——直接反函数——矫形反函数

直接函数与反函数的图形关于直线对称.四、基本初等函数1、幂函数2、指数函数3、对数函数4、三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数5、反三角函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.五、复合函数初等函数1、复合函数定义:[定义][说明]通常f称为外层函数，g称为内层函数.则称为由①,

②确定的复合函数,①②u称为中间变量.自然定义域注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例1解综上所述第一章函数、极限和连续第二节极限

数列的极限一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、数列极限的性质4242一、概念的引入单击任意点开始观察1.[割圆术]“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽观察完毕[引例]2.[截丈问题]“一尺之棰，日取其半，万世不竭”二、数列的定义[例如][单调性]单击任意点开始观察三、数列的极限观察结束通过上面演示实验的观察:[直观定义]当n无限增大时，xn无限接近于一个确定的常数a，称a是数列xn的极限.或者称数列{xn}

收敛于a,

记为或[发散]如果数列没有极限,就说数列是发散的.[说明]发散有①不存在(非无穷大)；

②

∞；③+∞；④∞.[常用结论公式]1.常数列的极限等于它本身.[注]

当时，不存在.1.[唯一性][定理1]收敛数列的极限唯一.四、收敛数列的性质1.[唯一性][定理1]收敛数列的极限唯一.四、收敛数列的性质2.[有界性][例如]有界无界(2)[定理2]收敛的数列必定有界.[注意]①逆否命题必成立：无界列必定发散.②逆命题不成立：有界列不一定收敛.③数列有界是收敛的必要条件(不充分).子数列的概念:子数列的表示：收敛数列与其子数列的关系:定理3

注:其逆反定理用于证明数列的发散函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质四、极限运算法则【数列极限】——整标函数【函数的极限】有两大类情形单击任意点开始观察一、自变量x→∞时,f(x)的极限1.【引例】单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察观察完毕通过上面演示实验的观察:即x→∞时,f(x)→0.2.【直观定义】在x→∞时，函数值f(x)无限接近于一个确定的常数A,称A为f(x)当x→∞时的极限.记作直线y=A仍是曲线

y=f(x)

的渐近线.4.[两种特殊情况][几何意义][例如]都有水平渐近线3.[水平渐近线][又如][定理]故有水平渐近线[例如]二、自变量x→x0有限值时,函数f(x)的极限1.【引例】①函数在处的极限为②函数在处的极限为③函数在处的极限为２２２yAx１２３x→x0时函数f(x)的极限是否存在,与f(x)在x0处是否有定义并无关系.结论2.【直观定义】在x→x0时，函数值f(x)无限接近于一个确定的常数A,称A为f(x)当x→x0时的极限.记为3.【单侧极限】【例如】②[右极限]当x>x0且x→x0时，函数值f(x)无限接近于一个确定的常数A,称A为f(x)当x→x0时的右极限.[注意]函数的左、右极限与函数的极限是三个不同的概念,

但三者之间有如下重要定理:

①[左极限]当x<x0且x→x0时，函数值f(x)无限接近于一个确定的常数A,称A为f(x)当x→x0时的左极限.左右极限存在但不相等,[例1][证][极限存在定理][注]

一般而言,分段函数的极限要分左右极限考察.三、函数极限的性质[注]以下仅以形式为代表给出函数极限的一些定理，其它形式类推之。1.[唯一性][定理2]2.[有界性]局部3.[

保号性][几何解释]容易推得下面更强的结论：[定理3][定理3*]局部常用于证明有关定理或证明题[推论][证明]利用定理3反证之（略）.[思考]若推论

中的条件为是否必有不一定!如四、极限运算法则定理推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2

无穷小量与无穷大量一、无穷小量二、无穷大量三、无穷小量与无穷大量的关系四、无穷小量的比较70七、求极限方法举例五、极限存在准则六、两个重要极限

无穷小量与无穷大量1、无穷小量的定义一、无穷小量（简称无穷小）定义

1若函数f(x)当x→x0

(或x→∞

)时的极限为零,则称函数f(x)为当x→x0

(或x→∞

)时的无穷小量

.特别地,以零为极限的数列{xn}称为n→∞时的无穷小量

.例如,注意（1）无穷小是变量,它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势为零;（4）零是可以作为无穷小的唯一的数.（2）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的；（3）很小很小的数不是无穷小量，越变越小的变量也不一定是无穷小量；2、无穷小与函数极限的关系:意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3、无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小二、无穷大量（简称无穷大）无穷大量的定义：如果当自变量的过程中，经过某一时刻后的绝对值可以大于事先任意给定的充分大的正数M，则称在该变化过程中，为无穷大量.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.三、无穷小与无穷大的关系定理

在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限四、无穷小量的比较定义:意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,常用等价无穷小:例解等价无穷小代换定理２(等价无穷小代换定理)证例解若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意例４解例５解解错练习题练习题答案五、极限存在准则1.夹逼准则注意:准则I和准则I'称为夹逼准则.例1解由夹逼定理得2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:例2证(舍去)六、两个重要极限(1)例解(2)对数列有例解小结：练习题七、求极限方法举例例1解小结:解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2解例3(消去零因子法)例4解(无穷小因子分出法)小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例5解先变形再求极限.例6解例7解左右极限存在且相等,意义：例8解三、小结1、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.3、复合函数的极限运算法则第一章函数、极限和连续第三节连续一、函数连续的概念1.函数的增量2.连续的定义例1证由定义2知3.单侧连续定理例2解右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,二、函数的间断点1.跳跃间断点例4解2.可去间断点例5注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点3.第二类间断点例6解例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:例8解小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx二、连续函数的运算1、四则运算的连续性2、反函数与复合函数的连续性3、初等函数的连续性与初等函数的连续性1、连续函数的四则运算的连续性【定理1】［例如］由函数“点连续”的定义和极限四则运算法则，立得:【推广】有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。【结论】三角函数在其定义域内连续.若f(x),g(x)在点x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)g(x),f(x)/g(x)[g(x0)≠0]在点x0处也连续.2、反函数与复合函数的连续性【定理2】严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数,且单调性相同.［例如］【结论】反三角函数在其定义域内皆连续.（1）反函数的连续性【定理3】（2）复合函数的连续性【意义】可知极限符号可以与函数符号

f

交换次序;条件是：内层函数极限存在、外层函数在对应点连续；则可交换次序.【例1】【解】同理利用lnu的连续性又如交换次序：利用arccosu的连续性内层函数分子有理化抓大头—分离无穷小量【例2】【解】同理可得指数代换法则有公式【定理4】（复合函数的连续性）【注意】定理4是定理3的特殊情况,内层函数由

极限存在加强为连续.简言之：内、外层函数在对应点都连续，则复合函数连续。3、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.（已证）★★★（指出但不详细讨论）（由【定理2】反函数的连续性可得）【定理5】基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)定义区间是指包含在定义域内的区间.由【定理4】复合函数的连续性基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续【定理6】一切初等函数在定义区间内连续.回顾—[初等函数定义]由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.1.初等函数仅在其定义区间内连续,

在其定义域内