九师联盟2022-2023学年高三年级12月质量检测文科数学试卷及答案含答题卡

高三文科数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔将密封线内的项目填写清楚.

3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内

作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本试卷主要&题范围：晶合与常用逻知用语，函数，3数及、■应用，三角函数与解三角形，平面向

量.复数，数列，不等式,推理与证明,立体几何.直线与圆.圆锥曲线。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合A={x|log2（3—x）＜2},B={-1,0,2,3},则人口8=

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,2,3）

C.{0,2,3}D.{-1,0,2}

2.已知复数，则|z|=

oI01

A15„1713n13a

A,13B,14rC,10D,20

3.“直线l与双曲线C有且仅有一个公共点”是“直线I与双曲线C相切”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知向量a.b满足|a\=73,|=1,|a+b\=2,则a与b的夹角为

A—B—C—D—

•6,4•32

5.我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日暑影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、号影

成为古代历法的重要计算项目.唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日辱影长和去极度

的计算方法——“九服神影法”，建立了唇影长I与太阳天顶距。之间的对应数表（世界上最早的正切

函数表）.根据三角学知识知：唇影长I等于表高人与天顶距。正切值的乘积，即Z=Man9.若对同一表

高进行两次测量，测得唇影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为仇和反，则

tan（01—02）=

A.—1B.—C.4D.1

6.已知直线右：了一2》一l=0,/z：2z+,My+2痣-2=0,若右〃，2,则4与已间的距离为

A.1B.2C.5一邛D."产

【高三12月质量检测•文科数学第1页（共4页）】L

22

7.已知双曲线C：%—京=l(a>O">O),F为C的下焦点为坐标原点是C的斜率大于。的渐近

线，过F作斜率为喙的直线/交人于点A,交H轴的正半轴于点B,若|QA|=1081,则C的离心率为

,,273

A.2B.V3C--D.空

A.2sin（2zH--）

B.2sin（＜r+-^）

C.2cos（2/H-■）

D.cos2x

9.已知B，B分别是椭圆C：，+*=l(a>6>0)的左、右焦点,C过八(一2,0)和员0,1)两点,点。在

线段上，则A兰•成的取值范围为

A.[一告+8)B.[1,豹C.1—2,l]D.[—皆1]

10.若直线l:y=~^x+m与曲线C：49+乎=1有两个公共点,则实数m的取值范围为

A.(-2/2,0)1)(0,272)B.(0,2/2)

C.(-2,0)U(0,2)D.(0,2)

11.在四面体ABC。中,AB^ACABXBD,异面直线AC与BD所成的角为30°,二面角C-AB-D为

锐二面角,AB=4,AC=5,BD=3,则四面体ABC。的体积为

A.2^34-15/3B.3

C.5D.10

12.已知定义在(0,十8)上的函数/(了)满足：①Vi>0,f(x)V0；②对任意正数了,门当才V》时,

yf(交)恒成立.若a=jf(sin0.1)sin0.1,Z>=f，,c=f(tan0.1)tan0.1,则

A.a>6>cB.c>a>6C.6>c>aD.6Aa>c

二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。

13.已知满足约束条件13攵+2?>6,则==2_r+y的最大值为.

Lr—

14.若直线I过点(2,1)且与圆C：(H+1)2+J=9相切，则直线I的方程为

15.已知函数/O)=4sinjrcos丁+tan才-1,则曲线》=/(丁)在点仔，/'(£))处的

切线方程为.

16.如图,直线了=t与抛物线C：V=2ar(p>0)交于A,B两点，。为C上异于A,B

的一点，若AD^BD,则点D到直线7=f的距离与p的比值为.

【高三12月质量检测•文科数学第2页(共4页)】L

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,6,c,且asinA—csinC=(Z>—c)sinB.

(1)求A的大小；

(2)若a=3,求△ABC面积的最大值.

18.(本小题满分12分)

在边长为2的正方形ABGD外作等边△忒：£：(如图1),将ABCE沿BC折起到△PBC的位置，使得

PA=2。（如图2）.

(1)求证:平面平面ABCD；

(2)若F,M分别为线段BC,P。的中点，求点P到平面AFM的距离.

