2016年考研(数学二)真题试卷(题后含答案及解析)

2016年考研（数学二）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设a1=x(cos一1)，a2=，a3=一1．当x→0+时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是__________．A．a1，a2，a3B．a2，a3，a1C．a2，a1，a3D．a3，a2，a1正确答案：B2．已知函数f(x)=则厂(x)的一个原函数是___________．A．F(x)=B．F(x)=C．F(x)=D．F(x)=正确答案：D3．反常积分①，②的敛散性为___________．A．①收敛，②收敛B．①收敛，②发散C．①发散，②收敛D．①发散，②发散正确答案：B4．设函数厂(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则_________．A．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点B．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点C．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点D．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点正确答案：B5．设函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi(x0)，则_________．A．fx一fy=0B．fx+fy=0C．fx－fy=fD．fx+fx=f正确答案：D7．设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是_______．A．AT与BT相似B．A－1与B-1相似C．A+AT与B+BT相似D．A+A-1与B+B-1相似正确答案：C8．设二次型f(x1，X2，X3)=a()+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1，2，则___________．A．a>1B．a<一2C．一2<a<1D．a=1或a=一2正确答案：C填空题9．曲线y=+arctan(1+x2)的斜渐近线方程为_________·正确答案：y=x+10．极限____________．正确答案：sinl—cosl11．以y=x2一ex和y=x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为________．正确答案：y一y=2x—x212．已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2f(t)dt，则当n≥2时，f(n)(0)=_________．正确答案：5.2n－113．已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为ι．若点P的横坐标对时间的变化率为常数υ0，则当点P运动到点(1，1)时，ι对时间的变化率是____________．正确答案：14．设矩阵等价，则a=________.正确答案：2解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．求极限(cos2x+2xsinx)正确答案：因为(cos2x+2xsinx)，且所以(cos2x+2xsinx)．16．设函数f(x)=｜tx一x2｜dt(x>0)，求f(x)并求f(x)的最小值．正确答案：当0当x>1时，f(x)=，所以f(x)=而故f(x)=由于f(x)=0求得唯一驻点x=，f()>0，从而x=为f(x)的最小值点,最小值为f()=17．已知函数z=z(x，y)由方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0确定，求z=z(x，y)的极值．正确答案：在(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0两边分别对x和y求偏导数，得令=0，=0，得将代入方程(x2+y2)z+1nz+2(x+y+1)=0，得lnz－+2=0，可知z=1从而对①中两式两边分别再对x，y求偏导数，得从而A=由于AC—B2>0，Adxdy.正确答案：因为区域D关于y轴对称，所以dxdy=0．19．已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x一1)一(2x+1)y’+2y=0的两个解，若u(－1)=e，u(0)=一1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．正确答案：将y2(x)=u(x)ex代入原方程并整理得(2x一1)+(2x一3)=0．令(x)=z，则(2x一1)z’+(2x一3)z=0，解得z=(2x一1)e-x，从而u(x)=(2x一1)e-xdx=一[(2x一1)e-x+2e-x]+由u(－1)=e，u(0)=一1，得=1，=0，所以u(x)=一(2x+1)e-x所以原微分方程的通解为y=C1ex一C2(2x+1)．20．设D是由曲线y=(0≤x≤1)与(0≤f≤)围成的平面区域，求D绕X轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积．正确答案：设D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，表面积为S，则S=2π+dt21．已知函数f(x)在[0，]上连续，在(0，)内是函数的一个原函数，且f(0)=0．(Ⅰ)求f(x)在区间[0，]上的平均值；(Ⅱ)证明f(x)在区间(0，)内存在唯一零点．正确答案：(I)f(x)在区间[0，]上的平均值(Ⅱ)由题意，得(x)=．当0时，因为f’(x))内无零点，且f()]，使得f(x0)=>0，由于当x∈(0，]时，f(x)]根据连续函数介值定理，存在ξ∈(，x0)()，使得f(ξ)=0．又因为当时，f’(x)>0，所以f(x)在()内至多只有一个零点．22．设矩阵A=，且方程组Ax=β无解．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求方程组ATAx=ATβ的通解．正确答案：(Ⅰ)对矩阵(A:β)施以初等行变换由方程组Ax=β无解知，秩(AB)＞秩A，即－a2+2a=0，且a－2≠0，解得a=0(Ⅱ)对矩阵施以初等行变换所以，方程组ATAx=ATβ的通解x=(k为任意常数)23．已知矩阵A=(Ⅰ)求A99；(II)设3阶矩阵B=(a1，a2，a3)满足B2=BA．记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为a1，a2，a3的线性组合．正确答案：(Ⅰ)因为所以A的特征值为λ1=－1，λ2=－2，λ3=0.当λ1=－1时，解方程组(－E－A)x=0，得特征向量ξ1=(1，1，0)T；当λ2=－2时，解方程组(－2E