金融工程计算题练习

计算题练习1、某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息,该股票当前市价为30元,所有期限的无风险连续复利年利率均为6%,某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约〔交割价为远期价格〕空头,交易单位为100.请问：〔1〕当前时点该股票的远期价格是多少？合约初始价值为多少？〔2〕3个月后,若该股票价格涨至35元,若利率期限结构没变,此时,远期价格是多少？合约对该投资者的价值是多少？2、20XX5月22日,市场中美国和欧元的利率和即期汇率数据如下表所示,若欧元远期汇率为1EUR=1.2750USD，判断是否存在套利机会？如果存在套利机会，该如何进行套利操作？1年后所获套利利润是多少？〔不考虑交易成本〕Currencies1年期市场无风险利率〔连续复利〕即期汇率EUR1.25%1.2683USD/EURUSD1.00%3、 假设在一笔互换合约中，某一金融机构每半年支付6个月期的LIBOR，收取固定利率,互换的期限1.5年.已知6个月、12个月和18个月的LIBOR〔连续复利利率〕分别为10%、11%和12%.试确定此互换中固定利率的合理水平.4、 公司A和B可按以下利率借入期限为5年的1000万美元: 固定利率浮动利率公司A12.0%LIBOR+0.1%公司B13.4%LIBOR+0.6%公司A想获得浮动利率贷款；公司B想获得固定利率贷款•请设计一个互换，一家银行作为中介，净收益为年率0.1%,并且使得该互换对A和B双方都同样有吸引力.5、 执行价格为30元的3个月期某股票欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格分别为3元和1元.标的股票价格为31元,3个月期的无风险利率为10%〔连续复利〕,问:是否存在套利机会？若存在套利机会,该如何进行套利操作？3个月后的套利利润是多少？〔不考虑交易摩擦〕6、 20XX5月20日，美元6个月期与1年期的无风险年利率〔连续复利〕分别为4%与6%.市场上一种10年期国债现金价格为1000美元,该证券一年期远期合约的交割价格为900美元,该债券在6个月和12个月后都将收到50美元的利息,且第二次付息日在远期合约交割日之前,求该合约多头与空头的价值各为多少？7、 美元和英镑的1年期连续复利分别为3.92%和6.77%,英镑的现货汇率为1.60美元,1年期的英镑远期价格为1.58美元,问是否存在套利机会？如果存在,如何套利？利润是多少？8、 A公司和B公司均需要在市场上进行10年期500万美元的投资，且A公司希望以固定利率投资,B公司希望以浮动利率投资•两个公司可获得的投资收益如下：以固定利率投资A公司可获利率8.0%,B公司可获利率8.8%；以浮动利率投资均获得LIBOR.试设计一利率互换,其中银行作为中介获得利差0.2%的报酬,而两个公司获相同收益.9、 标的股票现价为24美元,2个月和5个月后每股将分别派发0.5美元红利.现有执行价格均为25美元,6个月后到期的欧式看涨期权和欧式看跌期权,售价都为2美元.设无风险年利率为10%〔连续复利〕.问是否存在套利机会？若有,请构造套利组合.10、 20XX5月25日,GE的股票报价19.25美元，其在CBOE交易的执行价格16美元,20XX7月15日到期的该股票CallOption报价3.25美元;执行价格21美元,同一到期日的CallOption报价0.12美元.假设CBOE交易的该股票期权为欧式期权,请问：〔1〕利用上述期权如何构造出BullSpread?〔2〕列出该组合的profit状况.11、 20XX6月2日,Coca-ColaCompany股票报价66.76美元，其在ISE交易的20XX11月18日到期〔距离到期日还有169天,1年按365天计〕，执行价格为70美元的该股票CallOption售价为1.16美元,PutOption售价为5.15美元，无风险年利率为0.25%〔连续复利〕•假设ISE交易的该股票期权为欧式期权,期间无红利支付,请问：〔1〕对投资者而言,是否存在套利机会？