19.(本小题满分12分)

已知直线h:工一”+2=0,%2:a_r+y—2a=0(aGR),若/i与1的交点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

22

(2)若圆E：.r+y-2mx-2fly=0的圆心在直线y=^x上，且与曲线C相交所得公共弦MN的长

为20,求m,n的值.

【高三12月质量检测•文科数学第3页(共4页)】L

20.（本小题满分12分）

在正项数列｛册｝中0=1，V〃>2必+号+…+产々=巧）.

3£71—6乙

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）若数列｛4｝满足"=为，仇=恁-1,且In4,+Ind+2=2lnbn+l.设数列｛仇｝的前n项和为T„,证

明：T“♦T„+2<r,+i.

21.（本小题满分12分）

已知函数—5TnE（aeR）.

⑴若a=l,求/（z）的单调区间；

（2）若对VJ>1,—恒成立，求a的取值范围.

22.（本小题满分12分）

椭圆C：，+畜=1（4心>0）的左、右焦点分别为R,B,上顶点为A,且|FE|=2,NAFE=60°.

（D求C的方程；

⑵若椭圆及，+4=入00且壮1）,则称E为C的义倍相似椭圆.如图，已知E是C的3倍相似

椭圆，直线z+a与两椭圆C,E交于4点（依次为M,N,P,Q,如图），且|MN|=|NP|，证

明：点T（K〃?）在定曲线上.

【高三12月质量检测•文科数学第4页（共4页）】L

高三文科数学参考答案、提示及评分细则

1.1）ibMjawA=«r-i.3>.wMAr）«=<-i.o.2>.tti%i）.

...,.51I2iI5♦12i|752f13

21因为w==8+弧•所以：l=8+6；f=/ST==1"•故总「

3.H山”了俄/直取曲线（,相切”可费推出线/。“曲线个公打点”，反之则仁然•「昆-仃线/（1

nun个公比点''是r'L线/曲线小一切”的必壑不充分条件.故iiK

1.1>illSgii.f!/1«,'=aI'?«•+Ii|-=3••h'I=U'lrlXa•b=".从而<a.b>=:.AllilI>.

A

5.B由题比知tana>2.tnna3.»rW-ft>；丁."二吗j.~~n--1.A4UK

fi.A/•的〃W则化为'："内一Iof加，"-J时/〃/.所以/Jj/间的即离，/守二1）一（一1”?

4/卜+（—2）•《》

=1.故选人

7.C山的点加./的伸（料用为:".同为|（八|=|"”.所以人的伸!科用为60°.斜华为3.即；=仃.所以6•=」.所以

（t=J।+（£）-7，+]=竽.故选

8.A由图较Hl*^一m=号=J1•所收<”=2・4"（芍r呈？）=空・/（于）为，4/，的最小侑.故、in（2X可■y）=

ICIMMOUfIM\if■$«J

一I•解过<=告+>**WZ》・乂^=~Hl|_/（O）=l.f!JAsin点=1•故4=2•所以/（r）=

2shi（2x+\）.故选A.

5M）法4I股意切.〃2・〃l.ttfttiH*-/TB8•故人（一，3日）・花（白.（））・线殷八〃的力科为，-2."2

-U（什>,，I）.没点，'<：，"一2・〃，）<（KnrI）,则/'I；（—、&'+2-2，〃・一〃，）♦F卜（、，g+2—2，”・一m）•所I乂

?/•*•p/r।:>（>„-1）-11.wjrz-'i».1nJ.<rr•?/•>>…-11>'i«»oiq.（r/<•rr

I.故不卢•¥/•'的JR侑范国为一H.I.故选IL

法:仙鹿觉知a=2.，，=l.故f的|〃=，7^rT5.作（*_LA“匕点则九住线n.\〃线A"的方鞭为

,一2”2<>.由点到H线的如肉公式•徨IC=|1，­：，''''?|;.ifuP/-；«PF/•Tx-Fir7亦一3.囚此

yp।（―2）；四

<?/■;•rr（；）-一:"一?.乂内为i“/T（）.\2所出而,：•川2：-:;=i.n此74：

仇他IH为:一?.[.依逸"

10.Bfr”时.（.的方程可化为9♦=1.为确圈存+千=的，「「部分•当rD时.（的力样可化为£一（一1.

[A<12〃垢;1；松泗•文科数学参考答案第IUi（Jt6页>]I.

