高考数学总复习 同步测试卷（十六）直线与圆 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题

同步测试卷理科数学(十六)【p315】(直线与圆)时间：60分钟总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0互相平行，则m的值为()A．－1或3B．3C．－1D．1或－3【解析】∵直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0互相平行，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1×3－m（m－2）＝0，,1×2m－6（m－2）≠0，))∴m＝－1.【答案】C2．已知圆C的圆心位于直线x＋y＝0上，且圆C与直线x－y＝0和直线x－y－4＝0均相切，则圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2【解析】设圆的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝r2(r>0)，则有eq\f(|2a|,\r(2))＝eq\f(|2a－4|,\r(2))＝r，解得a＝1，r＝eq\r(2)，即选B.【答案】B3．已知定点B(3，0)，点A在圆x2＋y2＝1上运动，M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为()A．x2＋y2＝4B．(x＋3)2＋y2＝4C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)D．(x－3)2＋y2＝eq\f(1,4)【解析】设M(x，y)，A(x0，y0)，∵M是线段AB的中点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))又∵xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝1，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4).【答案】C4．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是()A．－2B．－4C．－6D．－8【解析】圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，因此圆心为(－1，1)，半径r＝eq\r(2－a).圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2)，又弦长为4，因此由勾股定理可得(eq\r(2))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))eq\s\up12(2)＝(eq\r(2－a))2，解得a＝－4.【答案】B5．两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，当两圆相交时，实数a的取值范围是()A．(－5，－2)B．(－1，2)C．(－5，－2)∪(－1，2)D．(－∞，－5)∪(2，＋∞)【解析】将两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0的方程变成标准方程分别为圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.圆心分别为C1(a，－2)，C2(－1，a)，半径分别为r1＝3，r2＝2.因为两圆相交，所以r1－r2<|C1C2|<r1＋r2.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(（a＋1）2＋（a＋2）2)>1，,\r(（a＋1）2＋（a＋2）2)<5，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋3a＋2>0，,a2＋3a－10<0，))解得－5<a<－2或－1<a<2.【答案】C6．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值是()A．2B．3C．4D．6【解析】由题意，圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，直线2ax＋by＋6＝0过圆心C(－1，2)，故a－b－3＝0.当点M(a，b)到圆心的距离|MC|最小时，切线长最短，|MC|＝eq\r(（a＋1）2＋（b－2）2)＝eq\r(2a2－8a＋26)，当a＝2时，|MC|最小，此时b＝－1，切线长为eq\r(|MC|2－2)＝4.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的公共弦所在的直线方程为________．【解析】将两圆方程相减得x－2y＝0，即为公共弦所在的直线方程．【答案】x－2y＝08．已知直线y＝－x＋a与圆心为C的圆(x－2)2＋(y＋2)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．【解析】圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－2))，半径为2，由三角形为等边三角形可知圆心到直线的距离为eq\r(3)，所以eq\f(|2－2－a|,\r(2))＝eq\r(3)，∴a＝±eq\r(6).【答案】±eq\r(6)9．若过点P(2，3)作圆M：x2－2x＋y2＝0的切线l，则直线l的方程为__________．【解析】圆M：x2－2x＋y2＝0，即(x－1)2＋y2＝1.①当斜率不存在时，x＝2为圆的切线；②当斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y－2k＋3＝0，圆心(1，0)到切线的距离d＝eq\f(|－k＋3|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，此时切线方程为eq\f(4,3)x－y＋eq\f(1,3)＝0，即4x－3y＋1＝0，综上所述，则直线l的方程为4x－3y＋1＝0或x－2＝0.【答案】4x－3y＋1＝0或x－2＝010．直线y＝eq\f(m,2)x与圆x2＋y2＋mx＋ny－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋y＝0对称，则|MN|＝________．【解析】∵直线y＝eq\f(m,2)x与圆的两交点M、N关于直线x＋y＝0对称，∴直线y＝eq\f(m,2)x的斜率为1，且圆心在直线x＋y＝0上，∴eq\f(m,2)＝1，圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，－\f(n,2)))在直线x＋y＝0上，即m＋n＝0，∴m＝2，n＝－2.∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝6，直线方程为y＝x.∴圆心到直线的距离为d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，r＝eq\r(6).∴|MN|＝2eq\r(r2－d2)＝4.【答案】4三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．(1)求圆的方程；(2)若直线ax－y＋5＝0(a≠0)与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)设圆心为M(m，0)(m∈Z)．