〔2〕如果存在套利机会,应如何套利？1单位的套利净利润是多少？12、 20XX6月1日,MICROSOFTCORP.股票报价25.01美元，其在CBOE交易的执行价格22美元,20XX7月15日到期的该股票CallOption报价3.00美元；执行价格27美元，同一到期日的CallOption报价0.09美元.假设CBOE交易的该股票期权为欧式期权,请问：〔1〕利用上述期权如何构造出BearSpread？〔2〕利用表格列出该组合的profit状况.〔3〕绘制profit图.13、 A公司是AAA级的大型绩优公司，其长期固定利率融资成本为年息7%,短期浮动利率融资成本为LIB0R+0.4%.B公司BBB级的中小型公司，其固定利率融资成本为&5%,浮动利率融资成本为LIB0R+0.7%.现假设A公司具有浮动利率的收益,希望以浮动利率支付其债务利息,而B公司则具有固定利率的收益，希望以固定利率支付其债务利息.由A、B如何应用互换降低各自的筹资成本？14、 20XX6月3日,市场中美国和欧元区的利率和汇率数据如下表所示不考虑交易成本,请问：〔1〕1年期欧元远期汇率的理论价格是多少？〔2〕观察表中数据,判断是否存在套利机会？如果存在套利机会，请问如何套利？1年后1单位货币的无风险套利利润是多少？Currencies1年期市场无风险利率〔连续复利〕即期汇率1年期远期汇率EUR1.25%1.44881.4312USD0.25%15、 假设两个零息票债券A和B,两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元〔到期时都获得100元现金流〕.如果债券A的当前价格为98元，并假设不考虑交易成本和违约情况.问题：〔1〕债券B的当前价格应该为多少呢？〔2〕如果债券B的当前价格只有97.5元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？16、 某公司将在3月后购买100万加仑的航空燃油,3月内每加仑航空燃油的价格变化的标准方差为0.032.公司决定作多热油期货合约进行套期保值,3月内每加仑热油期货的价格变化的标准方差为0.04,且3月内航空燃油的价格变化与3月内热油期货的价格变化的相关系数为0.8.如果一X热油期货合约为42000加仑，求＜1＞最佳套期比率；＜2＞为套期保值，公司须购买多少期货合约？17、 20XX6月3日,市场中美国和欧元区的利率和汇率数据如下表所示不考虑交易成本,请问：〔1〕1年期欧元远期汇率的理论价格是多少？〔2〕观察表中数据,判断是否存在套利机会？如果存在套利机会，请问如何套利？1年后1单位货币的无风险套利利润是多少？Currencies1年期市场无风险利率〔连续复利〕即期汇率1年期远期汇率EUR1.25%1.44881.4312USD0.25%18、20XX5月20日,美元6个月期与1年期的无风险年利率〔连续复利〕分别为4%与6%.市场上一种10年期国债现金价格为1000美元,该证券一年期远期合约的交割价格为900美元,该债券在6个月和12个月后都将收到50美元的利息,且第二次付息日在远期合约交割日之前,求该合约多头与空头的价值各为多少？参考答案

1、解答〔1〕2个月和5个月后派发的1元股息的现值：I=e-6%x2/12+e-6%x5/12=1.9654元〔1分〕远期价格：F=(30—1.97)e6%炮12=28.88元〔1.5分〕因为交割价等于远期价,所以合约价值为0.〔1.5分〕〔2〕3个月后的时点,2个月后派发的1元股息的现值：I=e-6%x2/12=0.99元〔1分〕远期价格：F二(35一0.99)e6%©/12二34.52元〔1.5分〕合约价值：f二100x(28.88—34.52)e-6%x3/12二—555.64元2、解答〔1〕1年期欧元远期汇率的理论价格为：F二Se(r-rf)(T一)二1.2683xe(1%-1.25%x二1.2651<1.2751〔3分〕〔2〕因为实际报价高于理论价格,所以存在套利机会.投资者可以通过借入$1.2683exp<-1.25%>,在即期外汇市场换成€。