为双曲线?一余=1的左半部分,其渐近线为尸士江如图所示,当直线

I介于直线》=一4工和lx（Z1与/平行且与c相切,切点在第一象限）之间

时•直线/与曲线C有两个公共点.设人的方程为尸一品+，”》•联立

fl+9i

<消去1并整理得2J2—2m（）y+〃备一4=0,由△=4〃3—

y=~~^/+〃历♦

8（扁-4）=。,解得初=2/或晒=一2々（舍），故"的取值范围为（0,2夜）.故选R

11.C将四面体ABCD补成如图所示的三棱柱ACF-BED.因为A3J_AC•异面直线AC与BDA

所成的角为30°,3E〃AC,所以NE3D=30°,A3_LBE；又A3_LBD.3ED3D=Q.3E,3DU

平面BDE.所以A3_L平面BDE.ABDE的面积S=・BEsin300=yX3X5Xy=

B

15）、

了，V三梭锥A.MF=V三校锥CBK/）=­S•AB.所以U四面体=TJ梭住ATfED—V三校锥AACF—

v三极触g3=S-AB-^-S-AB=曰义学X4=5.故选C

12.A因为对任意正数八“当工〈》时.“〈/，:^八:^即^^下八三恒成立：又丫了^^八^^^所以0<

Xy

-"：）<一，：：）,002V，所以一］/（/）<—•即e令g（z）=//（*）,则对

（0,+8）,当/V.y时，恒有*（］）>g（y）成立，所以*（工）在（0,十8）上单调递减；由sin0.l<0.l<tan0.1,得

g（sin0.I）>g（0.1）>g<tan0.1）,即a»c.故选A.

13.y画出可行域（如图阴影部分所示），当直线2z+y-z=0过点A时,z取得最大值,易求得4（年./）.所以22.=

2X—H--—=—

222,

143-2=0或备+33—11=0若/的斜率不存在•则/的方程为z=2,是圆C的切线诺/的斜率存在•设/的方程为y

-1=—），即垢-y+l—2Q0.则■4^1=3,解得A=—1.此时/的方程为4工+3»—11=0,故直线/的方程

vk--T15

为1-2=0,或4i+3y—11=0.

15.4L2y+4—L0由题意.得八靠=4c0s2工+嘉J（十）=4X^X尊+tan于-1

【高三12月质量检测•文科数学参考答案第2页（共6页）】

=2/（T）=4cos-yd-----=2,故所求切线方程为y—2=2（K—■手）,即41—23+4一兀=0.

-cos2子

4

16.2法一■:设直线AD为z=my+??（ni^O）・A（4，%）・D（生，山）♦则B（4，一v）•由

俨=2­

得.*—2力肛y—2以=0,所以yi+北=2加〃，因为ADJ_3D,故k^〉•鬲G=-1,即

l/=z〃;y+〃・

—•生5=-1,所以^---女生-=-1.所以红守_=-2,作DMJ_AB垂足为M,则点D

到直线工=，的距离为IDM\=|m-_rzI，所以当红=2.

法二：由题意可设八DQ—.则才=2".弱=2M.因为ADUD.所以无资.

=-1.即（,一才2）2=/一城=2〃一2.2=231—12）•因为LgWO,所以？一了2=2/）,则点D到直线N=z的

1*-12x

距离为2p.故所求的比值为2.

17.解：（1）由asinA-csinC=（h—c）sinB,及正弦定理，得a~-c2=62—be,

即〃+。2­。2=加，..................................................................................2分

所以cosA=----诋----=y.......................................................................................................................................3分

又A—0G，所以A=-1..........................................................................................................................................4分

（2）因为。=3,。=1■，由余弦定理得加+dfr=9,...............................................................................................5分

又因为廿十cz>2加，当且仅当4=c时等号成立，........................................................7分

所以2氏一加49.即反《9,当且仅当〃=c=3时等号成立.................................................8分

所以S4便《十义9*亨=呼.当且仅当6=c=3时等号成立.

所以△ABC面积的最大值为莘......................................................................10分

18.（1）证明：因为AB=PB=2.PA=2々.所以PA2=PB2+AB2,

所以...................................................................................1分

又ABJ_—P8U平面PBC.13CC\P13=B.

