111函数项级数的一致收敛ppt

1°使学生掌握函数项级数、幂级数这一重要概念的内涵与外延；2°使学生学会用定义证明函数项级数一致收敛性。3°通过学习使学生掌握判别函数项级数一致收敛、幂级数收敛性的根本方法。第十一章函数项级数、幂级数教学目标：

§11.1函数项级数的一致收敛一、函数项级数的概念三、一致收敛级数的性质二、一致收敛的定义四、一致收敛级数的判别方法一、函数项级数的概念设是定义在实数集上的函数，我们称是函数项级数，并称是这一级数的次局部和。如果对中的一点，数项级数收敛，我们就说函数项级数在点收敛，否那么就说它在点发散。如果对中任何一点，级数收敛，就说函数项级数在上收敛〔即在每一点都收敛〕。这时，对每一点级数有和，记此和为，即可见，是上的函数。例如级数在内收敛，其和为。这就说明，函数项级数在某点的收敛问题实质上是数项函数的收敛问题。因此，我们就可以应用已学过的数项级数的有关知识来考察函数项级数的收敛问题。二、一致收敛的定义引例例1它的每一项都在上连续，其次局部和为。很明显有级数的和在不连续，因此，它不是上的连续函数。这个例子还告诉我们，上述级数的每一项都在上可导，但它的和函数在不可导。结论问题例2考察函数序列，其中。对任何故但这说明：在本例中，虽然但这就提出了一个问题：设级数在上收敛于又设级数的每一项在上连续。对于求导和求积，也有类似的问题，要答复这些问题，必须引进非常重要的概念：一致收敛定义1设有函数列〔或函数项级数的局部和序列〕。假设对任给的，存在只依赖于的正整数,使时，不等式〔对函数项级数，此式也可写为〕对上一切都成立，那么称在上一致收敛于几何解释:

(如图)当n>N时,曲线总位于曲线之间.如前面例1.证明级数在[0,1]上不一致收敛.证:取正数对无论多么大的正数N,因此级数在[0,1]上不一致收敛.说明:对任意正数r<1,级数在[0,r]上一致收敛.事实上,因为在[0,r]上任给

>0,欲使只要因此取只要即级数在[0,r]上一致收敛.例3解余项的绝对值定义2设如果就称在上一致收敛于。一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达：例4在一致收敛。例5讨论在的一致收敛性。例6以例1的函数列,为例,因为故亦即,因此在上不一致收敛.还可看到在也不是一致收敛的，到它在任意一个区间(是小于1的任一正数)却是一致收敛的,这是因为同理可知在任一区间(为小于1的任一正数)一致收敛,但在非一致收敛.这说明了一致收敛与所讨论的区间有关,当在某一区间一致收敛时,它当然在含这区间内的任一区间一致收敛,但在含这个区间的较大的区间上却不一定一致收敛.另一方面,这两个例子也说明了虽然在内的任一闭区间上一致收敛,但在区间却不一定一致收敛.当在内任一闭区间上一致收敛时,称在区间内闭一致收敛.因此在一致收敛一定内闭一致收敛,但反之不然.但从在内闭收敛,却可得到它在区间也收敛,这是因为对上每一点,恒可取内的一个闭区间包含这个点,于是在这闭区间上的收敛性就得到它在这个点收敛.这正是由于一致收敛是整体性质而收敛是局部性质的缘故.例7在非一致收敛..

定理

函数列在上一致收敛的充要条件为,对任给的,可得正整数,使时,不等式对任意的正整数和上任意的都成立三、一致收敛级数的性质

定理1假设在上,函数列的每一项都连续,且一致收敛于,那么其极限函数也在上连续.

于是当时这样便证明了定理.证明由于在上一致收敛与,故对可得(是一个仅与有关确实定的项数,它与上的无关),使对上任一点,显然也有再由在点连续性,可得,使时说明:(1)定理1说明,对一致收敛的级数,极限运算与无限求和运算可交换,(2)假设函数项级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如,级数在区间[0,1]上处处收敛,而其和函数在x=1处不连续.定理2

设在上一致收敛于,每一都在上连续,那么亦即极限号与积分号可以互换.又函数列也在上一致收敛于证明由定理对任给的,可得,使时现由于及连续,故它们在上的积分存在,并且当时又假设将积分上限换为,那么当时上式仍旧成立.这样便证明了定理2.说明:假设级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如,级数它的局部和因此级数在[0,1]上收敛于S(x)=0,所以但是①对级数①定理结论不成立的原因:级数①的余项可见级数①在[0,1]上不一致收敛,此即定理2结论对级数①不成立的原因.①定理3假设在上函数列的每一项都有连续导数,收敛于,一致收敛于,那么亦即也就是极限号与求导数号可以交换.又此时在上也是一致收敛的.证明由于一致收敛于,故连续,由定理2由于左边的导数存在,故存在且,又从及定理2即得的一致收敛性.定理4假设在上级数的每项都连续,且一致收敛于也在上连续.定理5设在上一致收敛于,并且每一都在上连续,那么亦即和号可以与积号交换.又在上,函数项级数也一致收敛于定理6假设在上,的每一项都具有连续导数,且一致收敛于,又收敛于,那么,亦即且一致收敛于.四、一致收敛级数的判别方法定理7假设对充分大的，恒有实数，使得对上任意的都成立，并且数项级数收敛，那么在上一致收敛。证明由的收敛性，对任给的，可得使时对上一切的我们有由一致收敛的柯西充要条件即得定理的结论。例.证明级数在(－∞,+∞)上一致收敛.证:而级数收敛,由维尔斯特拉斯判别法知所给级数在(－∞,+∞)上一致收敛.说明:维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收敛性,而且能判别其绝对收敛性.当不易观察到不等式可利用导数求例如,级数用求导法可得收敛,因此原级数在[0,+∞)上一致收敛.例.

证明函数对任意x有连续导数.解:显然所给级数对任意x都收敛,且每项都有连续导数,而逐项求导后的级数故级数②在(

,

)上一致收敛,故由定理3可知②再由定理1可知定理8〔阿贝尔判别法〕假设在上一致收敛，又对中每一固定的，数列单调。而对任意的和中每个有那么在上一致收敛。由的一致收敛性，对任意给定的，得，使时恒有固定由上式的单调性，利用阿贝尔引理得到再从一致收敛的柯西充要条件即得。定理9〔狄利克雷判别法〕设的局部和在上一致有界，又对内每一，数列单调，并且函数列在上一致收敛于零，那么在上一致收敛。证明设，那么对上任意和任意的正整数恒有因此，利用阿贝尔引理再由一致收敛于零即得。例8假设绝对收敛，那么和在内都是绝对收敛和一致收敛的级数。例9假设收敛，那么在上一致收敛。例10假设单调地趋于零，那么