乂卩<-1.25%>,并在远期市场以€1=$1.2751将到期获得的€1换成$1.2751，归还债务本息和$1.2651〔=1.2683exp<-1.25%+1%>〕，可获套利$0.0100.〔5分〕3、解答：设互换本金为A，固定利率为r角〔半年付息一次〕•因为互换之初浮动利率等于贴现利率，所以浮动利率债券的价值B 为；floatB=A〔2分〕float固定利率债券的价值Bfix为：B=A[r/2B=A[r/2x(e—10%x1/2+e—11%x1+e—12%x3/2)+1xe—12%x3/2]〔3分〕fixfix合理的固定利率应使得互换价值为0,即解得：r=12.28fix4、解答：评分标准：比较优势选择正确,2分；现金流方向正确,3分；利率数据正确,3分.LIBOR+O.6%5、 解答〔1〕c+Xe-r(t-t)=3+30e-10%x3/12=32.26c+Xe-r(T-)>p+S，存在套利机会.〔3分〕〔2〕套利操作：卖出1份CallOption，借入期限为3个月,利率为10%的资金29美元〔=31+1-3〕，买入PutOption和股票各1份.到期CallOption空头、PutOption多头加股票多头的组合将获得30美元.偿还债务本息和29.73美元,可获利润0.27美元.〔5分〕6、 解答〔1〕根据已知条件,算出该债券已知现金收益的现值为：I=50e-4%x1/2+50e-6%x1=96.10〔3分〕因此,该远期合约多头的价值为：F=S-I-Ke-r(T-t)=1000-96.10e-6%x1=56.31〔3分〕2分〕相应地,该合约空头的远期价值为-56.31美元2分〕7、解答〔1〕1年期英镑远期汇率的理论价格为：F二Se（r-f）（T-t）二1.60xe（3.92%-6力％）灯二1.56<1.58〔3分〕〔2〕因为实际报价高于理论价格，所以存在套利机会•投资者可以通过借入$1.60exp<-6.77%>,在即期外汇市场换成£。乂卩<-6.77%>,并在远期市场以£1=$1.58将到期获得的£1换成$1.58，归还债务本息和$1.56〔=1.60exp<-6.77%+3.92%>〕，可获套利$0.02.〔5分〕8、 解答X公司在固定利率投资上的年利差为0.8%,在浮动利率投资上的年利差为0.因此互换带来的总收益是0.8%.其中有0.2%要支付给银行，剩下的X和Y每人各得0.3%.换句话说,X公司可以获得8.3%的回报,Y公司可以获得LIBOR+0.3%的回报.互换流程如图所示. 8.3% 8.5%LIBOR |*~十金融中介Y』 8.8%从* —►LIBOR LIBOR评分标准：比较优势选择正确,2分；现金流方向正确,3分；利率数据正确,3分.9、 解答：c+Xe-r（t-t）=2+25e-10%x6/12二25.78c+Xe-r（T-t）>P+S-D,违背了欧式看涨期权和看跌期权的平价关系，所以存在套利机会. 〔3分〕套利操作：卖出1份看涨期权,借入金额24〔债务期限结构为：2个月期0.5exp<-10%*2/12>,5个月期0.5exp<-10%*5/12>，其余为6个月期〕，买入看跌期权和股票个1份.到期可获利润0.79〔=25-[24-0.5exp<-10%*2/12>-0.5exp<-10%*5/12>]exp<10%*6/12> 〔5分〕10、解答：牛市差价组合可以通过购买执行价格为16美元的call,并卖出执行价格为21美元的call来构造.该组合期初产生3.13美元的现金流出.该组合的盈亏和回报如下表所示：Stockprice看涨期权多头的盈亏X=16,c=3.25看涨期权空头的盈亏X=21,c=0.12总盈亏S戶16-3.250.12—3.1316VStW21ST-16-3.250.12ST-19.13St>21ST—16-3.2521—St+0.121.8711、解答：根据欧式看涨期权和看跌期权的平价关系,可以得到：〔1〕c+Xe-r（T-t）=1.16+70e-0.25%xi69/365=71.08;p+S=5.15+66.76=71.91〔4分〕〔2〕套利方法为：买入Call,卖空PutOption和股票.