∵圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，∴eq\f(|4m－29|,5)＝5，即|4m－29|＝25，∴m＝eq\f(27,2)或m＝1，∵m为整数，∴m＝1，∴所求的圆的方程是(x－1)2＋y2＝25.(2)∵l垂直平分弦AB，∴l过圆心M(1，0)，∴l的斜率k1＝eq\f(4－0,－2－1)＝－eq\f(4,3)，∴AB的斜率kAB＝eq\f(3,4)，∴a＝eq\f(3,4)，此时直线AB的方程为eq\f(3,4)x－y＋5＝0，即3x－4y＋20＝0.∵圆心M(1，0)到直线AB的距离d＝eq\f(|3＋20|,\r(32＋42))＝eq\f(23,5)＜5＝r，∴直线AB与圆相交，故存在实数a＝eq\f(3,4)，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB.12．(16分)已知菱形ABCD的一边所在的直线方程为x－y＋4＝0，一条对角线的两个端点分别为A(－2，2)和C(4，4)．(1)求对角线AC和BD所在直线的方程；(2)求菱形另三边所在直线的方程．【解析】(1)因为A(－2，2)和C(4，4)，所以设AC的方程为y＝kx＋b，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝－2k＋b，,4＝4k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，,b＝\f(8,3)，))所以直线AC方程为y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(8,3)，即x－3y＋8＝0.设AC中点坐标为M(1，3)，因为ABCD为菱形，所以直线BD与直线AC垂直，且平分线段AC，AC垂直平分线的斜率k＝－3，所以BD的直线方程为y＝－3(x－1)＋3，即3x＋y－6＝0.(2)因为A(－2，2)在直线x－y＋4＝0上，不妨设x－y＋4＝0是AB的方程，则直线DC与直线AB平行且过点C，所以DC的直线方程为x－y＝0.AB与BD的交点B坐标为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋4，,y＝－3x＋6，))解得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,2)))，所以BC的直线方程为x＋7y－32＝0.因为BC∥AD，两条直线斜率相等，且直线AD经过点A，所以设AD的直线方程为x＋7y＋b＝0，代入A点坐标解得b＝－12，所以AD的方程为x＋7y－12＝0.综上，另外三条边所在的直线的方程分别为x－y＝0，x＋7y－32＝0，x＋7y－12＝0.13．(18分)已知线段AB的端点B的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，5))，端点A在圆C1：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－3))eq\s\up12(2)＝4上运动．(1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程；(2)设圆C1与曲线C2的两交点为M、N，求线段MN的长；(3)若点C在曲线C2上运动，点Q在x轴上运动，求eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AQ))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CQ))的最小值．【解析】(1)设点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))，点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，y0))，由于点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，5))，且点P是线段AB的中点，所以x＝eq\f(x0＋6,2)，y＝eq\f(y0＋5,2)，于是有x0＝2x－6，y0＝2y－5，①因为点A在圆C1：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－3))eq\s\up12(2)＝4上运动，所以点A的坐标满足方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－3))eq\s\up12(2)＝4，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－4))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0－3))eq\s\up12(2)＝4，②把①代入②，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－6－4))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2y－5－3))eq\s\up12(2)＝4，整理，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－5))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－4))eq\s\up12(2)＝1，所以点P的轨迹C2的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－5))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－4))eq\s\up12(2)＝1.(2)圆C1：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－3))eq\s\up12(2)＝4与圆C2：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－5))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－4))eq\s\up12(2)＝1的方程相减得：2x＋2y－19＝0.由圆C2：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－5))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－4))eq\s\up12(2)＝1的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，4))，半径为1，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，4))到直线2x＋2y－19＝0的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(10＋8－19)),\r(22＋22))＝eq\f(\r(2),4)，则公共弦长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MN))＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(1－\f(1,8))＝eq\f(\r(14),2).(3)圆C1是以C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，3))为圆心，半径r1＝2的圆，圆C2是以C2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，4))为圆心，半径r2＝1的圆，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(QA))＋eq\b\l