所以ABJ_平面PBC..................................................................................................................................................3分

而ABU平面ABCD.所以平面PBCJ_平面ABCD....................................................................................................4分

⑵解:连接DF.PF,因为PB=PC,F为BC的中点，所以PFJ_BC.且PF=7I,/

因为平面PBCJ_平面A8CD.平面PBC'n平面ABCD=BC,PFU平面PBC.7^/\

所以PF_L平面ABCD,所以P到平面ABCD的距离为疽......................5分//'7\

//二二金权。

因为DFU平面ABCD,所以PF±DF./_______70

【高三12月质量检测-文科数学参考答案第3页（共6页）】L

因为“为£>£)的中点.所以M到平面ABCD的距离为坐，..............................................6分

易求得DF=^,AF=6PD=2怎cos/PDA=g,DM=+pD=4.

所以FM=1PD=&,AM=J4+2—2X2X疗X1=2,...................................................................................7分

nrm八彳「人FA42+AF2—AM22+5-43=八7八彳厂人)

所以cos/MFA=~~Tr=F~~F=~•而OV/MFAVT,

2FM・AF2X^X>/52

^1-1

所以sin/MFA=q（右）:房

所以aAFM的面积SAWM=+FM-AFsin/AFM=覃................................................9分

设点D到平面AFM的距离为八，由&能…=**/*,得白△由“TSA„F鸣、..............................10分

即《X空7，=4xJx2X2X4.解得A=驾箸.因为M为PD的中点.所以点P到平面AFM的距离为坐零.

J，J乙乙J1!OL

...................................................................................................................................................................................12分

19.解：（1）法一:当a=0时，显然/|JJz，且。与4的交点为（-2,0）;........................................................................1分

当aRO时M与Z2的斜率分别为际=十也=一"，....................................................2分

M-南2=-L所以“1-L”2•故对任意实数a"i_U2・...................................................................................................3分

直线/1过定点A（—2,0）,，2过定点3（2,0）,..........................................................................................................4分

设P（z,y），则PA_LPB.所以济•BP=O.

所以（了+2）＜H-2）+V=0.即M+J=4.

又点（2,0）不是4与。的交点，

故曲线C的方程为＞+V=4（.rW2）.......................................................................................................................6分

法二：（消参法）当产为时.由上一”+2=0,得a=手，代人”了+t一2a=0,得“工；2）+»-2（H；2）=O,

化简整理•得二+;/=4（¥关0）,当y=0时.工=2或工=-2,易验证点（一2,0）符合条件,（2,0）不符合条件.故曲线C

的方程为工2+：/=4（工#2）......................................................................................................................................6分

C2）圆E与曲线C的方程两边作差，得mx+岁一2=0（月：2）,即为直线MN的方程.......................7分

1一2|

因为|MN|=2例.所以点O到直线MN的距离”==1,

y/ni2~\~n2

即源+〃2=4.①.....................................................................................................................................................9分

因为圆E的圆心（加.〃）在直线、=伍/上,所以〃=&■见②..........................................10分

(77?=1.(W=-1,

①②联立•并解得/或<

i〃="，〔〃=一店,

俨=i.

当＜时•直线MN的方程为工+伍3-2=0,过（2,0）点，不合题意;

1〃=点

【高三12月质量检测•文科数学参考答案第4页（共6页）】

当时.直线MN的方程为了一点y+2=0.易验证符合题意.

[〃=一%/?

故〃?，〃的值为-1,一痣.............................................................................12分

20.（1）解：当"=2时.卬=^^,所以例=3；.........................................................1分

当”33时必+号+…+产^二纭户，

oLn-5Z

与卬+等+…+号土=与两边分别作差.得蓝土=与一灯二L

化简.得~^-=毅一.........................................................................3分

a„-iLn-3

所以当〃>3时.%=-X—X…X"X02=^^X1^X…X^X3=2〃-1,.....................5分

。“-2。2，〃-3/〃一□3

显然”=1,2时上式仍成立.故对任意正整数..............................................6分

（2）证明：由（D知血=3,所以仇=1,仇=2,.........................................................7分

因为In&+ind+z=21n•所以帅用=%、,

所以《4,>为等比数列,且公比<?=善=2,所以4,=21,...............................................8分

所以T„=^^=2"-\,.........................................................................9分

+22n+2+2

所以T„•r„+2=<2"-1）C2»-1）=2-（2"+2»）+1.

