数形结合思想在中学数学解题中的应用

数学的运用贯穿课内课外，而数学非常重视思维，在中学数学教学中教师需要培养学生的数学思想。了解数学思想应该从基础开始，数形结合思想是其中重要、基础、有效解决问题的环节。数学内容可以概括为四点，分别是空间与图形、数与代数、统计与概率、实践与综合，这些都与数形结合密不可分。在解题中，如果熟练使用数形结合的思想方法，善于由数想形由形思数，相辅相成，一定可以提高解题能力，发展数学思维能力。一、数形结合思想方法在中学数学教学中的地位数形结合思想方法，可以让学生初步建立数学基础和知识框架。这是由于它的两方面的作用：数形结合的方式能让学生初步将形象思维和抽象思维联合，可以先具体对知识框架作梳理，再从有机结合的方式抽象思维，发展较为同步，能初步推动学生辩证能力的发展。除此之外，数形结合也能帮助学生更多的思考，进一步帮助学生在面临难题时，从多角度、多元化的方向独立思考问题，这样对学生多向性思维的形成非常有帮助；数与形的结合帮助学生把静态思维方式转变为动态的思维方式，这种转变改变了思维方式，使学生从变化、运动、联系的角度进行问题的思考，使问题的本质能得到更好地体现。二、数形结合原则（一）等价性原则在运用数形结合的方法引导学生思维时，要遵循等价性原则，避免解题出现漏洞，概述性质和结合性质在转化时必须通过等价的方式，有机结合，因为图形具有一定的局限性，在表现代数的一般性时无法从完整的角度均衡，在这个阶段，通过图形的简单说明，可以更具体地转化抽象方式，证明数形结合也是抽象的具体转变。（二）双向性原则数形结合时也要遵循双向性原则。对代数和几何通过直观的分析，加入抽象元素，能进一步推动学生，从代数的角度分析，通常并不能得到答案。解析几何问题时，也可以采用数形结合的方式综合分析，充分利用特征，能更加快速地解决问题。（三）简单性原则简单性原则更多的是在构造图形时需要将代数转化为图形的过程简单化，通过更直观的图形找准问题所在。这样不仅可以将原本复杂的问题简单化，也可以缩短解题时间，避免繁琐的过程，符合简洁要求，这也是代数简洁性的完美体现，能在数学问题解决中更加具有创新性、艺术性。学生在解题时，应该先确定解题思路，解题的方法很多，学生通常选择更为简便的方法解决问题，当然如果为了从更广的范围去解决问题，也可以运用更多的方法。（四）直观性原则直观性原则是教学的原则之一，通过教师的图形描述，能更直观地让学生感知代数的魅力，初步了解事物模型，获得感情认知，这充分反映了学生从感性认识到理性认识的发展规律。通过直观性原则，能进一步加强具体和抽象的联系，两者概念的结合有助于推动学生思维能力的成长，发展观察能力。进一步激发学生对数学的热情和积极性，促进知识框架构建，了解更多代数的魅力。善用坐标和图像之类的“形”表示复杂的代数关系，使得整个解题思路清晰直观。（五）实践创新原则师生在数学练习中可以采用创新教育重新体验数学定律和思维，让数形结合在教学实践过程中更好地发挥作用，在高中数学教学中采用数形结合的方式，也能充分锻炼学生，构建知识框架，激发学生对数学的学习兴趣，增加自信心。数形结合一定程度上也可以拓宽学生的学习视野，帮助学生建立动态思维模式，为思维的发展作好铺垫。三、数形结合思想方法在中学数学解题中的应用（一）利用韦恩图法解决集合之间的关系问题韦恩图法解决集合之间的关系问题时通常会采用圆表示，当两个圆相交，集合之间包含公共元素，这种方式也能直观地解决集合之间的问题。（二）数形结合思想在解决对称问题中的应用一般而言，可以采用对称的方式将两条折线化为对称的值，在求最小值时，在已知晓的直线中，求得距离之和，可以采用数形结合的方式，更直观地展现对称问题。在求最大值时，两点之间的距离可以转化为同侧。（三）数形结合解决最值问题数形结合主要涉及的是图形性质和数量关系之间的互相转化，这也是中学数学中使用数量关系的重要步骤。教师在此阶段可采用数形结合的方式，将数量关系转化为图形关系，更直观地展现求值的简单方法，为学生开拓视野。现在使用的高中教材解析几何一章中，简单阐述了规划内容，从线性的角度出发，使用图解法对目标函数求解，能进一步展现数形结合的方式对教学的影响，也能推动数学知识讲解。数形结合能将抽象的问题简单化，从最直观的角度展现人们对数形结合的思考，进一步推动教学发展，也能在解题过程中，提高学生对几何代数的了解，拓宽思路，提高思维灵活性，进一步推动学生成长。四、数形结合在中学数学解题中的应用途径（一）通过坐标系解题图形问题代数化时，通常会采用坐标解决问题，这在几何问题中是较为常见的解决方法，采用副平面或坐标系的方式，能更好地解决代数问题，当然在解决数形结合问题时，也可以采用三角函数的辅助角类型，更恰当地实现数形结合。数形结合通常要注重实数和数轴的点对应，相应的函数和方程之间应有对角关系和对应关系，曲线与方程之间也需要存在一定的呼应。当采用几何元素和几何条件做大背景时，需要注意函数概念的建立，在此条件下，给出概述类结构。解决问题的方法有解析法、三角法和向量法。采用解析法解决问题，可以根据不同的问题建立不同的坐标系，在图形转换的过程中重新建立坐标之间的代数关系，这是一种较为方便的方式；三角法重点采用三角代数的知识，可以将几何问题和三角形相互联系，建立起新的结构；使用向量法，可以运用向量的运算解决几何中存在的问题，这种方式可以将繁琐的几何推理问题转化为简单的代数问题，再使用空间向量法解决。几何中存在的问题并不少见，这种抽象的几何问题转换方式也是当前教学的主流，选择适当的坐标系能合理实现数形的转换，也能让两者之间相互呼应，解析几何中两点之间的距离和直线之间的截距。（二）通过转化构造解题初步了解数学的基本思想和基本思维后，对模式的建立和要素的分析，能从更加合理的方式转换新元素和新元素之间的联系，也可以恰当解决。这种转换方式是通过知识框架构造的形式推动的。构造法内容较为广泛，没有固定的模式，更多的是面对不同的抽象问题使用不同的方法。其中最基本的方式是将两个同类型的问题进行对比，在解决的过程中，观察题目的特点和重点采用更加新颖和创新的方式解决，面对困难问题按照固定的思维去寻找解决途径是较为麻烦的，采用特点的观察能更进一步展开联想。构造法基于此，可以提高学生的创新能力和思维能力，在面对实际问题时也能恰当解决，代数结构具有它们相对应的几何意义，数形的转化在此状态中也具有了一定基础代数的结合和结合的转换，可以通过函数的图象重新构造，在解决问题的过程中，需要几何图形的融合。函数与数据结合，能更进一步地解决繁琐的问题。五、结语数形结合可以将复杂的数学问题简单化，对数学教学和数学的发展具有推动的意义，可以不断扩宽学生解题的视野，推动思维能力成长，所以培养数形结合思想应该从学生平时的学习中做起，在解决问题时把图形与数字结合，快速在脑海中