将净现金收入70.75<=66.76+5.15-1.16>元进行169天的无风险投资倒期时将获得70.83<=70.75e0.25%X169/365>美元.如果到期时股票价格高于70美元,将执行CallOption；如果低于70美元,PutOption将被执行,因此无论如何,投资者均将按照70美元购买股票,正好用于平仓卖空的股票,因此将获得净收益0.83美元.〔4分〕12、解答：熊市差价组合可以通过购买执行价格为27美元的call，并卖出执行协议价格为22美元的call来构造.该组合期初产生2.91美元的现金流入.该组合的盈亏和回报如下表所示：看涨期权多头的盈亏 看涨期权空头的盈亏 鼻厂一Stockprice 总盈亏X=27,c=0.09 X=22,c=3.00S吞22 —0.09 3.00 2.9122VStW27 —0.09 22—ST+3.00 24.91—ST St>27 ST—27—0.09 22—ST+3.00 —2.09评分标准：〔1〕构造组合1分；〔2〕profit表格5分,其中每2个单元格填写正确得1分；〔3〕图形绘制正确2分.13、 解答〔1〕A公司的比较优势是固定利率贷款B公司的比较优势是浮动利率贷款〔2分〕〔2〕画出互换的现金流图〔3分〕〔3〕准确计算出互换的现金流〔3分〕14、 解答〔1〕1年期欧元远期汇率的理论价格为：F二Se(r-rf)(T-t)二1.4488xe(0.25%-i.25%)xi二1.4344>1.4312〔4分〕〔2〕因为实际报价V理论价格，所以存在套利机会•投资者可以通过借欧元，买入美元,再买入欧元远期来套利.〔2分〕借入€1,1年后需归还€1.0125；€1立即兑换成$1.4488存款1年，则1年后可得到$1.452422；同时在远期市场上用$1.452422买入€1.014828，获得的无风险欧元利润为€0.002328 〔2分〕15、 解〔1〕按无套利定价原理，债券B与债券A有相同的损益或现金流，所以债券B的价格也应为98元.〔2分〕〔2〕若债券B的价格为97.5元，说明债券B的价值被市场低估•那么债券B与债券A之间存在套利机会•实现套利的方法很简单,买进价值低估的资产一一债券B,卖出价值高估的资产 债券A.〔3分〕所以,套利的策略就是：卖空债券A,获得98元，用其中的97.5元买进债券B,这样套利的盈利为0.5元.〔3分〕16、 解答〔1〕最佳套期保值率〔2〕购买期货合约的数量：17、 解答〔1〕1年期欧元远期汇率的理论价格为：F二Se(r-rf)(T-t)二1.4488xe(0.25%-1.25%)x1二1.4344>1.4312〔4分〕〔2〕因为实际报价V理论价格，所以存在套利机会•投资者可以通过借欧元，买入美元,再买入欧元远期来套利.〔2分〕借入€1,1年后需归还€1.0125；€1立即兑换成$1.4488存款1年,则1年后可得到$1.452422；同时在远期市场上用$1.452422买入€1.014828,获得的无风险欧元利润为€0.002328 〔2分〕18、 解答〔1〕根据已知条件,算出该债券已知现金收益的现值为：I二50e-4%x1/2+50e-6%x1二96.10因此,该远期合约多头的价值为：F二S-1-Ke-r(t-t)二1000-96.10e-6%x1二56.31相应地,该合约空头的远期价值为-56.31美元. 〔2分〕期中测试题目与答案〔2013.5.13〕1、20##5月22日,市场中美国和欧元的利率和即期汇率数据如下表所示,若欧元远期汇率为1EUR=1.2751USD，判断是否存在套利机会？如果存在套利机会，该如何进行套利操作?1年后1单位货币所获套利利润是多少？〔不考虑交易成本〕Currencies1年期市场无风险利率〔连续复利〕即期汇率EUR1.25%1.2683USD/EURUSD1.00%解答〔1〕1年期欧元远期汇率的理论价格为：〔2〕因为实际报价高于理论价格，所以存在套利机会.投资者可以通过借入$1.2683exp<-1.25%X1>,在即期外汇市场换成€exp<-1.25%X1>,并在远期市场以€1=$1.2751将到期获得的€1换成$1.2751，归还债务本息和$1.2651〔=1.2683exp<-1.25%+1