因为2"+2"+z>2，2"X2”+2=2X2”1...........................................................11分

所以T,.•r,fz<22-2―2义2”+1+1=<2'5一1>2=值|.即T.•T-ZVHM............................12分

21.解:⑴a=l时,/〈了）=，一十一111工,其定义域为<0,+8义

所以/〈工）=（〈：[1'+1_1=。-1：了1>（/>（））.............................................1分

因为工>0,所以e，-l>0,.......................................................................2分

所以当了6（0.1）时./（7）<0;当工6<1,+8）时，/（工）>0,.........................................3分

所以.”工）的减区间为（0,1）.增区间为（1,+8）....................................................4分

--5等价于04二回%；--十专...................................................5分

人，、jrlnx-f+i/（1-1）（jr-Inx-2）一八

令g（i）=-----------•则g（/）=------------------，..........................................6分

令小JC）~x—Injr—2（z>l），/（.r）=:'>0（1>1）•

所以以1）在（1,+8）上单调递增....................................................................7分

因为^>（e）=e—3<0,^（e2）=e2—4>0,

所以p（N）在（e,e2）内存在唯一a,,使得g（No）=。•即InZo=z>—2..................................8分

所以当/£<1».ro）时,（/）V0.即/（N）V0,当彳£（N0，+8）时,（7）>0,即/J）〉。•所以*《/）在《1,/0）上

单调递减，在（©>,+8）上单调递增....................................................................9分

【高三12月质量检测•文科数学参考答案第5页（共6页）】

.、/、zo(In/o­/o+l)/v

故g(N)min=g(Z0)=----------------------・...............................................................................................................110A分

因为In不)=/0—2.所以N0=/0一2An彳。一io=-2,

所以g(No)=—^=—£4^-=--V，......................................................................................................................11分

eoeoe

所以g<x)min=g<^o>=-p-»

所以。(一±•.即实数a的取值范围为(一8,-2]............................................................................................12分

22.(1)解：由题意知半焦距c=|OFj=1,因为NABFz=60",

所以a=|AB|=J^l=2,............................................................................................................................2分

所以62=a2—1=3,

所以C的方程为（十/=1......................................................................................................................................4分

⑵证明:椭圆C的3倍相似椭圆E的方程为苧+q=3,即告+卷=1...........5分

设N（力，V）,P（Z2，“）・M（4,义）,Q（74，？4）»

22

工+1=1,

联立/与C的方程，得<43消去y并整理.得（3+4〃〉〉+8如加工+4/-12

,y=A/+〃?，

=0.

2

则△]=6凝21n2—4(3+4/)(4/z/—12)>0,即4丛+3>。,

3km_47772—12

且©+八=一

3+4公，工—一3+4/，6分

所以|4-XzI=y(.Xl+j-2)2—4J-1J-2=^y(-3+4^2)4<4，“2-12)-_44/4川+3-川

3+4/—-3+4万7分

西+上=1,

191Q1,

联立/与E的方程,得《上」消去y并整理•得(3+4万〉/2+玄〃5+4〃产-36=0,

y=kx-\-in•

i।_8厉〃_4〃/-36

则mi4__3+4产'四①一3+4"，

所以|工3一J5+4〉2-4?324=”.>"/：」_—,............................................8分

所以4+q=4，所以线段NP•MQ的中点相同，

所以|MN|=|PQ|..................................................................................................................................................9分

又|MN|=|NP|,所以|MQ|=3|NP|...............................................................................................................10分

-।I।।刖4乃+9-〃尸一2M4展/联z+3—〃/

所Bl以Vl|例一qI=31m―4I，即-----3+4A?---------3X3+4必

化简.得4/-12&2=9,满足4^+3>m2,

所以写—容=1♦故点>在定双曲线'—多-=1上...........................................12分

【高三12月质量检测•文科数学参考答案第6页（共6页）】

高三文科数学答题卡请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效!请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效!

17.（本小题满分10分）

准考证号

班级

[0]ro][0]0<>0roi

姓名Illj।I1।11।

[2.[2]2⑵212]L2]

[3]3⑶333[3][3]

考场[4]44[4]【4：414：44

[5]■5]5⑸[5'[5]⑸

[6]66八G八66八

座号17].7[71L7J.7[7]7[7J⑺

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